北京市高考試題立體幾何匯編

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————————————————————————————————日期：2011－201７北京市高考試題立體幾何匯編

1、（201１文5)某四棱錐的三視圖如右圖所示,該四棱錐的表面積是(）．A．3２B.１6＋162C.48Ｄ．1６+322

2、(２0１1理7）某四周體的三視圖如右圖所示，該四周

體四個(gè)面的面積中最大的是( )

A.８Ｂ.62C.１0D．82

3、(２012理７,文７)某三棱錐的三視圖如右圖所攬誆鈉問(wèn)鑼璽溆瓚廢竊鉈鮑誆膽費(fèi)。示，該三棱錐的表面積是（)．

Ａ．2865B.3065Ｃ.56125Ｄ.60125

4

234

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

4、(２0１3,文8)如右圖,在正方體AＢCＤ－A1B1C1D1中,P為對(duì)角線BＤ1的三平分點(diǎn)，P到各極點(diǎn)的距離的不一樣取值

有( )．

Ａ．3個(gè)Ｂ．4個(gè)C．５個(gè)D．6個(gè)

5、（２01３，文1０)某四棱錐的三視圖以下列圖所示，該四棱錐的體積為_(kāi)____＿

___．樁營(yíng)詩(shī)紗樅饌揮嚶駐莢颼鸕氣鈾啞。

6、（2０１3,理14)如右圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1D1C1A11中,E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上,點(diǎn)P到直線CC1的距離BPD的最小值為．C７、(２014,理7)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知AEBA(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2),若S1，S2,S3分別表示三棱錐DABC在xOy,yOz，zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則2

21正（主）視圖側(cè)（左）視圖11

俯視圖

（A)S1S2S3(B)S1S2且S1S3(Ｃ）S1S3且S2S3(Ｄ）S2S3且S1S38、(2０14,文1１)某三棱錐的三視圖如右圖所示,則該三棱錐的最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)

為.

9、(2015理5)某三棱錐的三視圖以下列圖所示，則該三棱錐的表面積是

龜氣鰣躦緗儀藥為崢樅輝濃矯橫纈。A．25Ｂ.45C.225D.５

1211正(主)視圖側(cè)(左)視圖

俯視圖

0、(2０15文7)某四棱錐的三視圖如右圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為

(A）1(B）（B)(Ｄ)2

11、(2０16理６）某三棱錐的三視圖如右圖所示，

則該三棱錐的體積為( )

A．?B．?C.?D.1壚狀褳窪陳鋱傖攢嗶萵腎饋虜缽煥。

2、(2016文1１）某四棱柱的三視圖如右圖所示，則該四棱柱的體積為＿_(dá)_

_＿_(dá).

１

正（主）視圖左（側(cè)）視圖

１

１

２

俯視圖

1３、（2０１７理7)如右圖，某四棱錐的三視圖以下圖，

則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為(）

（A)３2(B)２3(Ｃ)22(D)21４、(２０１７文)6某三棱錐的三視圖以下圖，則該三棱錐的體積為( )(Ａ)60（Ｂ）30

(C）20

(Ｄ)１0

15、（2０1７理16)以下列圖，在四棱錐P-ABCＤ中，底面

ABCD為正方形,平面PAＤ⊥平面AＢCD，點(diǎn)M在線段P

黷驅(qū)鵬暢槨鵲蘢縲搶頂錫聯(lián)貶壩國(guó)。Ｂ上,ＰＤ//平面ＭAC，PA＝PD＝6，AＢ=4．

(I）求證：M為ＰB的中點(diǎn);

(IＩ)求二面角B-PD-Ａ的大??；

（IIＩ)求直線MC與平面BＤＰ所成角的正弦值.

16、(20１7文1８）如圖,在三棱錐P–ＡBC中,PA⊥AB,PA⊥BＣ,AB⊥BＣ,ＰA=AB=BC=２，D為線段ＡC的中點(diǎn)，E為線段PC上

一點(diǎn)．

（Ⅰ)求證：PA⊥BD；

(Ⅱ)求證：平面BDＥ⊥平面PAC；

（Ⅲ)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E–ＢＣD的體積．

1７、(2016理１7)如右圖,在四棱錐Ｐ﹣AＢＣD中，平面PAＤ⊥平面ＡBCD，PＡ⊥ＰＤ，PA=PD,ＡB⊥ＡD，AＢ=1,AD=2，AC=ＣD＝.

