有限沖擊響應(yīng)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

7.1FIR數(shù)字濾波器的線性相位特性第1頁/共50頁第一頁，共51頁。FIR濾波器的定義：M階(長度N=M+1)

的FIR數(shù)字濾波器第2頁/共50頁第二頁，共51頁。FIR濾波器的特點(diǎn)：1)h[k]在有限范圍內(nèi)非零，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。2)容易設(shè)計(jì)成線性相位3)可利用FFT實(shí)現(xiàn)第3頁/共50頁第三頁，共51頁。嚴(yán)格線性相位定義:若f(W)=-aW,則稱系統(tǒng)H(z)是嚴(yán)格線性相位的。

第4頁/共50頁第四頁，共51頁。廣義線性相位定義:A

(W)稱為幅度頻函數(shù)第5頁/共50頁第五頁，共51頁。M=4偶對稱M=3偶對稱M=4奇對稱M=3奇對稱

定理：為線性相位的充要條件為h[k]=h[M-k]第6頁/共50頁第六頁，共51頁。1)1型:(h[k]=h[M-k],M為偶數(shù))

例：M=4,h[k]={h[0],h[1],h[2],h[1],h[0]}第7頁/共50頁第七頁，共51頁。A

(W)關(guān)于0和p

點(diǎn)偶對稱例：h[k]={1,2,1},M=2p2p40A(W)第8頁/共50頁第八頁，共51頁。2)II型:(h[k]=h[M-k]),

M為奇數(shù)M=3h[k]={h[0],h[1],h[1],h[0]}cos(0.5W)的周期=4pcos(1.5W)的周期=(4/3)pA

(W)的周期=4p第9頁/共50頁第九頁，共51頁。A

(p

)=0不能用于高通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)H

(W)關(guān)于W=p點(diǎn)奇對稱第10頁/共50頁第十頁，共51頁。例：h[k]=(d[k]+d[k-1])/2012ppA

(W)第11頁/共50頁第十一頁，共51頁。3)III型:h[k]=-h[M-k],

M為偶數(shù)M=4h[k]={h[0],h[1],0,-h[1],-h[0]}A

(W)關(guān)于0和p點(diǎn)奇數(shù)對稱A

(0)=A

(p)=0不能用于高通和低通濾波器的設(shè)計(jì)第12頁/共50頁第十二頁，共51頁。例：h[k]=(d[k]-d[k-2])/20A

(W)12pp第13頁/共50頁第十三頁，共51頁。4)IV型:h[k]=-h[M-k],

M為奇數(shù)M=3h[k]={h[0],h[1],-h[1],-h[0]}A

(0)=0不能用于低通濾波器的設(shè)計(jì)第14頁/共50頁第十四頁，共51頁。例：h[k]=(d[k]-d[k-1])/20A

(W)12pp第15頁/共50頁第十五頁，共51頁。線性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)一般形式可寫為 表5-1四種線性相位FIR濾波器的性質(zhì)類型IIIIIIIV階數(shù)M偶奇偶奇h[k]的對稱性偶對稱偶對稱奇對稱奇對稱A(W)關(guān)于W=0的對稱性偶對稱偶對稱奇對稱奇對稱A(W)關(guān)于W=p的對稱性偶對稱奇對稱奇對稱偶對稱A(W)的周期2p4p2p4pb000.5p0.5pA(0)任意任意00A(p)任意00任意可適用的濾波器類型LP,HP,BP,BS等LP,BP微分器,Hilbert變換器微分器,Hilbert變換器，HP第16頁/共50頁第十六頁，共51頁。線性相位系統(tǒng)H(z)的零點(diǎn)分布特性:z=0不可能有系統(tǒng)的零點(diǎn)zk是系統(tǒng)的零點(diǎn)，則zk-1也是系統(tǒng)的零點(diǎn)。h[k]是實(shí)的,第17頁/共50頁第十七頁，共51頁。1)Re(z)Im(z)第18頁/共50頁第十八頁，共51頁。2)Re(z)Im(z)第19頁/共50頁第十九頁，共51頁。Re(z)Im(z)3)第20頁/共50頁第二十頁，共51頁。Re(z)Im(z)4)任意線性相位系統(tǒng)是上述四種子系統(tǒng)的組合h[k]奇對稱時(shí)，H(z)在z=1處一定有奇數(shù)階零點(diǎn)。第21頁/共50頁第二十一頁，共51頁。

四種不同類型的線性相位系統(tǒng)在zk=1的零點(diǎn)：(1)I型FIR濾波器(M為偶)：在zk=1和zk=-1無零點(diǎn)或者有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)。(2)II型FIR濾波器(M為奇)：在zk=-1有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，在zk=1無零點(diǎn)或者有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)。(3)III型FIR濾波器(M為偶)：在zk=1和zk=-1有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)。(4)IV型FIR濾波器(M為奇)：在zk=1有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，在zk=-1無零點(diǎn)或者有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)。第22頁/共50頁第二十二頁，共51頁。最小積分平方誤差設(shè)計(jì)FIR濾波器吉伯斯(Gibbs)現(xiàn)象常用窗函數(shù)7.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器第23頁/共50頁第二十三頁，共51頁。問題：已知Hd(ejW)，設(shè)計(jì)使其頻率響應(yīng)逼近Hd(ejW)。hd[k]一般情況下是無窮序列，需對其進(jìn)行截?cái)?。設(shè)M=2K,w[k]=RN+1[k]h

