2018年數(shù)學(xué)第八章立體幾何專題28空間幾何體的表面積和體積考場(chǎng)高招大全

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題28空間幾何體的表面積和體積考場(chǎng)高招1求幾何體表面積的解題規(guī)律1。解讀高招幾何體特征求解規(guī)律典例指引以三視圖為載體依據(jù)“正視圖反映幾何體的長(zhǎng)和高，側(cè)視圖反映幾何體的高和寬，俯視圖反映幾何體的長(zhǎng)和寬”來(lái)確定表面積公式中涉及的基本量典例導(dǎo)引1（2)多面體將多面體的表面積通過(guò)“裁"“展”分解為若干個(gè)平面圖形的面積之和典例導(dǎo)引1（1）不規(guī)則幾何體通常將所給幾何體通過(guò)“割”或“補(bǔ)”轉(zhuǎn)化成常規(guī)的柱、錐、臺(tái)，先求這些柱、錐、臺(tái)的表面積，再通過(guò)求和或作差求得原幾何體的表面積與球相關(guān)求球的表面積關(guān)鍵是求球的半徑,利用球半徑R、截面圓半徑r、球心到截面的距離d構(gòu)建直角三角形,把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,利用R2=r2+d2解決典例導(dǎo)引1(3)2。典例指引1（1）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）（2)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是()A。28+6 B.30+6C.56+12 D.60+12（3）（2017廣東惠州二調(diào))已知球O的半徑為R，A，B,C三點(diǎn)在球O的球面上，球心O到平面ABC的距離為R，AB=AC=BC=3,則球O的表面積為.

【答案】（1）D(2)B（3)16π3。親臨考場(chǎng)1。（2016課標(biāo)Ⅰ，理6)如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是()A。17π B。18π C。20π D.28π【答案】B由三視圖知該幾何體是平行六面體,且底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為3,所以該幾何體的表面積為S=2×3×6+2×3×3+2×3×3=54+18，故選B。2.(2016課標(biāo)Ⅲ,理9)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(）A.18+36B.54+18C。90D。81考點(diǎn)63幾何體的體積考場(chǎng)高招2求幾何體的體積的四大方法1.解讀高招方法解讀典例指引直接法對(duì)于規(guī)則幾何體，直接利用公式計(jì)算即可。若已知三視圖求體積,應(yīng)注意三視圖中的垂直關(guān)系在幾何體中的位置,確定幾何體中的線面垂直等關(guān)系,進(jìn)而利用公式求解典例導(dǎo)引2(3）解法一割補(bǔ)法對(duì)于不規(guī)則幾何體，常通過(guò)分割或者補(bǔ)形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€(gè)或幾個(gè)規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計(jì)算.常見(jiàn)的有將三棱錐還原為三棱柱或長(zhǎng)方體,將三棱柱還原為平行六面體，將臺(tái)體還原為錐體等典例導(dǎo)引2(1）轉(zhuǎn)化法經(jīng)常是轉(zhuǎn)換底面與高,將原來(lái)不易求解面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面,或?qū)⒃瓉?lái)不易看出的高轉(zhuǎn)換為易看出并易求解的高。常用的轉(zhuǎn)化方法有平行轉(zhuǎn)移和比例轉(zhuǎn)移，應(yīng)根據(jù)試題的特點(diǎn)靈活選擇典例導(dǎo)引2（2)等積法利用三棱錐的“等積性”可以把任何一個(gè)面作為三棱錐的底面.(1）求體積時(shí),可選擇容易計(jì)算的底面和高來(lái)求解;（2)利用“等積性”可求“點(diǎn)到面的距離”，方法是在面中選取三個(gè)點(diǎn)，與已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐后進(jìn)行求解典例導(dǎo)引2(3）解法二2。典例指引2（1）(2017河南九校質(zhì)量考評(píng))在直三棱柱ABC—A1B1C1中,M，N分別為棱A1B1，A1C1的中點(diǎn),則平面BMNC將三棱柱分成的兩部分的體積比為（A。8∶7 B。8∶5 C。7∶5 D.7∶4(2）(2017河北唐山模擬)如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC,BC=2AD=4，AB=CD，∠ABC=60°，N為線段PC上一點(diǎn)，CN=3NP，M為AD的中點(diǎn).①證明：MN∥平面PAB；②求點(diǎn)N到平面PAB的距離.(3）(2017廣東汕頭期末統(tǒng)考)如圖,正四面體SABC的側(cè)面積為48,O為底面正三角形ABC的中心.①求證：SA⊥BC；②求點(diǎn)O到側(cè)面SBC的距離。（1)【解析】設(shè)直三棱柱ABC-A1B1C1的高為h，底面積為4S則×h×3S+=hS+=hS+=hS+h·4S=Sh，所以兩部分的體積比為Sh=7∶5,故選C?！逤N=3NP，∴點(diǎn)N到平面PAB的距離d=AC=。（3)①【證明】如圖所示，D為BC的中點(diǎn)，連接AD，SD，∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC.∵△SBC是等邊三角形,D是BC的中點(diǎn),∴SD⊥BC.∵AD∩SD=D,AD,SD?平面SAD，∴BC⊥平面SAD.∵SA?平面SAD，∴SA⊥BC。連接SO，則在Rt△SAO中,SO=a.由OD·SO=SD·OE，得a×a=a·OE,∴OE=a=，即點(diǎn)O到側(cè)面SBC的距離為。∴在Rt△SAO中，SO=a=。∵S△OBC=·BC·OD=×8×,∴VS—OBC=·S△OBC·SO=.∵S△SBC=×48=16，設(shè)點(diǎn)O到側(cè)面SBC的距離為h,∴由VS—OBC=VO-SBC，得·S△SBC·h，∴h=，即點(diǎn)O到側(cè)面SBC的距離為。3.親臨考場(chǎng)1.（2017課標(biāo)Ⅱ，理4)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（)

