用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式學習教案

特別提示二次函數(shù)的三種常用形式一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k交點式y(tǒng)＝a(x-x1)(x-x2)第1頁/共15頁第一頁，共16頁。例1．某涵洞是拋物線形，它的截面如圖所示，現(xiàn)測得水面寬AB為1.6m，涵洞頂點O到水面的距離為2.4m，在圖中直角坐標系內(nèi)，涵洞所在的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是什么？分析如圖，以AB的垂直平分線為y軸，以過點O的y軸的垂線為x軸，建立了直角坐標系．這時，涵洞所在的拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，開口向下，所以可設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式是y=ax2(a<0)．此時只需拋物線上的一個點就能求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式．．xyOAB第2頁/共15頁第二頁，共16頁。

解:以AB的垂直平分線為y軸，以過頂點O的y軸的垂線為x軸，建立如圖所示直角坐標系．這時，涵洞所在的拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，開口向下，所以設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式是y=ax2(a<0)．由題意，得點B的坐標為（0.8，-2.4），又因為點B在拋物線上，所以解得:因此，函數(shù)關(guān)系式是例1．某涵洞是拋物線形，它的截面如圖所示，現(xiàn)測得水面寬AB為1.6m，涵洞頂點O到水面的距離為2.4m，在圖中直角坐標系內(nèi)，涵洞所在的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是什么？xyOAB第3頁/共15頁第三頁，共16頁。例2．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的關(guān)系式．分析:根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三個已知點，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y＝ax2＋bx＋c的形式第4頁/共15頁第四頁，共16頁。例2．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的關(guān)系式．解:設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c，由已知，這個函數(shù)的圖象過（0，-1），可以得到c=-1．又由于其圖象過點（1，0）、（-1，2）兩點，可以得到解這個方程組，得a=2，b=-1．所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式是y＝2x2－x－1第5頁/共15頁第五頁，共16頁。例3．已知拋物線的頂點為(1，-3)，且與y軸交于點(0，1)，求這個二次函數(shù)的解析式分析:根據(jù)已知拋物線的頂點坐標，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－1)2－3，再根據(jù)拋物線與y軸的交點可求出a的值；第6頁/共15頁第六頁，共16頁。例3．已知拋物線的頂點為(1，-3)，且與y軸交于點(0，1)，求這個二次函數(shù)的解析式解:因為拋物線的頂點為(1，-3)，所以設(shè)二此函數(shù)的關(guān)系式為y＝a(x－1)2－3，又由于拋物線與y軸交于點(0，1)，可以得到

1＝a(0－1)2－3解得a＝4所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式是y＝4(x－1)2－3．即y＝4x2－8x＋1第7頁/共15頁第七頁，共16頁。例4．已知拋物線的頂點為(3，-2)，且與x軸兩交點間的距離為4，求它的解析式．分析:根據(jù)已知拋物線的頂點坐標(3，-2)，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－3)2－2，同時可知拋物線的對稱軸為x=3，再由與x軸兩交點間的距離為4，可得拋物線與x軸的兩個交點為（1，0）和（5，0），任選一個代入y＝a(x－3)2－2，即可求出a的值．第8頁/共15頁第八頁，共16頁。例5．已知拋物線與x軸交于點M(-3，0)、(5，0)，且與y軸交于點(0，-3)．求它的解析式方法1，因為已知拋物線上三個點，所以可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c，把三個點的坐標代入后求出a、b、c，就可得拋物線的解析式。方法2，根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點的坐標，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x＋3)(x－5)，再根據(jù)拋物線與y軸的交點可求出a的值；分析:第9頁/共15頁第九頁，共16頁。設(shè)拋物線的解析式為y=ax2＋bx＋c，解：根據(jù)題意可知拋物線經(jīng)過(0，0)，(20，16)和(40，0)三點可得方程組通過利用給定的條件列出a、b、c的三元一次方程組，求出a、b、c的值，從而確定函數(shù)的解析式．過程較繁雜，評價例6．有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．第10頁/共15頁第十頁，共16頁。例6．有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．設(shè)拋物線為y=a(x-20)2＋16

解：根據(jù)題意可知∵點(0，0)在拋物線上，通過利用條件中的頂點和過原點選用頂點式求解，方法比較靈活評價∴所求拋物線解析式為

第11頁/共15頁第十一頁，共16頁。設(shè)拋物線為y=ax(x-40）解：根據(jù)題意可知∵點(20，16)在拋物線上，選用兩根式求解，方法靈活巧妙，過程也較簡捷評價例6．有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．第12頁/共15頁第十二頁，共16頁。1．根據(jù)下列條件，分別求出對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式．

(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0，2)、(1，1)、(3，5)；

(2)已知拋物線的頂點為(-1，2)，且過點(2，1)；

(3)已知拋物線與x軸交于點M(-1，0)、(2，0)，且經(jīng)過點(1，2)．2．二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=-1，與y軸交點的縱坐標是–6，且經(jīng)過點(2，10)，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．課堂練習第13頁/共15頁第十三頁，共16頁。課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點或三對的對應(yīng)值，通常選擇一般式y(tǒng)=ax2+bx+c已知圖象的頂點坐標(對稱軸和最值)

通常選擇頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k已知圖象與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，通常選擇交點式y(tǒng)＝a(x-x1)(x-x2)yxo確定二次函數(shù)的解析式時，應(yīng)該根據(jù)條件的特點，恰當?shù)剡x用一種函數(shù)表達式，第14頁/共15頁第十四頁，共16頁。感謝您的觀看！第15頁/共15頁第十五頁，共16頁。內(nèi)容總結(jié)