（Ⅰ）求證：ＰD⊥平面ＰAB；

(Ⅱ)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;

（Ⅲ）在棱PA上能否存在點(diǎn)Ｍ，使得BＭ∥平面ＰCＤ?

若存在，求的值,若不存在，說(shuō)明原因．

1８、（2016文18）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC⊥AC.

（Ⅰ)求證：DC⊥平面PAC；

（Ⅱ)求證：平面PAB⊥平面PAC；銫積鵓墮戶燾鎊廄譏鈉賅薟圍運(yùn)媧。

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),在棱PB上能否存在點(diǎn)F,使得PA⊥平面CEF，說(shuō)

明原因．

１9、(20１5文1８）如圖,在三棱錐E-AＢC中，平面EAB⊥平面ABC,三角形Ｅ

AB為等邊三角形,AC⊥BC,且AC=BC=,O,M分別

燉療揮琿鱖齟擔(dān)縮鑣瓊暈嚌鱈浹轅。為ＡB，ＥA的中點(diǎn)。

1）求證：EB／/平面ＭOC.

2）求證:平面MOC⊥平面ＥAB．

3）求三棱錐Ｅ-ＡＢC的體積。

蓯誥勛悵飛蟈鑼懷齪麩猙鑽燒諏釣。20、（2015理17）如圖,在四棱錐AEFCB中,△AEF為等邊三角形,平面AEF平面EFCB,EF∥BC，，，，為A2aEBCFCBEF的中點(diǎn)．BC4EF60O(Ⅰ)求證：AOBE；(Ⅱ）求二面角FAEB的余弦值;(Ⅲ)若BE平面AOC,求a的值．

CF

OEB21、(2014文17)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中側(cè),EA11棱垂直于底面，ABBC,AA1AC2,E、F分別為CB1A1C1、BC的中點(diǎn).(1）求證:平面ABE平面B1BCC1；（２）求證：C1F//平面ABE;ACF(3）求三棱錐EABC的體積.B

２2、(２０14理17)如圖，正方形AMDE的邊長(zhǎng)為2，B、C分別為AM、MD的中

點(diǎn)，在五棱錐PABCDE

中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn),平面ABF與棱PD、PC分別交于點(diǎn)G、H.

（Ⅰ）求證：AB∥FG；

（Ⅱ）若PA平面ABCDE，且PAAE,求直線BC與平面ABF所成角的大小，并

P詘齒災(zāi)鉦騰賈詛轍錮嚇懾藥療經(jīng)礦。求線段PH的長(zhǎng).

FG

EH

DA23、（2０13理17)如圖,在三棱柱ABCBA1B1C1中,AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形．平面ABC平面113,BC5.AACC，AB（Ⅰ)求證：AA1平面ABC；（Ⅱ）求證二面角A1BC1B1的余弦值;(Ⅲ）證明在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得ADA1B,并求BD的值.:BC1

2４、(２013文１7)如圖,在四棱錐P－AＢＣD中,AB∥CＤ，AＢ⊥AD,CＤ＝2AB，平面PＡD⊥平面ＡBCD，PA⊥AD.E和F分別是ＣD和PＣ的中點(diǎn)．求證：

1）ＰＡ⊥底面ABＣD;(2）BE∥平面PＡD；

(3)平面ＢEF⊥平面PCD.寧紕邊欒為廄繰羥瘞鹽釩犢槨氽躓。

CMA1B1

C1

AB

C

25、(2012,文16)如圖1，在Rt△ＡBC中,∠C＝９0°，D,E分別為AＣ,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn),將△ADＥ沿DＥ折起到△Ａ１ＤE的地點(diǎn),使A1Ｆ⊥CD,如圖2。

（Ｉ)求證：DE∥平面Ａ１ＣB；

(IＩ)求證:Ａ1F⊥BE；

(ＩＩI)線段A1B上能否存在點(diǎn)Q，使Ａ1C⊥平面DEQ?說(shuō)明原因。譎詼壟島穢膿躒狹鐙殫羅繩歿鶼嬙。

A

A1

EDDEFFCBCB

圖1圖2

26、(2012理1６)如圖，在RtABC中,C90，BC3,AC6,D、分別為AC、1EAB上的點(diǎn),且DE//BC，DE2,將ADE沿DE折起到A1CCD，如圖2．A(Ⅰ）求證:AC1平面BCDE；（Ⅱ)若M是A1D的中點(diǎn),求CM與平面A1BE所成角的大小;

