2022年度陜西省榆林市玉林誠信中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022年度陜西省榆林市玉林誠信中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知是正三角形內(nèi)部一點，，則的面積與的面積之比是(

)

（A）

（B）

（C）2

（D）參考答案：B略2.（5分）已知α，β均為銳角，且3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，則α+2β的值為（） A． B． C． D． π參考答案：D考點： 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 將已知兩等式分別平方，左右兩邊相加求出cos（α+β）的值，再由已知兩等式表示出sinβ與cosβ，代入化簡得到的式子中求出cosα與cosβ的值，得到cos（α+β）=﹣cosβ，根據(jù)α，β均為銳角，化簡即可求出α+2β的值．解答： 由3sinα=2sinβ，得sinβ=sinα，由3cosα+2cosβ=3，得cosβ=﹣cosα，將3sinα﹣2sinβ=0，兩邊平方得：（3sinα﹣2sinβ）2=0，整理得：9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β=0①，同理，將3cosα+2cosβ=3，兩邊平方得：（3cosα+2cosβ）2=9，整理得：9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9②，兩式相加得9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β+9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9整理得：13+12（cosαcosβ﹣sinαsinβ）=9，即cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣，即cos（α+β）=﹣，將sinβ=sinα，cosβ=﹣cosα代入得：cosα（﹣cosα）﹣sin2α=﹣，整理得：cosα﹣cos2α﹣（1﹣cos2α）=﹣，解得：cosα=，cosβ=﹣cosα=，即cos（α+β）=﹣cosβ，∵α、β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴cos（α+β）=cos（π﹣β），即α+β=π﹣β，則α+2β=π．故選：D．點評： 此題考查了同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．3.三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有的棱長都為，頂點都在一個球面上，則該球的體積為(

)A. B. C. D.參考答案：B【分析】求得底面正三角形的外接圓半徑，利用勾股定理計算出球的半徑，進而計算出球的體積.【詳解】設(shè)底面正三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得，即，所以求的半徑為，所以球的體積為.故選：B【點睛】本小題主要考查幾何體外接球體積的計算，屬于基礎(chǔ)題.4.若函數(shù)滿足對任意的，當(dāng)時，則實數(shù)的取值范圍是（▲）A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.已知函數(shù)，其中為實數(shù)，若對恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是A. B.C. D.參考答案：C【詳解】因為對任意恒成立，所以，則或，當(dāng)時，，則（舍去），當(dāng)時，，則，符合題意，即，令，解得，即的單調(diào)遞減區(qū)間是；故選A.6.設(shè)二次函數(shù)，如果，則等于（

）A．B．C．D．參考答案：C7.下列運算錯誤的是

A.

B.

C.

D.參考答案：A略8.一個三棱錐P﹣ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，且長度分別為1、、3，則這個三棱錐的外接球的表面積為（）A．16π B．32π C．36π D．64π參考答案：A【考點】球的體積和表面積．【分析】三棱錐P﹣ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴展為長方體的外接球，求出長方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求球的表面積．【解答】解：三棱錐P﹣ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴展為長方體的外接球，求出長方體的對角線的長：所以球的直徑是4，半徑為2，球的表面積：16π故選A．9.如圖，在△ABC中，，若，則=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】平面向量的基本定理及其意義．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應(yīng)用．【分析】用表示出，則=．【解答】解：∵，∴==（）=﹣，∴==+﹣=+．故選D．【點評】本題考查了平面向量線性運算的三角形法則，屬于基礎(chǔ)題．10.設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且，則△PAB與△PBC的面積之比是（）A. B. C. D.參考答案：B試題分析：依題意，得，設(shè)點到的距離為，所以與的面積之比是，故選B．考點：三角形的面積．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f(x)的定義域是[1,5]，則的定義域是________參考答案：[1,3]12.數(shù)列{an}中，a1=1，對所有的n≥2都有a1a2a3…an=n2，則a3=

