2018版數(shù)學(xué)理科總復(fù)習(xí)文檔中檔大題規(guī)范練2含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.數(shù)列1.(2017·原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷)已知Sn＝na1＋（n－1)a2＋…＋2an－1＋an，n∈N＊。（1)若{an}是等差數(shù)列，且S1＝5,S2＝18,求an；(2)若{an}是等比數(shù)列,且S1＝3，S2＝15,求Sn。解(1)設(shè)｛an}的公差為d，則S1＝a1＝5，S2＝2a1＋a2＝10＋a2＝18,所以a2＝8，d＝a2－a1＝3，an＝5＋3(n－1）＝3n＋2。（2)設(shè)｛an}的公比為q,則S1＝a1＝3,S2＝2a1＋a2＝6＋a2＝15，所以a2＝9，q＝eq\f(a2，a1)＝3，an＝3×3n－1＝3n，所以Sn＝n×3＋(n－1)×32＋…＋2×3n－1＋3n， ①3Sn＝n×32＋(n－1）×33＋…＋2×3n＋3n＋1, ②②－①,得2Sn＝－3n＋(32＋33＋…＋3n）＋3n＋1＝－3n＋eq\f(321－3n－1,1－3）＋3n＋1＝－3n－eq\f(9，2)＋eq\f（3n＋1,2)＋3n＋1＝eq\f(3n＋2－6n－9,2),所以Sn＝eq\f(3n＋2－6n－9,4).2。（2017屆黑龍江虎林一中月考）已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＝5，S3＝9。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2)設(shè)等比數(shù)列｛bn}的前n項(xiàng)和為Tn,若q〉0且b3＝a5，T3＝13，求Tn;(3）設(shè)cn＝eq\f（1,anan＋1）,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn。解(1)eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝a1＋2d＝5，,S3＝3a1＋\f(3×2,2）d＝9，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2，）)所以an＝a1＋（n－1)d＝2n－1.（2)由題意可知，b3＝a5＝9，T3＝13，所以公比q＝3，從而b1＝1,所以Tn＝eq\f（b11－qn,1－q)＝eq\f(1×1－3n,1－3）＝eq\f（1，2）(3n－1)。（3)由（1)知，an＝2n－1.所以cn＝eq\f(1，anan＋1）＝eq\f（1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2n－1）－\f(1,2n＋1)))，所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝eq\f（1,2）eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，3))）＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，3)－\f(1,5））)＋…＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2n－1）－\f（1,2n＋1）))））＝eq\f(1，2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（1,2n＋1)))＝eq\f(n，2n＋1)。3。（2017·廣東七校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)之積為Tn，且log2Tn＝eq\f(nn－1,2）,n∈N*。（1）求數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式；(2）設(shè)bn＝λan－1(n∈N＊)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和為Sn.若對(duì)任意的n∈N＊,總有Sn＋1〉Sn，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍。解(1）由log2Tn＝eq\f（nn－1，2），n∈N＊，得Tn＝，所以Tn－1＝(n∈N＊，n≥2),所以an＝eq\f(Tn，Tn－1）＝＝2n－1，n∈N＊，n≥2.又a1＝T1＝20＝1，所以an＝2n－1，n∈N*.（2)由bn＝λan－1＝λ2n－1－1，得Sn＝λ·eq\f(1－2n，1－2）－n＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2n－1)）λ－n,所以Sn＋1>Sn?eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2n＋1－1））λ－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（n＋1））>eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2n－1)）λ－n?2nλ〉1?λ>eq\f(1，2n)，因?yàn)閷?duì)任意的n∈N＊，eq\f(1,2n)≤eq\f(1,2)，故所求的λ的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2），＋∞））.4.（2017·湖北黃岡質(zhì)檢）已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，向量a＝（Sn，n）,b＝（9n－7,2），且a與b共線。(1）求數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（an）)的通項(xiàng)公式；(2）對(duì)任意m∈N＊，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m，92m）內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm,求數(shù)列{bm｝的前m項(xiàng)和Tm.解(1)a與b共線,Sn＝eq\f（n9n－7,2)＝eq\f(9，2)n2－eq\f(7,2）n，a1＝1，an＝Sn－Sn－1＝9n－8，n≥2，所以an＝9n－8，n∈N＊.(2)對(duì)m∈N*，若9m＜an＜92m,則9m＋8＜9n＜92m＋8。因此9m－1＋1≤n≤92m－1.故得bm＝92m－1－9m－1。于是Tm＝b1＋b2＋…＋bm＝(9＋93＋…＋92m－1）－(1＋9＋…＋9m－1）＝eq\f（91－81m，1－81）－eq\f（1－9m，1－9)＝eq\f（9×92m＋1－10×9m，80）.5.(2017·原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n·3n,3n－1)（n≥1，n∈N＊).(1）求a1，a2，a3的值；(2)求證：對(duì)任意的自然數(shù)n∈N＊，不等式a1·a2·…·an＜2·n！成立。(1)解將n＝1，2，3代入可得a1＝eq\f(3，2)，a2＝eq\f(9,4)，a3＝eq\f（81,26)。（2）證明由an＝eq\f(n·3n，3n－1)＝eq\f(n,1－\f（1，3n)）(n≥1，n∈N*)可得a1·a2·…·an＝eq\f(n！，\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f（1，3）)）\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(1，32）））…\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f(1，3n))））,因此欲證明不等式a1·a2·…·an＜2·n！成立,只需要證明對(duì)任意非零自然數(shù)n,不等式eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（1,3)））eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f(1，32)))…eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（1,3n)）)＞eq\f(1,2)恒成立即可，顯然左端每個(gè)因式都為正數(shù)，因?yàn)?