A。90B.63π C.42π D。36π【答案】B由題意,可知該幾何體由兩部分組成，這兩部分分別是高為6的圓柱截去一半后的圖形和高為4的圓柱，且這兩個(gè)圓柱的底面圓半徑都為3，故其體積為V=×π×32×6+π×32×4=63π,故選B.2.(2015課標(biāo)Ⅰ,理6）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？"已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3，估算出堆放的米約有(）A。14斛 B.22斛 C。36斛 D.66斛3。（2013課標(biāo)Ⅰ，理6)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為(）考場(chǎng)高招3解決幾何體體積最值問(wèn)題的方法1.解讀高招方法解讀適合題型典例指引基本不等式法根據(jù)條件建立兩個(gè)變量的和或積為定值，利用基本不等式求體積的最值(1）求棱長(zhǎng)或高為定值的幾何體的體積或表面積的最值；(2）求表面積一定的空間幾何體的體積最大值和求體積一定的空間幾何體的表面積的最小值典例導(dǎo)引3(3)函數(shù)法通過(guò)建立相關(guān)函數(shù)式，將所求的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解，此法應(yīng)用最為廣泛組合體中的最值問(wèn)題典例導(dǎo)引3(1）幾何法由圖形的特殊位置確定最值,如垂直圖形位置變化中的最值典例導(dǎo)引3(2）2。典例指引3（1）已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上,當(dāng)正六棱柱的體積取最大值時(shí),其高為（)A.3 B。 C。2 D.2(2）點(diǎn)A,B,C,D在同一個(gè)球的球面上，AB=BC=,AC=2，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為（）A. B。8π C。 D。(3）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為R的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最值,為(3）如圖,截面圖為長(zhǎng)方形ACC1A1和其外接圓.球心為EE1的中點(diǎn)O則R=OA.設(shè)正四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為b，底面邊長(zhǎng)為a，則AC=a，AE=a，OE=，R2=,即4R2=2a2+b2,則正四棱柱的側(cè)面積:S=4ab=2a·b≤（2a2+b2)=4R2,故側(cè)面積有最大值，為4R2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.考點(diǎn)64組合體的“接”“切"的綜合問(wèn)題考場(chǎng)高招4與球相關(guān)的“接”“切"問(wèn)題的解決方法1.解讀高招方法解讀適合題型典例指引截面法解答時(shí)要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決.球內(nèi)切多面體或旋轉(zhuǎn)體典例導(dǎo)引4(1)構(gòu)造直角三角形法首先定球心位置,借助外接的性質(zhì)——球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑,尋求球心到底面中心的距離、半徑和頂點(diǎn)到底面中心的距離構(gòu)造直角三角形,然后利用勾股定理求半徑正棱錐、正棱柱的外接球典例導(dǎo)引4(2)補(bǔ)形法因正方體、長(zhǎng)方體的外接球半徑易求得，故將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體,便可借助外接球?yàn)橥粋€(gè)的特點(diǎn)求解三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，從正方體或長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中選取點(diǎn)作為頂點(diǎn)組成的三棱錐、四棱錐等典例導(dǎo)引4(3)2。典例指引4（1)若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合,且內(nèi)切球的半徑為1，則圓錐的體積為。

（2)若正三棱錐的高和底面邊長(zhǎng)都等于6，則其外接球的表面積為。

(3)（2017四川自貢普高一診)已知一個(gè)多面體的三視圖如圖所示:其中正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,俯視圖是邊長(zhǎng)為1的正方形,若該多面體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則該球的表面積為.

3.親臨考場(chǎng)1.（2017課標(biāo)Ⅲ,理8）已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(）【答案】B由題意可知球心即為圓柱體的中心,畫(huà)出圓柱的軸截面如圖所示,則AC=1，AB=，底面圓的半徑r=BC=，所以圓柱的體積是V=πr2h=π××1=,故選B.2。(2016課標(biāo)Ⅲ，理10)在封閉的直三棱柱ABC—A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC，AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是（A.4π B。 C。6π D.3。(2015課標(biāo)Ⅱ，理9)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面