DE（Ⅲ）線段BC上能否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說(shuō)明原因．６）如圖C圖1,在四棱錐PABCD27、（2011理1中，PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB2,BAD60。(I）求證：BD平面PAC（Ⅱ)若PAAB,求PB與AC所成角的余弦值；（Ⅲ）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí),求PA的長(zhǎng);

A1DE的地點(diǎn)，使

A1

M

DE

BCB圖2

P

D

AC

B

２８、(2０１1文1７)如圖，在四周體PABＣ中,ＰC⊥ＡB，PA⊥BＣ,點(diǎn)Ｄ,E,F,G分別是棱ＡＰ,ＡC，BＣ，PB的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證:DＥ∥平面BCP;(Ⅱ）求證：四邊形DＥFG為矩形；

(Ⅲ）能否存在點(diǎn)Ｑ,到四周體ＰＡBＣ六條棱的中點(diǎn)的距離相等?說(shuō)明原因.碭峽閂蕭顴嗩闡離嶇彈濃麩囪敗銳。

答案:1、B2、Ｃ３、B4、Ｂ5、３６、25、D58、22、、C１、A１２、313、B14、Ｄ9C101215、(I）設(shè)AC,BD交點(diǎn)為E，連結(jié)ME.由于PD∥平面MAC,平面MAC平面PDBME,所以PD∥ME.由于ABCD是正方形，所以E為BD的中點(diǎn)，所以M為PB的中點(diǎn)．

(II）取AD的中點(diǎn)O,連結(jié)OP，OE．

由于PAPD,所以O(shè)PAD.

又由于平面PAD平面ABCD,且OP平面

PAD,所以O(shè)P平面ABCD.

由于OE平面ABCD，所以O(shè)POE.

由于ABCD是正方形,所以O(shè)EAD.

鍔緙鉭釹鈧纜禎浹飽書(shū)騮書(shū)頂蠆勝。如圖成立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則P(0,0,2),D(2,0,0),B(2,4,0)，

BD(4,4,0)，PD(2,0,2).

由題知二面角BPDA為銳角，所以它的大小為.3(ＩII）由題意知M(1,2,2),C(2,4,0),MC(3,2,2).22設(shè)直線MC與平面BDP所成角為,則sin|cos<n,MC>||nMC|26.|n||MC|9所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為26.9１6、解:(I)由于PAAB，PABC,所以PA平面ABC，又由于BD平面ABC,所以PABD.(IＩ)由于ABBC，D為AC中點(diǎn),所以BDAC，由（Ｉ)知,PABD，所以BD平面PAC.

所以平面BDE平面PAC．（IIＩ）由于PA∥平面BDE,平面PAC平面BDEDE，所以PA∥DE.由于D為AC的中點(diǎn)，所以DE1PA1,BDDC2.2由(I)知,PA平面ABC，所以DE平面PAC.所以三棱錐E1BDDCDE1BCD的體積V.63

17、(Ⅰ)證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAＤ∩平面ABＣD=ＡD,

且AB⊥AＤ，ＡB?平面AＢCＤ，鈀曖齪凱慍瀦闊嘖纜號(hào)蝸鈍芻篤闞。

∴ＡＢ⊥平面PAD,

PD?平面PAD，∴AB⊥PD,

又PD⊥PA，且ＰＡ∩AB=A，∴ＰＤ⊥平面PＡＢ；

(Ⅱ）解：取AD中點(diǎn)為O，連結(jié)CO，PＯ，

∵ＣD=ＡC＝,

CO⊥ＡＤ，又∵PＡ=PD，

PO⊥ＡD．

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，成立空間直角坐標(biāo)系如圖:

則P（0，0，1)，B（1，1,0)，D（0，﹣1，0)，C（2,0,０)，

則

,

，

燾氬筍婦韓難詘浹軻岡鐃紜搶銚紺。設(shè)為平面PＣD的法向量,

則由，得，則

．

設(shè)ＰB與平面PCD的夾角為θ，則

=;

（Ⅲ)解：假定存在M點(diǎn)使得BＭ∥平面PＣD，設(shè)，M（０，y1,z1),由(Ⅱ)知,A（0，1，0),P（0，0,1)，，Ｂ（1,1,0），，

則有,可得Ｍ(0，1﹣λ,λ)，

∴，

∵BM∥平面PCD，為平面PCD的法向量，

∴，即，解得．

綜上,存在點(diǎn)M，即當(dāng)時(shí)，Ｍ點(diǎn)即為所求．

1８、證明:(Ⅰ)由于PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC,又由于DC⊥AC，

所以,DC⊥平面PAC.

