2018年數學二輪復習規(guī)范答題示例5數列的通項與求和問題理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE3學必求其心得，業(yè)必貴于專精規(guī)范答題示例5數列的通項與求和問題典例5(12分)下表是一個由n2個正數組成的數表，用aij表示第i行第j個數（i，j∈N*)．已知數表中第一列各數從上到下依次構成等差數列，每一行各數從左到右依次構成等比數列，且公比都相等．且a11＝1，a31＋a61＝9,a35＝48。a11a12a13…aa21a22a23…aa31a32a33…a……………an1an2an3…ann(1）求an1和a4n;(2)設bn＝eq\f（a4n,a4n－2a4n－1)＋（－1)n·an1(n∈N*），求數列｛bn}的前n項和Sn.審題路線圖eq\x(數表中項的規(guī)律)→eq\x(確定an1和a4n)eq\o(→，\s\up7（化簡bn))eq\x(分析bn的特征）eq\o(→，\s\up7（選定求和方法）)eq\x（分組法及裂項法、公式法求和)規(guī)范解答·分步得分構建答題模板解(1)設第1列依次組成的等差數列的公差為d，設每一行依次組成的等比數列的公比為q.依題意a31＋a61＝(1＋2d）＋(1＋5d)＝9，∴d＝1,∴an1＝a11＋（n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n，3分∵a31＝a11＋2d＝3，∴a35＝a31·q4＝3q4＝48,∵q>0,∴q＝2,又∵a41＝4，∴a4n＝a41qn－1＝4×2n－1＝2n＋1。6分(2)∵bn＝eq\f（a4n,a4n－2a4n－1）＋(－1）nan1＝eq\f(2n＋1,2n＋1－22n＋1－1)＋（－1）n·n7分＝eq\f（2n,2n－12n＋1－1)＋(－1)n·n＝eq\f（1，2n－1)－eq\f(1，2n＋1－1)＋（－1）n·n,∴Sn＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（1，3)))＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,3）－\f(1,7）)）＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,7)－\f（1,15）））＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2n－1）－\f(1,2n＋1－1））)＋［－1＋2－3＋4－5＋…＋(－1）nn］,10分當n為偶數時，Sn＝1－eq\f（1，2n＋1－1)＋eq\f(n,2)，11分當n為奇數時，Sn＝1－eq\f(1，2n＋1－1)＋eq\f（n－1，2）－n＝1－eq\f(1,2n＋1－1)－eq\f(n＋1，2)＝eq\f(1－n,2)－eq\f（1,2n＋1－1).12分第一步找關系:根據已知條件確定數列的項之間的關系．第二步求通項：根據等差或等比數列的通項公式或利用累加、累乘法求數列的通項公式．第三步定方法:根據數列表達式的結構特征確定求和方法（常用的有公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組法等)．第四步寫步驟．第五步再反思：檢查求和過程中各項的符號有無錯誤，用特殊項估算結果.評分細則(1）求出d給1分，求an1時寫出公式結果錯誤給1分;求q時沒寫q〉0扣1分；(2）bn寫出正確結果給1分，正確進行裂項再給1分;（3)缺少對bn的變形直接計算Sn，只要結論正確不扣分；(4)當n為奇數時，求Sn中間過程缺一步不扣分．跟蹤演練5（2017·山東)已知｛an｝是各項均為正數的等比數列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3（1)求數列｛an｝的通項公式；(2）｛bn}為各項非零的等差數列，其前n項和為Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1,求數列eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f(bn,an)）)的前n項和Tn.解（1）設｛an｝的公比為q,由題意知a1(1＋q)＝6，aeq\o\al(2,1）q＝a1q2，又an〉0,由以上兩式聯立方程組解得a1＝2,q＝2,所以an＝2n。(2）由題意知S2n＋1＝eq\f（2n＋1b1＋b2n＋1，2）＝(2n＋1)bn＋1，又S2n＋1＝bnbn＋1,bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.令cn＝eq\f(bn,an），則cn＝eq\f（2n＋1,2n),因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝eq\f（3，2)＋eq\f（5,22)＋eq\f（7,23)＋…＋eq\f（2n－1,2n－1)＋eq\f（2n＋1，2n)，又eq\f（1，2）Tn＝eq\f(3，22）＋eq\f(5,23)＋eq\f(7,24）＋…＋eq\f（2n－1，2n)＋eq\f(2n＋1，2n＋1)，兩式相減得eq\f（1，2)Tn＝eq\f（3，2)＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）＋\f（1,22）＋…＋\f（1,2n－1））)－eq\f（2n＋1，2n＋1)＝eq\f（3,2)＋eq\f（\f(1,2)\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，2n－1))），1－\f(1，2）)－eq\f(2n＋1，2n＋1)＝eq\f（5，2)－eq\f（2n