[k]=

hd

[k-K]RN+1[k]方案1：設(shè)Hd(ejW)是實(shí)偶函數(shù)，則hd[k]是實(shí)偶對稱的。h

[M-k]=hd[M-k-M/2]RN+1

[k]=hd[-(k-N

/2)]RN+1

[k]=h[k]=

hd

[k-M]RN+1[k]最小積分平方誤差設(shè)計(jì)FIR濾波器第24頁/共50頁第二十四頁，共51頁。例：設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位的FIR濾波器。其頻率響應(yīng)能逼近截頻為Wc的理想低通。解：設(shè)第25頁/共50頁第二十五頁，共51頁。

方案2：設(shè)Hd(ejW)為

Hd(ejW)=Ad(W)exp(j(-0.5MW+b))I型和II:b=0;III型和IV:b=p/2。h

[k]=

hd

[k]RN+1[k]例：設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位的FIR濾波器。其頻率響應(yīng)能逼近截頻為Wc的理想低通。解：設(shè)第26頁/共50頁第二十六頁，共51頁。

例：理想數(shù)字微分器的頻率響應(yīng)為

HDIF(ejW)=jW,|W|p試用窗口法設(shè)計(jì)一線性相位FIR濾波器，使其幅度響應(yīng)逼近理想數(shù)字微分器。解：設(shè)理想微分器的頻率響應(yīng)為

HDIF(ejW)=Wej(0.5p-0.5MW),|W|p第27頁/共50頁第二十七頁，共51頁。A(W)p-p0Wp-pA(W)W0M=10M=9第28頁/共50頁第二十八頁，共51頁。積分平方誤差定義為由Parseval等式，e2可表示為可選擇

h[k]=hd[k]，0k

M 使積分平方誤差最小。第29頁/共50頁第二十九頁，共51頁。吉伯斯(Gibbs)現(xiàn)象000.510.2p0.4p0.6p0.8ppWA(W)M=14M=600.2p000.510.4p0.6p0.8ppA(W)W第30頁/共50頁第三十頁，共51頁。矩形窗對H(e

jW)的影響矩形窗的幅度函數(shù)為第31頁/共50頁第三十一頁，共51頁。WNp2Np2-Np4Np4-Npp-主瓣旁瓣)(WW矩形窗的幅度函數(shù)第32頁/共50頁第三十二頁，共51頁。將理想濾波器的頻率響應(yīng)表示為則可得FIR濾波器的頻率響應(yīng)為所以FIR濾波器的幅度函數(shù)為第33頁/共50頁第三十三頁，共51頁。)(WAWcWcW-pp-qpp-cWcW-(W)W)(qdA第34頁/共50頁第三十四頁，共51頁。)(WAWcWcW-pp-qcWcW-pp-)(qdA)(q-WW第35頁/共50頁第三十五頁，共51頁。q)(qdA)(q-WWcW-cWpp-)(WAWcWcW-pp-由矩形窗截?cái)喈a(chǎn)生的波峰大約是9%，所以阻帶最小衰減為

20log10(9%)-21dB。第36頁/共50頁第三十六頁，共51頁。用矩形窗設(shè)計(jì)的Wc=p/2FIR濾波器的幅度響應(yīng)00.250.50.751-40-30-21-100M=14M=30Gaindb第37頁/共50頁第三十七頁，共51頁。7.2.2常用窗函數(shù)矩形窗Ap0.82dB,As21dB10.50.091.09WWcNπ8.1第38頁/共50頁第三十八頁，共51頁。Hanning(漢寧)窗Ap0.056dB,As44dB第39頁/共50頁第三十九頁，共51頁。由Hanning窗設(shè)計(jì)的Wc=p/2FIR濾波器的頻響特性(M=38)00.250.50.751-80-60-44-200Square

HanningGaindB第40頁/共50頁第四十頁，共51頁。00.250.50.751-80-60-52-200Square

HammingHamming（哈明）窗(w=hamming(M+1))Gaindb第41頁/共50頁第四十一頁，共51頁。Blackman窗(w=blackman(M+1))00.250.50.751-100-75-60-40-200Square

BlackmanGaindb第42頁/共50頁第四十二頁，共51頁。Kaiser窗(w=kaiser(M+1,beta))b

是一可調(diào)參數(shù)。I0(b):themodifiedzeroth-orderBesselfunction.I0(b)可用冪級數(shù)表示為一般求20項(xiàng)就能達(dá)到所需精度。第43頁/共50頁第四十三頁，共51頁。

用Kaiser窗設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟：1.估計(jì)濾波器的階數(shù)MA=-20log10(min{dp，ds})2.估計(jì)b第44頁/共50頁第四十四頁，共51頁。1.估計(jì)濾波器的階數(shù)M2.估計(jì)b

b=0.1102(As-b)3.設(shè)定理想低通的截頻4.h[k]=hd[k]*w[k]例:用Kaiser窗設(shè)計(jì)一滿足下列指標(biāo)的I型線性相位FIR低通濾波器。

Wp=0.2p,Ws=0.4p，Ap=0.3dB,As=50dB第45頁/共50頁第四十五頁，共51頁。GainresponseoflowpassFIRfilter00.10.20.30.40.5-80-50-300NormalizedfrequencyGain,dBM=30Ap=0.0105dBAs=50.7524dB第46頁/共50頁第四十六頁，共51頁。例：用Hamming窗設(shè)計(jì)一個(gè)逼近截頻