（Ⅱ)由于AB//DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC，

又由于PC⊥平面ABCD,所以AB⊥PC,

所以AB⊥平面PAC.

由AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．

(Ⅲ）棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA⊥平面CEF,原因以下：

瘡嬤雜呂營(yíng)閹孌櫚鯁褳纏櫸財(cái)溈滯。取PB的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,CE,CF．

由于點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),所以EF//PA．

又由于PA不在平面CEF內(nèi),所以PA//平面CEF．

9、解:(I）由于O,M分別為ＡB,VA的中點(diǎn)，所以ＯＭ／/ＶB.

薟寵餉聳騎掄違嶁鋟價(jià)魘斂擋腦鰩。又由于VＢ平面MOC，所以ＶB//平面MＯC．（IＩ)由于AＣ＝ＢＣ,O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)CＡB.又由于平面VAB平面ABC,且OC平面ABC,所以O(shè)C平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(III)在等腰直角三角形ACB中，ACBC2,所以AB2,OC1.所以等邊三角形VAB的面積SVAB3．又由于OC平面VAB，所以三棱錐CVAB的體積等于1OCSVAB3．33又由于三棱錐VABC的體積與三棱錐CVAB的體積相等,

所以三棱錐VABC的體積為3．3

2０、解:(Ｉ）由于△AEF是等邊三角形，Ｏ為ＥF的中點(diǎn)，所以ＡO⊥EF.

又由于平面AＥF⊥平面EＦCB,AO平面AEF,

所以AO⊥平面EFCB.

所以AＯ⊥BE．

（Ⅱ)取ＢＣ中點(diǎn)G,連結(jié)ＯG．

由題設(shè)知EＦCＢ是等腰梯形，

所以O(shè)Ｇ⊥EF.

由(I)知ＡO⊥平面ＥＦCB

又OG平面EFCB，

所以O(shè)A⊥OＧ.

如圖成立空間直角坐標(biāo)系O-xyｚ，

則E(a,0,0),A（０，0,3a),

緹驟橢闕鰳?lè)Q錸鮞蕘頷攛統(tǒng)鋯繩揀。B（2,3(２－a),0）,EA=(-a,0，3a）,BE=（ａ－２，3(ａ-2）,0)．設(shè)平面AＢＥ的法向量為ｎ=(ｘ，y,z）nEA0?則：即nBE0?ax3az0?(a2)x3(a2)y0令z＝1,則ｘ=3,ｙ=-1.于是n=（3，-1,１）平面AEF是法向量為p＝(０,１,0)np＝5.所以ｃos（n，p）=p5n由題知二維角F－AE－B為鈍角,所以它的余弦值為55（Ⅲ)由于BＥ⊥平面AOC,所以BE⊥OC,即BEOC0.由于BE＝(a-2,3（a-2）,０)，OC=（-2，3（2-a)，0),所以BEOC＝-2（a-2)-3(a2)2．由BEOC0及０<a<2，解得ａ＝4．31、(1)證明：∵三棱柱ABC﹣A1B1Ｃ1中，側(cè)棱垂直于底面,

∴BＢ1⊥ＡB,

∵AＢ⊥ＢC，BB1∩ＢＣ=Ｂ,

∴ＡＢ⊥B１BＣＣ1，

∵AB?平面ＡＢＥ，

∴平面ABE⊥Ｂ1BCC１;

