不等式-2022-2023學(xué)年初升高導(dǎo)學(xué)課

PAGEPAGE13授課主題 不等式1.理解不等式的基本性質(zhì)教學(xué)目標(biāo) 2.掌握一元二次不等式的解法和簡(jiǎn)單的分式不等式的解法能用不等式(組)表示實(shí)際問題的不等關(guān)系.教學(xué)重難點(diǎn)

初步學(xué)會(huì)作差法比較兩實(shí)數(shù)的大小.掌握不等式的基本性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題．能根據(jù)“三個(gè)二次之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題(難點(diǎn))；.掌握一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用(重點(diǎn))；教學(xué)內(nèi)容不等式知識(shí)點(diǎn)一：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【知識(shí)梳理】不等關(guān)系不等關(guān)系常用不等式來表示．a(chǎn)，b文字語言數(shù)學(xué)語言等價(jià)條件a－b是正數(shù)a－b＞0a＞ba－b等于零a－b＝0a＝ba－b是負(fù)數(shù)a－b＜0a＜b重要不等式一般地，任意a，b屬于全體實(shí)數(shù)，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．等式的性質(zhì)1如果a＝bb＝a；2如果a＝b，b＝ca＝c；3如果a＝ba±c＝b±c；4如果a＝bac＝bc；5如果a＝b，c≠0，那么a＝b.c c不等式的基本性質(zhì)對(duì)稱性：a＞b?b＜a.傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c.(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.(5)加法法則：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.(6)乘法法則：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.(7)乘方法則：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．【典型例題】考點(diǎn)一：不等式的性質(zhì)【例1】已知a＞b＞c＞d＞0，且a+d＝b+c，則以下不正確的是（ ）A．a(chǎn)+c＞b+d B．a(chǎn)c＞bd C．a(chǎn)d＜bc D．【變式訓(xùn)練】1、對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，下列命題中正確的是（ ）A．若a＞b，則ac＞bcCac2＞bc2a＞b

B．若a＞b，c＞d，則ac＞bdD．若a＞b，則2、如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（A． B．a(chǎn)b＜b2

）C．a(chǎn)b＞a2 D．3、（多選）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．則下列選項(xiàng)正確的是（ ）a＞b＞0ac2＞bc2C．若a＞b＞0且c＜0，則4、對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c下列命題中的真命題是(

a＜b＜0a2＞ab＞b2D．若a＞b且 ，則ab＜0)Aa＞bac2＞bc2

B．若a＞b＞0，則1＞1a bC．若a＜b＜0，則b＞aa b

1 1D＞，則D考點(diǎn)二：比較兩數(shù)(式)的大小【例2】若a＝（x+1）2，b＝x2+2x，則a、b的大小關(guān)系是 ．【總結(jié)】作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的基本步驟：【變式訓(xùn)練】1、已知M＝a2+4a+1， ，則M N．（填“＞”或“＜”）2、比較大?。?．（填“＞”，“＜”或“＝”）3、設(shè)a＝ +2 ，b＝2+ ，則a、b的大小關(guān)系為？并證明你的結(jié)論．4、（1）已知b＜a＜0，比較 與 的大?。唬?）比較（x+3）（x+7）和（x+4）（x+6）的大?。键c(diǎn)三：不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用【例】某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊(duì)說：“如領(lǐng)隊(duì)買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)”“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠”比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠．【總結(jié)】解決決策優(yōu)化型應(yīng)用題，首先要確定制約著決策優(yōu)化的關(guān)鍵量是哪一個(gè)，然后再用作差法比較它們的大小即可．【變式訓(xùn)練】甲、乙兩家旅行社對(duì)家庭旅游提出優(yōu)惠方案．甲旅行社提出：如果戶主買全票一張，其余人可享受五五折優(yōu)惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集體票，按七五折優(yōu)惠．如果這兩家旅行社的原價(jià)相同，那么哪家旅行社價(jià)格更優(yōu)惠？考點(diǎn)四：不等式性質(zhì)的應(yīng)用a【例4】已知1＜a＜4,2＜b＜8，試求a－b與b的取值范圍．【總結(jié)】求含字母的數(shù)或式子的取值范圍時(shí)，一要注意題設(shè)中的條件，二要正確使用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個(gè)同方向的不等式可加不可減，可乘不可除.【變式訓(xùn)練】1、已知－π≤α＜β≤π，求α＋β α－β2 2

