2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共16分，每題2分，第L8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個）

1.（2分）如圖是某幾何體的展開圖，該幾何體是（）

A.長方體B.圓柱C.圓錐D.三棱柱

2.（2分）黨的卜八大以來，堅持把教育扶貧作為脫貧攻堅的優(yōu)先任務(wù).2014?2018年，中央財政累計投入

“全面改善貧困地區(qū)義務(wù)教育薄弱學(xué)校基本辦學(xué)條件”專項補(bǔ)助資金1692億元，將169200000000用科

學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.1692X1012B.1.692X1012

C.1.692X1011D.16.92XIO10

3.（2分）如圖，點O在直線AB上，OCA.OD.若NAOC=120°，則NBO。的大小為（）

C.50D.60

4.（2分）下列多邊形中，內(nèi)角和最大的是（）

A.B.C.D.

5.（2分）實數(shù)〃，〃在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）

-5-4-3-2-1012345

A.a>-2B.\a\>bC.a+h>0D.h-a<0

6.（2分）同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上的概率是（）

1112

A.-B.-C.-D.-

4323

7.（2分）已知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若〃為整數(shù)且〃,則”的值

為（）

A.43B.44C.45D.46

8.（2分）如圖，用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為X”，它的鄰邊長為）山，矩形的面積為

Sm2.當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時,y和S都隨x的變化而變化,則y與x,S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

x

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系B.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系D.反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

二、填空題（共16分，每題2分）

9.（2分）若VF二不在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

10.（2分）分解因式：5/-5/=.

11.（2分）方程二=工的解為_______-

x+3x

12.（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若反比例函數(shù)y=5（ZW0）的圖象經(jīng)過點A（1,2）和點B（-1,

m）,則，"的值為.

13.（2分）如圖，PA,PB是的切線，A,8是切點.若NP=50°,則/A08=.

14.（2分）如圖，在矩形A8CZ）中，點E,F分別在3C,AO上，AF=EC.只需添加一個條件即可證明四

邊形AECF是菱形，這個條件可以是（寫出一個即可）.

15.（2分）有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，如下表所示:

甲1112131415

乙1212131414

甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為si，s乙2,則$甲2*乙2（填或"=

16.（2分）某企業(yè)有A,B兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線.在一天內(nèi)，A生產(chǎn)線共加工a噸原材料，加工時

間為（4o+l）小時；在一天內(nèi)，8生產(chǎn)線共加工人噸原材料，加工時間為（28+3）小時.第一天，該企

業(yè)將5噸原材料分配到A,B兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時間相同，則分

配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為.第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分

配結(jié)果分配了5噸原材料后，又給A生產(chǎn)線分配了m噸原材料，給B生產(chǎn)線分配了n噸原材料?.若兩條

m

生產(chǎn)線都能在一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時間相同，則一的值為.

n

三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21-22題，每題6分，第23題5分，第24題6分，第

25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

17.（5分）計算：2sin60°+V12+|-5|-（n+V2）0.

4%—5>x+1

18.（5分）解不等式組：3%-4

—<x

19.（5分）已知d+2廿-1=0,求代數(shù)式（a-b）2+b（2a+b）的值.

20.（5分）《淮南子?天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點A處立一

根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點B,使B,A兩點間的距離為10步（步是古代的一種長度單

位），在點8處立一根桿；日落時，在地面上沿著點3處的桿的影子的方向取一點C,使C,B兩點間的

距離為10步，在點C處立一根桿.取C4的中點￡>,那么直線。B表示的方向為東西方向.

（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點4,B,C的位置如圖所示.使用直尺和圓規(guī)，在圖

中作CA的中點D（保留作圖痕跡）.

（2）在如圖中，確定了直線OB表示的方向為東西方向.根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷

直線C4表示的方向為南北方向，完成如下證明.

證明：在△ABC中，BA=,。是CA的中點，，。，。臺（）（填推理的依據(jù)）.

；直線。8表示的方向為東西方向，.?.直線CA表示的方向為南北方向.

21.(6分)已知關(guān)于x的一元二次方程7-4/nx+3機(jī)2=o.

(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根.

(2)若皿>0,且該方程的兩個實數(shù)根的差為2,求朋的值.

22.(6分)如圖，在四邊形ABC。中，/ACB=NC4￡>=90°,點E在8c上，AE//DC,EFLAB,垂足

為F.

(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形.

4

(2)若AE平分N84C,BE=5,cosB=e，求BF和4。的長.

23.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，一次函數(shù)y=H+8(H0)的圖象由函數(shù))，=3的圖象向下平移1

個單位長度得到.

(1)求這個一次函數(shù)的解析式.

(2)當(dāng)x>-2時，對于x的每一個值，函數(shù)y=〃?x(mW0)的值大于一次函數(shù))=fcv+6的值，直接寫

出m的取值范圍.

24.(6分)如圖，。。是△ABC的外接圓，AD是。0的直徑，AOL8C于點E.

(1)求證：ZBAD=ZCAD.

(2)連接80并延長，交AC于點凡交于點G,連接GC.若。。的半徑為5,0E=3,求GC和

0尸的長.

