2018年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)一篇過專題38橢圓理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE27-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點(diǎn)38橢圓（1）了解橢圓的實(shí)際背景,了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.（2）掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì).（3）了解橢圓的簡單應(yīng)用。（4)理解數(shù)形結(jié)合的思想。一、橢圓的定義平面上到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的焦距，記作。定義式：。要注意，該常數(shù)必須大于兩定點(diǎn)之間的距離，才能構(gòu)成橢圓。二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在軸上，；焦點(diǎn)在軸上，.說明：要注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置選擇橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，知道之間的大小關(guān)系和等量關(guān)系：。三、橢圓的圖形及其簡單幾何性質(zhì)i）圖形焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上ii)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)范圍頂點(diǎn)焦點(diǎn)對稱性離心率橢圓，對稱軸:軸,軸，對稱中心：原點(diǎn)，，注意：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法可以采用待定系數(shù)法,此時(shí)要注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置選擇橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;也可以利用橢圓的定義及焦點(diǎn)位置或點(diǎn)的坐標(biāo)確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.求橢圓的離心率主要的方法有:根據(jù)條件分別求出與，然后利用計(jì)算求得離心率；或者根據(jù)已知條件建立關(guān)于的等量關(guān)系式或不等關(guān)系式，由此得到方程或不等式,通過解方程或不等式求解離心率的值或取值范圍.四、必記結(jié)論1。設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有最小值b，P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處；當(dāng)時(shí)，有最大值a，P點(diǎn)在長軸端點(diǎn)處．2.已知過焦點(diǎn)F1的弦AB，則的周長為4a.考向一橢圓定義的應(yīng)用1.橢圓定義的集合語言:往往是解決計(jì)算問題的關(guān)鍵，橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形。解決焦點(diǎn)三角形問題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理。以橢圓上一點(diǎn)和焦點(diǎn)F1（－c,0），F(xiàn)2(c，0）為頂點(diǎn)的中，若,注意以下公式的靈活運(yùn)用:（1)；（2）；（3）。2.解決已知橢圓的焦點(diǎn)位置求方程中的參數(shù)問題,應(yīng)注意結(jié)合焦點(diǎn)位置與橢圓方程形式的對應(yīng)關(guān)系求解。典例1已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上．（1）若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于1，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離為________________；(2)過F1作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的周長為________________；（3）若，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為________________．【答案】(1）3；（2)8；（3)．（3）在中，由余弦定理可得,即，由橢圓的定義可得，兩式聯(lián)立解得．1．P是橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2，4）＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1和F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若∠F1PF2＝30°，則的面積為A．eq\f（16\r（3）,3） B．4（2－eq\r（3））C．16(2＋eq\r(3)） D．16考向二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的方程有兩種方法:（1）定義法.根據(jù)橢圓的定義，確定a2,b2的值,結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程。（2）待定系數(shù)法.這種方法是求橢圓的方程的常用方法，其一般步驟是：第一步,做判斷。根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸上,還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能（這時(shí)需要分類討論）。第二步，設(shè)方程.根據(jù)上述判斷設(shè)方程為或.第三步,找關(guān)系。根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組(注意橢圓中固有的等式關(guān)系）。第四步，得橢圓方程.解方程組，將解代入所設(shè)方程,即為所求?！咀⒁狻坑么ㄏ禂?shù)法求橢圓的方程時(shí)，要“先定型，再定量”，不能確定焦點(diǎn)的位置時(shí)，可進(jìn)行分類討論或把橢圓的方程設(shè)為。典例2橢圓以x軸和y軸為對稱軸，經(jīng)過點(diǎn)(2，0),長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的方程為A。x24+y2=1 B。y2C。x24+y2=1或y216+x24=1 D.x24【答案】C2．離心率為，長軸長為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A． B．或C． D．或考向三橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用1。與幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,即使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形.理解頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量之間的關(guān)系，深挖出它們之間的聯(lián)系，求解自然就不難了。2。橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì),求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)有兩種方法：（1）求出a，c，代入公式.（2）只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式（不典例3已知橢圓的方程為2x2＋3y2＝m，(m>0），則此橢圓的離心率為A.eq\f（1,3） B。eq\f(\r（3),3）C.eq\f（\r(2)，2） D.eq\f（1,2）【答案】B【解析】由題意，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（x2，\f（m,2))＋eq\f(y2，\f(m,3））＝1，∴a2＝eq\f(m,2），b2＝eq\f（m,3),∴c2＝a2－b2＝eq\f（m，6)，∴e2＝eq\f(c2,a2）＝eq\f（1,3)，即e＝eq\f(\r(3）,3）。故選B。3．已知橢圓上有一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍為A． B．C． D．1．方程x2+ky2=2A．(0C．（1，+∞） D．（0，1）2．橢圓2xA．2 B．2C．25 D．3．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與其對稱軸的交點(diǎn),且橢圓的離心率為12A．x212+y216=1 B．C．x248+y264=1 D．4．已知橢圓x2+my2=1的離心率e∈（12，1），則實(shí)數(shù)mA．（0，34） B．(34,C．（0，34）∪（43，+∞） D．（34,1)∪5．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1（a〉b〉0)的離心率為22，右頂點(diǎn)到直線x=aA．x22+y2=1 B．x2C．x24+y2=1 D．x26．對于常數(shù)m，n,“mn〉0”是“方程mx2+ny2=1表示的曲線是橢圓”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 7．如圖，橢圓x29+y24=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1A．(-355C．（—255,8．已知點(diǎn)M是橢圓x24+y2=1A．1 B．3C．2 D．49．已知F1，F(xiàn)2為橢圓x2a2+y2b2=1(a〉b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2作橢圓的弦A．x24+C．x216+10．設(shè)P是橢圓x216+y212=1上一點(diǎn)，P到兩焦點(diǎn)F1,FA．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形 11．已知F1,F2分別是橢圓E：x2a2+y2b2=1（a〉b〉0）的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)(1,22)在橢圓上,且點(diǎn)（—1，0)到直線PF2的距離為4A．x2+y24=1 B．x2C．x2+y22=1 D．x212．已知橢圓x24+y22=1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1,F2，點(diǎn)P在該橢圓上，若|PF1｜—|PF2A．2 B．2C．22 D．313．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b〉0)的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A,B，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB的距離為433A．x28+y24=1 B．C．x216+y28=1 D．14．已知橢圓x2a2+y2b2=1（a〉b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1（—c,0),F2(A．（0，2-1） B．（22C．（0,22) D．(215．若橢圓x2m+y24=1(m16．已知F1,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓的長軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn),若為正三角形，則橢圓的離心率為.