(Ⅱ）證明：取ＡB中點(diǎn)G，連結(jié)EＧ，ＦG，則

∵F是BC的中點(diǎn)，襉臘謄箏鈷瘧灄濫訓(xùn)極鋱預(yù)閆塋糴。

FＧ∥AC，F(xiàn)G=AＣ，

∵E是A1C1的中點(diǎn)，

∴FG∥EC1,FG=EC１,

∴四邊形FGＥC1為平行四邊形,

∴Ｃ1F∥EG,∵C1Ｆ?平面ABE，EG?平面ABE，

∴C1F∥平面ＡＢＥ；

(Ⅲ）解：∵ＡA1=AC=２,BＣ=1，ＡB⊥BC，∴AB＝，∴ＶE﹣ＡＢC＝＝=2２、解：（Ｉ）在正方形AMDE中，由于B是AM的zP中點(diǎn)，所以AB//DE．又由于AB平面PDE，所以AB//平面PDE．由于ABABF，且平面ABF平面FGyPDEFG，所以AB//FG．(II）由于PA底面ABCDE，所以PAAB，PAAE.EH如圖成立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)XYZ,則DA0,0,0,B1,0,0,C2,1,0,P0,0,2,F0,1,1，ABCMxBC1,1,0的法向量為nx,y,z設(shè)平面ABF則.,nAB0,，即x0,令z1，則y1．所以n0,1,1．設(shè)直線BC與平面ABFnAF0,yz0.所成角為,sincosn,BCnBC1．所以直線BC與平面ABF所成角的大小則nBC2為π的坐標(biāo)為u,v,w.由于點(diǎn)H在棱PC上,所以可設(shè)PHPC01，即.設(shè)點(diǎn)H6u,v,w22,1,2.所以u(píng)2,v，w22.由于n是平面ABF的法向量，所以nAH0，即0,1,12,,220．解得2，所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為4,2,2所3333.4222以PH242.33323、解：(1)由于ＡA１C1C為正方形,所以AＡ1⊥AＣ．

由于平面ＡBC⊥平面AA1C1Ｃ，且ＡＡ1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC,所以AA1⊥平面ABC.惻囁釔裊諛頁(yè)榮價(jià)隴錄則駛陰寬癭。(2)由(1)知AA1⊥AC,ＡＡ１⊥AB.

由題知ＡB＝3，BＣ＝5,AC＝4,所以AB⊥AC.

如圖，以Ａ為原點(diǎn)成立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則B（０,３，0),A1，(0,4),B1(0,3,4)，Ｃ1(4,0,4)．

設(shè)平面A1BC1的法向量為n＝（x，y，z），

nA1B0,3y4z0,則即nA1C10,4x0.令z＝3,則x＝0，y＝4,所以n＝(0,4,3）.

同理可得，平面Ｂ1ＢC１的法向量為ｍ=(3,4,0).隨發(fā)戩贖癢棲洶儲(chǔ)滌鴕濰瓊鹺說(shuō)奐。所以ｃoｓ〈n，m〉＝nm16.|n||m|25由題知二面角A1ＢC-B為銳角,１１所以二面角A11－1的余弦值為16.-BCB25(3)設(shè)D(x,y，z)是直線BC1上一點(diǎn)，且BD=λ,BC1所以（x,y-3，z)＝λ(4,－３，4)．解得x＝4λ,y=3－3λ,z=４λ.所以AD＝(4λ,3-３λ,4λ)．由AD·=0,即９-２5λ＝0，解得9.A1B259由于１D,使得ＡD⊥A1B.25∈[0,1］，所以在線段BC上存在點(diǎn)此時(shí),BD9.BC12524、證明：（1)由于平面PAＤ⊥底面ABＣＤ，且垂直于這兩個(gè)平面的交線，PA⊥底面ABCDPAAD所以.AＢE為ＣD的中點(diǎn)(2)由于AB∥CD，CD,=2,所以AB∥DE，且AＢDE=.所以ABＥD為平行四邊形.所以BE∥AＤ．又由于BE平面ＰAＤ，ＡD平面PＡD，所以BＥ∥平面PAD.由于AＢ⊥AD,并且ＡBED為平行四邊形，所以BＥ⊥ＣD，AD⊥CD．

由（1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.

所以CＤ⊥平面PAD.所以ＣD⊥PD.由于E和F分別是ＣD和PC的中點(diǎn)，所以PＤ∥EF.所以CＤ⊥EＦ.

所以CD⊥平面BEF.

所以平面ＢEF⊥平面PＣD.謐疇殼鹼鴻釔電曠諄較鏌艷鑄蟄廡。

25、

2６、解:(1）CDDE，A1EDE

DE平面A1CD,

又A1C平面A1CD,

A1CDE

又ACCD,騎滬裥緋無(wú)悶馀統(tǒng)濺劇鶉闈環(huán)鏍來(lái)。1

A1C平面BCDE

（2）如圖建系Cxyz，則D2，0，0,A0，0，23，B0，3，0,E2，2，0∴A1B0，3，23，A1E2，1，0設(shè)平面A1BE法向量為nx，y，z

3yA1Bn03y23z0z∴2則∴2xy0yA1En0x2∴n1，2，3又∵M(jìn)1，0，3∴CM1，0，3∴cosCMn1342|CM||n|143132222∴CM與平面A1BE所成角的大小45(３）設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為0，a，0,則a0，3則A1P0，a，23,DP2，a，0設(shè)平面A1DP法向量為n1x1，y1，z1z13ay1則ay123z10∴62x1ay10x11ay12∴n13a，6，3a假定平面A1DP與平面A