25.(5分)為了解甲、乙兩座城市的郵政企業(yè)4月份收入的情況，從這兩座城市的郵政企業(yè)中，各隨機(jī)抽

取了25家郵政企業(yè)，獲得了它們4月份收入(單位：百萬元)的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析.下

面給出了部分信息.

甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成5組：6?8,8?10,10

Wx<12,12WxV14,14WxW16）：

b.甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)在10Wx<12這一組的是：

10.010.010.110.911.411.511.611.8

c.甲、乙兩座城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下:

平均數(shù)中位數(shù)

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）寫出表中，〃的值.

（2）在甲城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個數(shù)為在乙城

市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個數(shù)為幺.比較p”P2的大小,

并說明理由.

（3）若乙城市共有200家郵政企業(yè)，估計乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入（直接寫出結(jié)果）.

26.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（1,相）和點（3,”）在拋物線、="/+法（a>0）上.

（1）若機(jī)=3,〃=15,求該拋物線的對稱軸.

（2）已知點（-1,川），（2,>2），（4,>3）在該拋物線上.若，"〃<0,比較yi，yz，y3的大小，并說明

理由.

27.（7分）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,M為8C的中點，點。在MC上，以點4為中心,

將線段順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段4E,連接BE,DE.

(1)比較NB4E與ZC43的大小；用等式表示線段BE,BM,何。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2)過點M作AB的垂線，交DE于點N,用等式表示線段NE與M)的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OO的半徑為1.對于點4和線段BC,給出如下定義：若將線段

BC繞點A旋轉(zhuǎn)可以得到。。的弦夕C'(夕，C分別是B,C的對應(yīng)點)，則稱線段BC是。。的以

點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

(1)如圖，點4,Bi，Ci,Bi，Ci,B3,C3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).在線段8iG，B2c2,83c3中，

的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是.

(2)△ABC是邊長為1的等邊三角形，點A(0,/),其中rWO.若BC是。。的以點A為中心的“關(guān)

聯(lián)線段”，求f的值.

(3)在△ABC中，A8=l,AC=2.若是。。的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出OA的最小

值和最大值，以及相應(yīng)的8c長.

2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(共16分，每題2分，第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個)

1.B2.C3.A4.D5.B6.C

7.B［解析］：1936<2021<2025,A44<72021<45,An=44,故選：B.

8.A［解析］由題意得，2(x+y)=10,；.x+y=5,；.y=5-x,即y與x是一次函數(shù)關(guān)系.；5=孫=%

(5-x)=-f+5x,...矩形面積滿足的函數(shù)關(guān)系為S=-/+5x,即滿足二次函數(shù)關(guān)系，故選：A.

二、填空題(共16分，每題2分)

9.x27

10.5(x+y)(x-y)

11A-=3

12.-2

13.130°［解析PB是。。的切線，A,B是切點,J.OALPA,OBLPB,二N04尸=/OBP=

90°.VZOAP+ZAOB+ZOBP+ZP=360<,,，NAOB=360°-90°-90°-50°=130°.

14.AE=AF［解析］這個條件可以是AE=AF,理由：二?四邊形ABCZ)是矩形，；.AO〃BC,^AF//CE.V

AF=EC,四邊形AECF是平行四邊形.：AE=AF,...四邊形AECF是菱形，故答案為AE=AF.

15.>［解析］解法一：=(11+12+13+14+15)=13,s甲2=g(11-13)2+(12-13)2+(13-

13)2+(14-13)2+(15-13)2］=2,x2=|x(12+12+13+14+14)=13,s1［(12-13)2+(12

-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(14-13)2］=0.8.V2>0.8,AJ^2>s解法二：：甲、乙5

個數(shù)據(jù)有3個相同，且平均數(shù)相等，甲的極差=15-11=4,乙的極差=14-12=2,甲2>s乙2.

16.2：3|［解析］設(shè)分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為(5-x)噸，依題意

可，得4x+l=2(5-x)+3,解得x=2,.?.分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為5-2=3(噸)，分配到A生產(chǎn)線

的噸數(shù)與分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為2：3；

.?.第二天開工時，給A生產(chǎn)線分配了(2+/7J)噸原材料，給8生產(chǎn)線分配了(3+〃)噸原材料...?加工時

間相同，，4(2+m)+1—2(3+n)+3,解得〃7=%z,二一=一,故答案為2：3,-.

2n22

三、解答題(共68分，第17-20題，每題5分，第21-22題，每題6分，第23題5分，第24題6分，第

25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分)解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

17.解：原式=2x號+2遮+5-1=皆+28+5-1=38+4.

18.解：解不等式4x-5>x+l,得x>2,解不等式一廠<r,得x<4,則不等式組的解集為2Vx<4.

19.解：原式=/-24%+■+2。方+/=/+2廿.-：a*2+2h2-1=0,/.?2+2fc2=1,二原式=1.

20.解：（1）如圖，點。即為所求.

（2）在△ABC中，BA=BC,。是C4的中點，.*.CALOB（三線合一）.二?直線表示的方向為東西

方向，二直線CA表示的方向為南北方向.故答案為BC,三線合一.