17．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b〉0）的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2,若的面積為9,則18．如圖,A,B分別為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，是面積為4的等腰直角三角形,則19．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓x225+y216=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6,4），則｜PM｜+｜PF1｜20．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F221．設(shè)橢圓x24+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F22．某宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心F為焦點(diǎn)的橢圓,測得近地點(diǎn)A距離地面mkm，遠(yuǎn)地點(diǎn)B距離地面nkm,地球半徑為Rkm,關(guān)于這個(gè)橢圓有下列說法：①焦距長為n-m;②短軸長為(m+R)(n+R其中正確說法的序號為。

23．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)分別為(0，—2),(0,2）,經(jīng)過點(diǎn)(4,32)；(2）對稱軸為坐標(biāo)軸，經(jīng)過點(diǎn)P(-6，0）和Q(0,8）.24．P是橢圓x2a2+y2b2=1（a〉b>0)上任意一點(diǎn),F1,F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),有一動點(diǎn)Q滿足25．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b〉0）的離心率為22，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2.直線l：y=kx+m（1)求橢圓的方程;（2）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m2，求k1．(2017浙江）橢圓的離心率是A． B．C． D．2．（2017新課標(biāo)III理)已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A． B．C． D．3．(2017新課標(biāo)I）設(shè)A，B是橢圓C：長軸的兩個(gè)端點(diǎn),若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是A． B．C． D．4．（2016新課標(biāo)III理）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：的左焦點(diǎn),A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)。P為C上一點(diǎn),且PF⊥x軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E。若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為A． B． C． D．5．（2017江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8．點(diǎn)在橢圓上,且位于第一象限，過點(diǎn)作直線的垂線,過點(diǎn)作直線的垂線．(1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線，的交點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(注：橢圓的準(zhǔn)線方程：）變式拓展變式拓展1．【答案】B【解析】由題意知c＝1；｜PF1｜＋｜PF2｜＝2eq\r(5）,｜F1F2｜＝2，在中有：｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2|PF1|·｜PF2|cos30°＝|F1F2|2∴(｜PF1|＋｜PF2|)2－(2＋eq\r（3)）｜PF1｜·|PF2|＝4,∴|PF1|·|PF2｜＝16（2－eq\r（3))，的面積為S＝eq\f（1，2）｜PF1|·|PF2｜sin30°＝4（2－eq\r(3))．故選B。2．【答案】B【解析】由題意知，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，．故選B．3．【答案】C．又因?yàn)?，所以．故選C．考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】D【解析】方程x2+y21k=2表示焦點(diǎn)在y2．【答案】A【解析】將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x23+y22=1，則a2=3,b3．【答案】B【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2，故橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0），顯然橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,且c=2。因?yàn)殡x心率為12，所以a=4,故b2=a2-c2=12,從而橢圓的方程為x216+y4．【答案】C【名師點(diǎn)睛】橢圓的性質(zhì)分兩類:（1)與坐標(biāo)系無關(guān)的,如軸長、焦距、離心率；(2)與坐標(biāo)系有關(guān)的,如頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo).