， 2 的取值范圍．2、已知﹣1＜2a+b＜2，3＜a﹣b＜4，求5a+b的取值范圍．知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)與一元二次方程不等式【知識(shí)梳理】一元二次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集．4．三個(gè)“二次”的關(guān)系（y＝x2－12x＋20）設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac判別式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù) 沒有y＝0

根x，x(x＜x)

根x＝x＝－b

實(shí)數(shù)根解不等式

y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象

1 2 1 2

1 2 2a的步驟

得等的集不式解

y＞0

{x|x＜x

_x＞x1 2

xx

b2a Ry＜0

{x|x

＜x＜x} ? ?1 25．分式不等式的解法主導(dǎo)思想：化分式不等式為整式不等式類型

同解不等式ax＋b

法一：ax+b>0(<0) ax+b<0(>0)dcx＋d

cxd0 或cxd0a，b，c，d

法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)ax+b0(0) ax+b0(0)法一：cx+d>0 或cx+d<0ax＋b≥0(≤0)cx＋d

法二：( )ax+b(cx+d)0(0)<kax＋b＞kkk

cx+d0先移項(xiàng)通分轉(zhuǎn)化為上述兩種形式cx＋d 6．(1)不等式的解集為R(或恒成立)的條件不等式a＝0a≠0

ax2＋bx＋c>0b＝0，c>0a>0<0

ax2＋bx＋c<0b＝0，c<0a<0<0(2)有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法設(shè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c

若ax2＋bx＋c≤k恒成立?y ≤kmax若ax2＋bx＋c≥k恒成立?y ≥kmax從實(shí)際問題中抽象出一元二次不等式模型的步驟(2)設(shè)出起關(guān)鍵作用的未知量，用不等式表示不等關(guān)系(或表示成函數(shù)關(guān)系)．(3)解不等式(或求函數(shù)最值)．(4)回扣實(shí)際問題．考點(diǎn)一：一元二次不等式的解法類型1：解二次不等式【例1】(1)4x2＋4x＋1＞0； (2)x2＋25≤10x；【變式訓(xùn)練】1、集合{x|x﹣x﹣＜0}＝（ ）A．{0，1，2}

C．（﹣3，1）

D．（﹣1，﹣3）2、“若x2﹣2x﹣8＜0，則p”為真命題，那么p是（ ）A．{x|﹣2＜x＜4} B．{x|2＜x＜4} C．{x|4＜x3、解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3>0； (2)－4x2＋18x－81≥0；4

D．{x|x＞4或x＜2}(3)－2x2＋3x－2<0.類型2：解分式不等式【例2】不等式 的解集是 ．【變式訓(xùn)練】(1)x－3<0；x＋2

(2)x＋1≤12x－3

(3)x＋1 ；≥0x－3≥0

(4)5x＋1<3x＋1類型3：含絕對(duì)值【例3】關(guān)于x的不等式| |≤ 的解集是 ．【總結(jié)】應(yīng)用一元二次不等式解法考點(diǎn)二：含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例4】已知不等式ax2+bx+c＞0解集為A．a(chǎn)+b+c＞0 B．a(chǎn)＞0 C．b＜0

，下列結(jié)論正確的是（ ）D．c＜0【總結(jié)】解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)要注意對(duì)參數(shù)分類討論．討論一般分為三個(gè)層次，第一層次是二次項(xiàng)系數(shù)為零和不為零；第二層次是有沒有實(shí)數(shù)根的討論，即判別式為Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三層次是根的大小的討論【變式訓(xùn)練】1、二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的兩根為2，﹣3，那么關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為（ ）A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|x＞2或x＜﹣3} C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣3＜x＜2}2、若關(guān)于x的不等式ax2+3x﹣1＞0的解集是{x| ＜x＜1}，（1）求a的值； （2）求不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集．3、已知關(guān)于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．（1）當(dāng)a＝2時(shí)，解關(guān)于x的不等式； （2）當(dāng)a＞0時(shí)，解關(guān)于x的不等式．4、已知不等式ax2﹣3x+2＜0的解集為{x|1＜x＜b}．（1）求a，b的值； （2）解不等式ax2﹣mx+m﹣a＞0．5、已知不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．a(chǎn)xax2+mx+3≥0Rm考點(diǎn)三：一元二次不等式的應(yīng)用52400/噸的價(jià)格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m100元(稱作稅率為8個(gè)百分點(diǎn)，即8%)．為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，制定積極的收購政策．根據(jù)市場(chǎng)規(guī)律，稅率降低x個(gè)2xx【總結(jié)】求解一元二次不等式應(yīng)用問題的步驟【變式訓(xùn)練】1．某校園內(nèi)有一塊長(zhǎng)為800m，寬為600m的長(zhǎng)方形地面，現(xiàn)要對(duì)該地面進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍．考點(diǎn)六：不等式恒成立問題【例6】已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范圍．【變式訓(xùn)練】1、(變結(jié)論)本例條件不變，若y＝x2＋ax＋3－a≥2恒成立，求a的取值范圍．2．(變條件)將例題中的條件“y＝x2＋ax＋3－a，－2≤x≤2，y≥0恒成立”變?yōu)椤安坏仁絰2＋2x＋a2－3>0的解集為R”，求a的取值范圍．【總結(jié)】