－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，3）＋\f(1,32）＋…＋\f(1,3n)））＝1－eq\f(\f(1，3）\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，3n))），1－\f（1，3)）＝1－eq\f(1，2)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，3n））)＞1－eq\f（1,2）＝eq\f（1，2)。故只需證明對(duì)每個(gè)非零自然數(shù),不等式eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1，3)）)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，32））)…eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1,3n）))≥1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，3）＋\f（1,32）＋…＋\f(1，3n）））恒成立即可. （*）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明該不等式成立:①顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不等式(*）恒成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1,k∈N＊）時(shí)不等式（＊)也成立,即不等式eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3））)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，32）)）…eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f(1,3k）))≥1－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，3)＋\f（1,32)＋…＋\f(1，3k)))成立.那么當(dāng)n＝k＋1時(shí),eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（1，3)））eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，32）))…eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（1，3k）)）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，3k＋1)）)≥eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（1－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,3)＋\f（1,32）＋…＋\f（1，3k）)）））eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3k＋1））),即eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，3)））eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1,32）))…eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1,3k＋1)))≥1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,3）＋\f（1，32）＋…＋\f(1，3k））)－eq\f（1,3k＋1)＋eq\f（1,3k＋1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，3)＋\f(1,32）＋…＋\f（1，3k））)，注意到eq\f(1,3k＋1）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，3)＋\f(1，32)＋…＋\f(1，3k)))＞0，所以eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f(1,3))）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，32)))…eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，3k＋1)))≥1－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，3）＋\f(1,32）＋…＋\f(1，3k）＋\f(1,3k＋1））)，這說(shuō)明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式(*）也成立。因此由數(shù)學(xué)歸納法可知，不等式（＊)對(duì)任意非零自然數(shù)都成立，即eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1，3））)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f（1，32））)…eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(1，3n)))≥1－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，3)＋\f（1，32）＋…＋\f（1,3n)))＞eq\f(1,2）恒成立，故不等式a1·a2·…·an＜2·n！對(duì)任意非零自然數(shù)都成立。6.(2017·北京)設(shè)｛an｝和｛bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，記cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}（n＝1，2,3,…)，其中max｛x1，x2,…，xs}表示x1，x2，…，xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù)。（1）若an＝n，bn＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并證明{cn｝是等差數(shù)列;（2）證明：或者對(duì)任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當(dāng)n≥m時(shí)，eq\f（cn，n）>M；或者存在正整數(shù)m,使得cm，cm＋1，cm＋2，…是等差數(shù)列.(1)解c1＝b1－a1＝1－1＝0，c2＝max｛b1－2a1，b2－2a2}＝max｛1－2×1，3－2×2}＝－1,c3＝max｛b1－3a1，b2－3a2,b3－3a3}＝max｛1－3×1，3－3×2，5－3×3｝＝－2。當(dāng)n≥3時(shí)，（bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n＜0，所以bk－nak在k∈N*時(shí)單調(diào)遞減。所以cn＝max｛b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann｝＝b1－a1n＝1－n。所以對(duì)任意n≥1,cn＝1－n，于是cn＋1－cn＝－1，所以｛cn｝是等差數(shù)列.（2)證明設(shè)數(shù)列{an｝和{bn}的公差分別為d1，d2，則bk－nak＝b1＋(k－1）d2－［a1＋(k－1)d1]n＝b1－a1n＋(d2－nd1）(k－1）。所以cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1－a1n＋n－1d2－nd1，d2＞nd1,，b1－a1n，d2≤nd1。）)①當(dāng)d1＞0時(shí)，取正整數(shù)m＞eq\f(d2,d1)，則當(dāng)n≥m時(shí)，nd1＞d2，因此，cn＝b1－a1n,此時(shí),cm，cm＋1，cm＋2，…是等差數(shù)列。②當(dāng)d1＝0時(shí),對(duì)任意n≥1,n∈N＊，cn＝b1－a1n＋(n－1)max{d2，0｝＝b1－a1＋（n－1）(max｛d2,0｝－a1).此時(shí)，c1，c2，c3，…,cn,…是等差數(shù)列.③當(dāng)d1＜0時(shí),當(dāng)n＞eq\f（d2，d1)時(shí)，有nd1＜