第五節(jié)平面及其方程

第五平面的夾設(shè)一平面通過已知M0x0,y0z0)且垂直于量n(A,B,C),求該平面的方程 0任取點M(x,y,z),則 0yM0M y M0Mn A(xx0)B(yy0)C(zz0) 平面的點法式方程,稱n為平面的法向量nMnMM解:取該平面的法向nM1M2M1M (14,9,又M1,利用點法式得平面即此平面的三點式方程也可寫xy1z43一般情況:過三點Mk(xkykzk)(k12的平面方 時,平面方程xyz1,(a,b,c 此式稱為平面的截距式方程x 分析:利用三按第

(xa)bcy(a)czab bcxacyabz2求平行于平面6xy6z50而與三標面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程解設(shè)平面為xyz V

11abc 3 x由所求平面與已知平面平行1（向量平行的充要條件）

bc 化簡

111,

111 a1

b

c1 代入體積式11116 a b所求

t16c6xy6z設(shè)有三元一次方AxByCzD (

B2C20 任取一組滿足上述方程的數(shù)x0,y0,z0 Ax0By0Cz0D以上兩式相減 法向量為n(A,B,C)的平面,此方程稱為平面的一般方程AxByCzD (A2B2C20D0時,AxByCz0表示通過原點的平面A0時ByCzD0n0BC)i,x軸Ax+Cz+D=0y軸的平面Ax+By+D=0z軸的平面CzD0表示xoyAx+D=0表示平行于yoz面的平面By+D=0表示平行于zox面的平面解:因平面通過x軸AD設(shè)所求平ByCz0代入已知點(431)得用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.4設(shè)平面與x,y,z三軸分別交于P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)（ 其中a0，b0，c0），求此平面方程解設(shè)平面為AxByCzDaAD將三點坐bBDD AD BD CD 兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平設(shè)平面∏1的法向量為n1A1B1,C1

平面∏2的法向

n2(A2,B2,C2則兩平面夾角cos即

A1A2B1B2cos A2

2C

2

2C (1)12

n1

C1C2

n1//A1B1C1 x2yz1 y3z12xyz12xyz1

4x2y2z14x2y2z2

cos

|102113(1)222(1)222(1)212

兩平面相交，夾角 n1 n2{4, 1 1

兩平面平 兩平面平行但不 11 M(1,1,0)兩平面重

兩平面平M(1,1,0)2M1111M2011垂直于平面xyz0求其方解:設(shè)所求平面的法向量

則所求平

A(x1)B(y1)C(z1)nM1Mn

A0B2C0,即ABC0因此

2C(x1)C(y1)C(z1)

(C約去C得

2(x1)(y1)(z1)02xyz07求過點(1,1,1)xyz73x2y12z50的平面方程 n1 n2{3,取法向量nn1n2{10,15所求10(x1)15(y1)5(z1)化簡得2x3yz6例8設(shè)平面過原點及點(6,32)，且與平4xy2z8垂直，求此平面方程解設(shè)平面為AxByCzD由平D6A3B2C6A3B2C 4AB2CAB2C,3所求平面方程 2x2y3z外一點,求P0到平面的距離d解:設(shè)平面法向量為nABC),在平Prjn10nA(x0x1)B(yPrjn10nA(x0x1)B(y0y1)C(z0A2B2Cnd10dAAx0By0Cz0A2B2Cd (點到平面的距離公式平面基本方程

AxByCzD (A2B2C20截距

xyz

(abc

xx1x2x1x3

yy1y2y1y3y1

zz2z1z3平面與平面之間的關(guān)平面1:A1xB1