2018版高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.1.1任意角學(xué)案版4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE16學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解角的概念.2。掌握正角、負(fù)角和零角的概念，理解任意角的意義。3.熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念，會用集合符號表示這些角．知識點一角的相關(guān)概念思考1用旋轉(zhuǎn)方式定義角時，角的構(gòu)成要素有哪些？思考2將射線OA繞著點O旋轉(zhuǎn)到OB位置，有幾種旋轉(zhuǎn)方向?思考3如果一個角的始邊與終邊重合，那么這個角一定是零角嗎？梳理(1）角的概念：一個角可以看成平面內(nèi)____________繞著________O從一個位置OA________到另一個位置OB所成的圖形．點O是角的頂點,射線OA，OB分別是角α的________和________．(2)按照角的旋轉(zhuǎn)方向，分為如下三類類型定義正角按________方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角負(fù)角按________方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角零角如果射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，那么也把它看成一個角,叫做零角知識點二象限角、軸線角思考把角的頂點放在平面直角坐標(biāo)系的原點，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，旋轉(zhuǎn)該角，則其終邊(除端點外)可能落在什么位置？梳理以角的頂點為坐標(biāo)原點，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系．這樣，角的________(除端點外）在第幾象限,就說這個角是第幾象限角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，則稱這個角為軸線角．知識點三終邊相同的角思考1假設(shè)60°的終邊是OB，那么－660°,420°的終邊與60°的終邊有什么關(guān)系，它們與60°分別相差多少？思考2如何表示與60°終邊相同的角?梳理終邊相同角的表示一般地，與角α終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°＋α，k∈Z｝，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個________的和．類型一任意角概念的理解例1(1)給出下列說法:①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負(fù)角;③第二象限角是鈍角；④小于180°的角是鈍角、直角或銳角．其中正確命題的序號為________；(把正確命題的序號都寫上)（2）將時鐘撥快20分鐘,則分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是________．反思與感悟解決此類問題要正確理解銳角、鈍角、0°~90°角、象限角等概念．角的概念推廣后，確定角的關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大?。櫽?xùn)練1寫出下列說法所表示的角．(1）順時針擰螺絲2圈；（2）將時鐘撥慢2小時30分，分針轉(zhuǎn)過的角．類型二象限角的判定例2在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角．(1)－150°;（2)650°；（3）－950°15′。引申探究確定eq\f(α,n)(n∈N*)的終邊所在的象限．反思與感悟判斷象限角的步驟：（1）當(dāng)0°≤α<360°時,直接寫出結(jié)果．（2）當(dāng)α〈0°或α≥360°時，將α化為k·360°＋β（k∈Z，0°≤β〈360°),轉(zhuǎn)化為判斷角β所屬的象限．跟蹤訓(xùn)練2下列各角分別是第幾象限角?請寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式－360°≤β〈720°的元素β寫出來．(1)60°；(2）－21°.類型三終邊相同的角eq\x（命題角度1求與已知角終邊相同的角）例3在與角10030°終邊相同的角中,求滿足下列條件的角．(1）最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3）[360°，720°)的角．反思與感悟求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值．跟蹤訓(xùn)練3寫出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來．eq\x（命題角度2求終邊在給定直線上的角的集合）例4寫出終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合．反思與感悟求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想，即分x≥0和x〈0兩種情況討論,最后再進(jìn)行合并．跟蹤訓(xùn)練4寫出終邊在直線y＝eq\f（\r（3),3)x上的角的集合．類型四區(qū)域角的表示例5如圖所示．(1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合；（2)寫出終邊落在陰影部分（包括邊界)的角的集合．反思與感悟解答此類題目應(yīng)先在0°～360°上寫出角的集合，再利用終邊相同的角寫出符合條件的所有角的集合，如果集合能化簡的還要化成最簡．跟蹤訓(xùn)練5如圖所示，寫出終邊落在陰影部分的角的集合．1．－1120°角所在象限是________．2．與－457°角終邊相同的角的集合是________．3．2017°是第________象限角．4．與－1692°終邊相同的最大負(fù)角是________．5．寫出終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合S.1．對角的理解,初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應(yīng)用“運動”的觀點下定義，理解這一概念時,要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)",“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對值大小"．