河北省唐山市曹妃甸第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

河北省唐山市曹妃甸第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.直線y=x+3與曲線交點的個數(shù)為（

）A．0

B.1

C.2

D.3參考答案：D略2.一個幾何體的三視圖如圖2所示，這個幾何體的表面積是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A3.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an+n+()，則an為A．

B．

C．

D．參考答案：B4.直線與雙曲線x2﹣y2=1僅有一個公共點，則實數(shù)k的值為（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或0參考答案：C【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】先根據(jù)直線的方程可知直線恒過（，0）點，進而可推斷出要使直線與雙曲只有一個公共點，需直線與漸近線平行，進而根據(jù)雙曲線方程求得其漸近線方程，求得k的值．【解答】解：依題意可知直線l恒過（，0）點，即雙曲線的右焦點，雙曲線的漸近線方程為y=±x，要使直線與雙曲線只有一個公共點，則該直線與漸近線平行，∴k=±1，此時直線與雙曲線有一個公共點．故選C．5.已知平面直角坐標系上的區(qū)域D由不等式組給定，若為D上的動點，點A的坐標為，則的最大值為（

）A.3

B.4

C.

D.參考答案：B略6.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f(2)等于

()A．11或18

B．11

C．18

D．17或18參考答案：C7.滿足條件a=15，b=10，A=60°的ΔABC個數(shù)為

（A）不存在

（B）一個

（C）兩個

（D）三個參考答案：B8.某校有高一學(xué)生n名，其中男生數(shù)與女生數(shù)之比為6:5，為了解學(xué)生的視力情況，現(xiàn)要求按分層抽樣的方法抽取一個樣本容量為的樣本，若樣本中男生比女生多12人，則n=（

）A.990 B.1320 C.1430 D.1560參考答案：B【分析】根據(jù)題意得出樣本中男生和女生所占的比例分別為和，于是得出樣本中男生與女生人數(shù)之差為，于此可求出的值。【詳解】依題意可得，解得，故選：B。【點睛】本題考考查分層抽樣的相關(guān)計算，解題時要利用分層抽樣的特點列式求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。9.已知橢圓(a>b>0)的離心率為，準線為、；雙曲線離心率為，準線為、；；若、、、正好圍成一個正方形，則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A10.若函數(shù)，則x2013= （

） A．504 B． C． D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知ab=，a，b∈（0，1），則+的最小值為

．參考答案：4+【考點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【分析】先根據(jù)條件消掉b，即將b=代入原式得+，再裂項并用貼“1”法，最后運用基本不等式求其最小值．【解答】解：因為ab=，所以，b=，因此，+=+=+=+=++2=2（+）+2=（+）[（4a﹣1）+（4﹣4a）]+2=[1+2++]+2≥（3+2）+2=4+，當且僅當：a=，取“=”，即，+的最小值為：4+，故答案為：4+．12.等比數(shù)列中，，，且、、成等差數(shù)列，則=__________．參考答案：略13.若函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)有且只有一個零點，則在[－1,1]上的最大值與最小值的和為__________．參考答案：－3分析：先結(jié)合三次函數(shù)圖象確定在上有且僅有一個零點的條件，求出參數(shù)a,再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即得結(jié)果.詳解：由得，因為函數(shù)在上有且僅有一個零點且，所以，因此從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，點睛：對于函數(shù)零點個數(shù)問題，可利用函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)取值條件．從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．14.在二項式展開式中，第五項為________.參考答案：60【分析】根據(jù)二項式的通項公式求解.【詳解】二項式的展開式的通項公式為：，令，則，故第五項為60.【點睛】本題考查二項式定理的通項公式，注意是第項.

15.用數(shù)學(xué)歸納法證明，在驗證n=1成立時，等式左邊是

參考答案：略16.下圖為函數(shù)的圖像，其在點M（）處的切線為，與軸和直線分別交于點、，點，則面積以為自變量的函數(shù)解析式為

，若的面積為時的點M恰好有兩個，則的取值范圍為

。參考答案：

，（此小題每空2分）17.已知的展開式中含項的系數(shù)為-14，則a=_______．參考答案：4【分析】首先寫出的通項公式，然后結(jié)合題意得到關(guān)于a的方程，解方程可得a的值.【詳解】由二項式展開式的通項公式可知的展開式為：，分別令，結(jié)合題意可得項的系數(shù)為：，故，解得：.【點睛】(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某公司經(jīng)營一批進價為每件4百元的商品，在市場調(diào)查時發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x（百元）與日銷售量y（件）之間有如下關(guān)系：x（百元）56789y（件）108961（1）求y關(guān)于x的回歸直線方程；（2）借助回歸直線方程請你預(yù)測，銷售單價為多少百元（精確到個位數(shù)）時，日利潤最大？相關(guān)公式：，．參考答案：【考點】線性回歸方程．【分析】（1）求求出回歸系數(shù)，即可y關(guān)于x的回歸直線方程；（2）銷售價為x時的利潤為（x﹣4）（﹣2x+20.8）=﹣2x2+28.8x﹣83.2，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）因為=7，=6.8，所以，==﹣2，=20.8．于是得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸直線方程y=﹣2x+20.8．（2）銷售價為x時的利潤為（x﹣4）（﹣2x+20.8）=﹣2x2+28.8x﹣83.2，當x=≈7時，日利潤最大．19.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，證明：.參考答案：（1）減區(qū)間為

（2）由（1）知，當時，當時，時即令，則，當時；當時綜上可知，當時，有。20.已知△ABC的三邊長是，且為正數(shù)，求證：。參考答案：證明：設(shè)，易知是的遞增區(qū)間，即而21.設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）lnx，g（x）=．已知曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x﹣y=0平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然數(shù)k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請說明理由；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的較小值），求m（x）的最大值．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得a=1；（Ⅱ）求出f（x）、g（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，最值，由零點存在定理，即可判斷存在k=1；（Ⅲ）由（Ⅱ）求得m（x）的解析式，通過g（x）的最大值，即可得到所求．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（x+a）lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=lnx+1+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為f′（1）=1+a，由切線與直線2x﹣y=0平行，則a+1=2，解得a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=（x+1）lnx，f′（x）=lnx+1+，令h（x）=lnx+1+，h′（x）=﹣=，當x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）在（0，1）遞減，當x＞1時，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）遞增．當x=1時，h（x）min=h（1）=2＞0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，即有f（x）在（k，k+1）遞增，g（x）=的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=，當x∈（0，2），g′（x）＞0，g（x）在（0，2）遞增，當x＞2時，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）遞減．則x=2取得最大值，令T（x）=f（x）﹣g（x）=（x+1）lnx﹣，T（1）=﹣＜0，T（2）=3ln2﹣＞0，T（x）的導(dǎo)數(shù)為T′（x）=lnx+1+﹣，由1＜x＜2，通過導(dǎo)數(shù)可得lnx＞1﹣，即有l(wèi)nx+1+＞2；ex＞1+x，可得﹣＞，可得lnx+1+﹣＞2+=＞0，即為T′（x）＞0在（1，2）成立，則T（x）在（1，2）遞增，由零點存在定理可得，存在自然數(shù)k=1，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的根；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，m（x）=，其中x0∈（1，2），且x=2時，g（x）取得最大值，且為g（2）=，則有m（x）的最大值為m（2）=．22.一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4.(Ⅰ)從袋中隨機抽取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(Ⅱ)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為，求的概率．參考答案：解：（Ⅰ）從袋