222

21.（1）證明：'.'a=1,b=-4m,c=3m2,；.△=/-4nc=（-4/M）-4X1X3/n=4w.\,無論加

取何值時，4〃，50,即AMO,...原方程總有兩個實數(shù)根.

（2）解：-4〃tv+3m2=0,即（x-"2）（x-3加=0,xi=3m.\'m>0,且該方程的兩個

實數(shù)根的差為2,...3，“-，*=2,

22.（1）證明："：ZACB=ZCAD=90°,：.AD//CE.\"AE//DC,.?.四邊形AECO是平行四邊形.

A.RF44

（2）解："：EF1AB,:.NBFE=90°.VcosB=^=|J,BE=5,：.BF=^BE=^x5=4,:.EF=

y/BE2-BF2=VS2-42=3.YAE平分/BAC,EFLAB,NACE=90°,：.EC=EF=3,由（1）,得

四邊形AECD是平行四邊形，；.4。=△7=3.

23.解：⑴函數(shù)尸看的圖象向下平移1個單位長度得到尸%-1.???一次函數(shù)尸丘+b（20）的

圖象由函數(shù)產(chǎn)上的圖象向下平移1個單位長度得到，，這個一次函數(shù)的表達(dá)式為產(chǎn)表-1.

（2）把x=-2代入產(chǎn)%，-1，求得y=-2,???函數(shù)y=nvc（加力0）與一次函數(shù)尸3-1的交點為（-

2,-2）,把點（-2,-2）代入y=〃?x,求得機(jī)=1.二?當(dāng)-2時，對于x的每一個值，函數(shù)

（機(jī)wo）的值大于一次函數(shù)產(chǎn)分1的值，二鼻wmWi.

24.(1)證明：是的直徑，AD1BC,：.BD=CD,：.ZBAD=ZCAD.

(2)解：在RtZ\BOE中，08=5,0E=3,：.BE=yJOB2-OE2=4.是。。的直徑，AD1.BC,

:.BC=2BE=8.是。0的直徑，:.NBCG=90°,：.GC=yjBG2-BC2=6.\'ADLBC,/BCG

0AOF5OF

=90°,：.AE//GC,：./\AFO^/\CFG,：.—=一,即一=-----,解得。尸=簿.

25.解：(1)將甲城市抽取的25家郵政企業(yè)4月份的營業(yè)額從小到大排列，處在中間位置的一個數(shù)是

10.1,因此中位數(shù)是10.1,即m=10.1.

(2)由題意得pi=5+3+4=12(家)，由于乙城市抽取的25家郵政企業(yè)4月份的營業(yè)額的平均數(shù)是11.0,

中位數(shù)是11.5,因此所抽取的25家郵政企業(yè)4月份營業(yè)額在11.5及以上的占一半，也就是欠的值要大

于13,'.p\＜p2.

(3)11.0X200=2200(百萬元)，答：乙城市200家郵政企業(yè)4月份的總收入約為2200百萬元.

26.解：(1),：m=3,〃=15,...點(1,3),(3,15)在拋物線上,將(1,3),(3,15)代入y=a?+bx,

得解得(x+1)J，...拋物線對稱軸為直線*=7.

(2)；y=ar2+6x(“＞0),...拋物線開口向上且經(jīng)過原點，當(dāng)6=0時，拋物線頂點為原點，x＞0時y

隨x增大而增大，〃＞機(jī)＞0不滿足題意，當(dāng)6＞0時，拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，同理，〃＞機(jī)＞0不滿足

題意，.,北＜0,拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，x=I時機(jī)＜0,x=3時〃＞0,即拋物線和x軸的2個交點，

一個為(0,0),另外一個在1和3之間，.?.拋物線對稱軸在直線x=，與直線x=去之間，＜~^＜

3__1ha3bq

].,?點（2,>2）與對稱軸距離；<2-（一而）<2，點（-1，y）與對稱軸距離：V———（-1）<2,

點（4,”）與對稱軸距離5<4-（―/）

27.解：（1）'：ZDAE=ZBAC=a,：.ZDAE-ZBAD=ZBAC-Z8AD,即/8AE=NCA￡>,在△ABE

AB=AC

和△ACO中，卜B4E=4C/W,.?.△ABEg/XACZXSAS）,；.8￡：=0）.?.?仞為BC的中點，.,.8M=CM,

AE=AD

：.BE+MD=BM.

（2）如圖，作￡W_L48交8C于”，交AB于尸，由（1）ZVIBE絲△AC。，得NABE=NACO.VZACD

2EBF=乙HBF

=ZABC,:.NABE=NABD,在ABE尸和△B”尸中，BF=BF,：.AB￡F^/\BHF（ASA）,

ZBFE=乙BFH

,二ENMH

BE=BH,由（1）知：BE+MD=BM,:.MH=MD.,:MN〃HF,：.—=—,：.EN=DN.

28.解：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB=AB',4C=AC',NBAB'=/CAC',由圖可知點A到圓上

一點的距離”的范圍為a夜+1.?；AG=3>d,.?.點C「不可能在圓上，