2．關(guān)于終邊相同的角的認(rèn)識一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合｛β|β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．注意:（1)α為任意角．(2）k·360°與α之間是“＋”號，k·360°－α可理解為k·360°＋(－α）．(3)相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍．(4）k∈Z這一條件不能少．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1角的構(gòu)成要素有始邊、頂點、終邊．思考2有順時針和逆時針兩種旋轉(zhuǎn)方向．思考3不一定，若角的終邊未作旋轉(zhuǎn)，則這個角是零角．若角的終邊作了旋轉(zhuǎn)，則這個角就不是零角．梳理（1)一條射線端點旋轉(zhuǎn)始邊終邊（2）逆時針順時針知識點二思考終邊可能落在坐標(biāo)軸上或四個象限內(nèi)．梳理終邊知識點三思考1它們的終邊相同．－660°＝60°－2×360°,420°＝60°＋360°，故它們與60°分別相差了－2個周角及1個周角．思考260°＋k·360°(k∈Z）．梳理周角題型探究例1（1）①(2)－120°跟蹤訓(xùn)練1（1)－720°(2）900°例2解(1)因為－150°＝－360°＋210°,所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－150°角終邊相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因為650°＝360°＋290°,所以在0°~360°范圍內(nèi)，與650°角終邊相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因為－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－950°15′角終邊相同的角是129°45′角，它是第二象限角．引申探究解一般地，要確定eq\f(α，n）所在的象限,可以作出各個象限的從原點出發(fā)的n等分射線,它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個區(qū)域,從x軸的非負(fù)半軸起，按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次標(biāo)上1，2,3,4,…，4n,標(biāo)號為幾的區(qū)域，就是根據(jù)α所在第幾象限時，eq\f（α,n）的終邊所落在的區(qū)域,如此，eq\f(α，n）所在的象限就可以由標(biāo)號區(qū)域所在的象限直觀的看出．跟蹤訓(xùn)練2解(1）60°角是第一象限角，所有與60°角終邊相同的角的集合S＝{β｜β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中適合－360°≤β〈720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°。（2)－21°角是第四象限角，所有與－21°角終邊相同的角的集合S＝{β|β＝－21°＋k·360°,k∈Z｝，S中適合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.例3解與10030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10030°(k∈Z),（1)由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大負(fù)角為β＝－50°。（2）由0°＜k·360°＋10030°＜360°,得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310°.(3）由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°,解得k＝－26，故所求的角為β＝670°。跟蹤訓(xùn)練3解由終邊相同的角的表示知,與角α＝－1910°終邊相同的角的集合為｛β|β＝k·360°－1910°，k∈Z｝．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z）,∴3eq\f(11，36)≤k＜6eq\f(11，36）（k∈Z),故取k＝4,5,6。當(dāng)k＝4時，β＝4×360°－1910°＝－470°；當(dāng)k＝5時,β＝5×360°－1910°＝－110°;當(dāng)k＝6時，β＝6×360°－1910°＝250°。例4解｛α｜α＝120°＋n·180°，n∈Z｝跟蹤訓(xùn)練4解終邊在y＝eq\f(\r(3)，3）x（x≥0）上的角的集合是S1＝{α｜α＝30°＋k·360°，k∈Z}；終邊在y＝eq\f（\r（3),3）x(x〈0）上的角的集合是S2＝｛α｜α＝210°＋k·360°，k∈Z｝．因此,終邊在直線y＝eq\f(\r（3)，3）x上的角的集合是S＝S1∪S2＝｛α｜α＝30°＋k·360°，k∈Z｝∪{α｜α＝210°＋k·360°，k∈Z｝，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°,k∈Z｝∪｛α｜α＝30°＋(2k＋1）·180°,k∈Z｝＝｛α|α＝30°＋n·180°，n∈Z｝．故終邊在直線y＝eq\f(\r（3），3)x上的角的集合是S＝｛α|α＝30°＋n·180°，n∈Z｝．例5解（1)終邊落在射線OA上的角的集合是｛α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．（2)終邊落在陰影部分（含邊界)的角的集合是{α｜k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．跟蹤訓(xùn)練5解設(shè)終邊落在陰影部分的角為α,角α的集合由兩部分組成：①{α｜k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z};②｛α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z｝．∴角α的集合應(yīng)當(dāng)是集合①與②的并集，即S＝{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z｝∪{α|k·360°＋210°≤α〈k·360°＋285°，k∈Z}＝｛α｜2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°,k∈Z｝∪{α|（2k＋1）180°＋30°≤α〈（2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝｛α｜2k·180°＋3