a>0ax2＋bx＋c>0a＝0b＝0，c>0a≠00a0ax2＋bx＋c<0a＝0b＝0，c<0a≠00參數(shù)．若a,b,cR且a>b，則下列不等式成立的是( )1 1 a ba2>b2

a

C．a(chǎn)c>bc

D． >c2+1 c2+1若 0，則下列不等式錯(cuò)誤的是（ ）1

B.1 1??

C. D.2 2下列命題正確的是（ ）若 ，則 ? ?C.若 ， ，則?? ??

若 ， ，則 ? ?D.若 0， 0，則若，， ∈ ，且 ，則下列不等式一定成立的是（ ）A. + ? B.??2 ??2

C.2 0??

D. ? 2?0下列結(jié)論正確的是（ ）A．若ac2bc2，則ab1 1C．若a>b，則 >

B．若ab，則a2b2D．若a>b，則a<ba b6．設(shè)x＝2，y＝7? 3，z＝6－2，則x，y，z的大小關(guān)系是( )A．x＞y＞zC．y＞z＞x

B．z＞x＞yD．x＞z＞y步行速度、跑步速度均相同,且步行速度小于跑步速度,則先到教室的是( )A．甲 B．乙 C．同時(shí)到達(dá) D．無法判斷8.已知1a2,3b6，則的取值范圍為 ．9．已知12<a<60,15<b<36,則a的取值范圍為 .ba10．若規(guī)定c

bd＝ad－bc

ba

ab的大小關(guān)系為 (a，b∈R，a≠b)．若－10＜a＜b＜8,則|a|＋b的取值范圍是 .已知a<b則在下列的一段推理過程中錯(cuò)誤的推理步驟有 填上所有錯(cuò)誤步驟的序號(hào)）

2－a＋1，

q= 1 pqa2+a+1x，y，zy＋z＝3x2－4x＋6，y－z＝x2－4x＋4x，y，zπ π15．（1）若

6求的取值范圍；（2）若x＝（a＋3）（a－5），y＝（a＋2）（a－4），比較x與y的大?。容^兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要求出它們的差就可以了．a(chǎn)－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b.2．作差法比較大小的一般步驟第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“和”或“積”；第三步：定號(hào)，就是確定是大于0，等于0，還是小于0(不確定的要分情況討論)；最后得結(jié)論．概括為“三步一結(jié)論”，這里的“定號(hào)”是目的，“變形”是關(guān)鍵.3．在應(yīng)用不等式性質(zhì)時(shí)，一定要搞清它們成立的前提條件，不可強(qiáng)化或弱化成立的條件．要注意箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說每條性質(zhì)是否具有可逆性.解一元二次不等式的常見方法圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：①化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的簡(jiǎn)圖；③由圖象得出不等式的解集．m<nx－m)(x－n)＞0，則可得{x|x＞nx＜m}；若(x－m)(x－n)＜0，則可得{x|m＜x＜n}．有口訣如下：大于取兩邊，小于取中間．含參數(shù)的一元二次型的不等式在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時(shí)，往往要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，討論需從如下三個(gè)方面進(jìn)行考慮關(guān)于不等式類型的討論：二次項(xiàng)系數(shù)a＞0，a＜0，a＝0.關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的討論：兩根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，無根(Δ<0)．(3)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論：x＞x，1 2x＝x，x＜x.x1 2 1 2由