．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式．【分析】直接利用表達式，通過n=2，n=3時的兩個表達式作商，即可求出結(jié)果．【解答】解：因為數(shù)列{an}中，a1=1，對所有n∈N*，都有a1a2…an=n2，所以n=3時，a1a2a3=32，n=2時，a1a2=22，所以a3=．故答案為：．13.在區(qū)間內(nèi)隨機取一個數(shù)，的值介于0到之間的概率為

參考答案：14.已知數(shù)列{an}的前n項和，則的前項和______▲_______.參考答案：

15.已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點（2，），則f（9）=

．參考答案：3【考點】冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用．【分析】先由冪函數(shù)的定義用待定系數(shù)法設(shè)出其解析式，代入點的坐標(biāo)，求出冪函數(shù)的解析式，再求f（16）的值【解答】解：由題意令y=f（x）=xa，由于圖象過點（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案為：3．16.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，，，則m=

．參考答案：5因為差數(shù)列的前項和為，，所以公差，，得，解得，故答案為5.

17.若直線x﹣y=2被圓（x﹣a）2+y2=4所截得的弦長為2，則實數(shù)a的值為．參考答案：0或4【考點】J8：直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】由已知得圓心（a，0）到直線x﹣y=2的距離d==，由此利用點到直線的距離公式能求出實數(shù)a的值．【解答】解：∵直線x﹣y=2被圓（x﹣a）2+y2=4所截得的弦長為2，∴圓心（a，0）到直線x﹣y=2的距離d==，∴，解得a=0或a=4，故答案為：0或4．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，⑴判斷的奇偶性；

⑵證明．參考答案：解析：（1）-------------------------------------------------2分

，--------------------------------------4分為偶函數(shù)-------------------------------------------------------------6分（2），當(dāng)，則，即；-------------------8分

當(dāng)，則，即---------------------------------------------------10分∴。--------------------------------------------------------------12分19.如圖所示，A，B分別是單位圓與x軸、y軸正半軸的交點，點P在單位圓上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C點坐標(biāo)為（﹣2，0），平行四邊形OAQP的面積為S．（1）求?+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．參考答案：【考點】任意角的三角函數(shù)的定義；單位圓與周期性．【分析】（1）求出A（1，0），B（0，1）．P（cosθ，sinθ），然后求解?，以及平行四邊形OAQP的面積，通過兩角和與差的三角函數(shù)，以及正弦函數(shù)的值域求解即可．（2）利用三角函數(shù)的定義，求出sinθ，cosθ，利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)求解表達式的值．【解答】解：（1）由已知，得A（1，0），B（0，1）．P（cosθ，sinθ），因為四邊形OAQP是平行四邊形，所以=+=（1+cosθ，sinθ）．所以?=1+cosθ．又平行四邊形OAQP的面積為S=|?|sinθ=sinθ，所以?+S=1+cosθ+sinθ=sin（θ+）+1．又0＜θ＜π，所以當(dāng)θ=時，?+S的最大值為+1．（2）由題意，知=（2，1），=（cosθ，sinθ），因為CB∥OP，所以cosθ=2sinθ．又0＜θ＜π，cos2θ+sin2θ=1，解得sinθ=，cosθ=，所以sin2θ=2sinθcosθ=，cos2θ=cos2θ﹣sin2θ=．所以sin（2θ﹣）=sin2θcos﹣cos2θsin=×﹣×=．20.（10分）已知角x的終邊經(jīng)過點P（﹣1，3）（1）求sinx+cosx的值（2）求的值．參考答案：考點： 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用；任意角的三角函數(shù)的定義．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： （1）由角x的終邊經(jīng)過點P，利用任意角的三角函數(shù)定義求出sinx與cosx的值，即可求出sinx+cosx的值；（2）原式利用誘導(dǎo)公式化簡，整理后把tanx的值代入計算即可求出值．解答： 解：（1）由點P（﹣1，3）在角x的終邊