5．【答案】A【解析】由題意知，ca=22a2c-a=2-2,解得a=2c=1,所以b6．【答案】B【解析】由mn>0,得m>0n>0

或m<0n<0。由方程mx2+ny27．【答案】A【解析】F1-5,0、則PF1當(dāng)∠F1P由點(diǎn)P在橢圓上，可得yP∴xP2-5+4-4點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是-故選A.8．【答案】A9．【答案】D【解析】由橢圓的定義知｜AF1｜+|BF1｜+｜AB|=4a=16,∴a=4。又ca=32，∴c=23，∴b2=42-（23）210．【答案】B【解析】由|PF1|+|PF2|=8,｜PF1｜-|PF2｜=2，解得｜PF1｜=5，｜PF2|=3。又｜F1F2｜=4，故滿足｜PF2｜2+|F1F2｜2=｜PF1|2，故為直角三角形11．【答案】D【解析】設(shè)F2的坐標(biāo)為（c，0）(c>0),則kPF2=4c+1,故直線PF2的方程為y=4c+1(x-c),即4c+1x—y—4cc+1=0，點(diǎn)（-1,0)到直線PF解得c=1或c=-3（舍去），所以a2—b2=1。①又點(diǎn)（1，22)在橢圓E上,所以1a2+1由①②可得a2=2,b2=1,12．【答案】A【解析】由橢圓的方程可知a=2，c=2,且｜PF1|+｜PF2｜=2a=4，又|PF1|-|PF2|=2，所以｜PF1｜=3,｜PF2|=1.又|F1F2｜=2c=22,所以有｜PF1｜2=|PF2|2+｜F1F2|2,即13．【答案】C14．【答案】D【解析】根據(jù)正弦定理得|P又asin∠PF1F2=所以|PF1｜=e|PF2|。又|PF1|+｜PF2|=e｜PF2｜+|PF2｜=|PF2|·(e+1）=2a,所以｜PF2｜=2因?yàn)閍—c<|PF2|<a+c，所以a-c〈2ae+1所以1-ca<2e+1〈1+ca,所以1—e<2e+1<1+e15．【答案】25或4【解析】由題意知c=1，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，m-4=1，∴m=5,橢圓的方程為，則橢圓上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為25;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),4—m=1，則m=3，橢圓的方程為，則橢圓上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4,∴橢圓上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為25或4.【名師點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，易錯(cuò)的原因是忽略了橢圓焦點(diǎn)位置對參數(shù)的影響。當(dāng)橢圓焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，一般要分類討論。

16．【答案】3【解析】方法一：e=ca=2c2a=|F1F2||F1A|+|F2A|。因?yàn)闉榈冗吶切?所以方法二：不妨設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b〉0）,F1(c,0），F(xiàn)2（-c，0)，由x=ca2=b2+c2x2a2+y2b2=1得｜y｜=b2a,即|AF1|=｜BF1|=b2a,|AB|=2b217．【答案】3①式兩端平方并把②③式代入，可得4c2+36=4a2，即a2—c2=9,即b2=9,故18．【答案】4【解析】已知是等腰直角三角形,而｜OB｜=a,過點(diǎn)P作PH⊥OB于點(diǎn)H，則PH=OH=12OB=12所以其面積S=12|OB｜×|PH|=12×a×12a=1故由題意可得14a2=4,解得a=4,故P由點(diǎn)P在橢圓上可得,2242+22b2=1，解得b2=19．【答案】15【解析】因?yàn)闄E圓x225+y216=1中，a=5,b=4,所以c=3，得焦點(diǎn)為F1（-3,0），F(xiàn)2(3,0)。根據(jù)橢圓的定義，得｜PM｜+｜PF1|=｜PM｜+(2a—|PF2｜)=10+(｜PM|—|PF2|)。因?yàn)閨PM｜—|PF2|≤|MF2|,當(dāng)且僅當(dāng)P在MF2的延長線上時(shí)等號成立，此時(shí)|PM|+|PF120．【答案】x【解析】由已知得c解得a∴x21．【答案】[-2,1]22．【答案】①③【解析】由題意，得n+R=a+c,m+R=a-c,可解得n—m=2c，a=m∴2b=2a2-c2=2(m+R)(n23．【解析】(1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2+x2b方法一:由橢圓的定義知，,所以a=6.又c=2，所以b=a2-c2=42，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y方法二:因?yàn)樗髾E圓過點(diǎn)（4,32),所以18a2+16b2=1。又a2—b2=c2=4,所以a2=36，b2=32,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由橢圓的幾何性質(zhì)可知，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn),所以點(diǎn)P,Q分別是橢圓的短軸和長軸的一個(gè)端點(diǎn)，則短半軸長b=6,長半軸長a=8,且短軸、長軸分別在x軸和y軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y264+設(shè)Q（x，y），則OP=(-x2,-y2）,即P點(diǎn)坐標(biāo)為(—x2，又P在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，則有(-x故動點(diǎn)Q的