連續(xù)型隨機(jī)變量概念的教學(xué)導(dǎo)入

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？連續(xù)型隨機(jī)變量的概念繁雜且抽象，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要通過(guò)富有啟發(fā)意義的概念導(dǎo)入方式提高教學(xué)效果。本文分析了當(dāng)下通常的教學(xué)導(dǎo)入方式，察覺(jué)存在不盡完善之處，在此根基上提出了一種新的生活實(shí)例導(dǎo)入方式，具有直接領(lǐng)略、富好玩味性、利于培養(yǎng)初學(xué)者應(yīng)用才能和便于教師開(kāi)展課堂教學(xué)等優(yōu)點(diǎn)。

？概念導(dǎo)入；連續(xù)型隨機(jī)變量；概率密度

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)入門(mén)課程中，通常把隨機(jī)變量分類(lèi)為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量舉行介紹。在描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律時(shí)，需要給出其取值范圍和概率分布信息。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，只需要列出其取值以及每一個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率（即分布律），這種方式不但簡(jiǎn)樸領(lǐng)略，而且在生活中有人們經(jīng)常能接觸到的大量概括實(shí)例，如各種古典概型問(wèn)題，因此初學(xué)者相對(duì)輕易掌管。但是，刻畫(huà)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布時(shí)，需要先假設(shè)存在某個(gè)黎曼可積且具有非負(fù)性和模范性的函數(shù)（稱(chēng)之為概率密度函數(shù)），以此函數(shù)為被積函數(shù)舉行定積分，進(jìn)而給出隨機(jī)變量處于某個(gè)區(qū)間的概率?？梢钥吹?，后一個(gè)概念比前一個(gè)概念抽象、繁雜得多，并且由于連續(xù)型隨機(jī)變量事實(shí)上是一個(gè)數(shù)學(xué)上的概念抽象，在日常生活中難以遇到直接的對(duì)應(yīng)物，這使得初學(xué)者掌管這個(gè)概念的難度大為增加?！皵?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的規(guī)律起點(diǎn)，是學(xué)生認(rèn)知的根基，是學(xué)生舉行數(shù)學(xué)思維的核心，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中具有重要地位”，因此，在連續(xù)型隨機(jī)變量概念的教學(xué)中，需要教師采用適當(dāng)?shù)膶?dǎo)入方式來(lái)提高教學(xué)效果。

一、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量概念的教學(xué)導(dǎo)入方式

通過(guò)研究概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)眾多國(guó)內(nèi)外出名教材察覺(jué)，當(dāng)前連續(xù)型隨機(jī)變量概念的教學(xué)導(dǎo)入主要有四種方式。

第一種導(dǎo)入方式：先舉例說(shuō)明存在取值個(gè)數(shù)為不成數(shù)無(wú)窮的隨機(jī)變量，無(wú)法如離散型隨機(jī)變量用分布律刻畫(huà)其概率分布，務(wù)必采用新的刻畫(huà)方式，隨后直接給出用概率密度定積分刻畫(huà)連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布的定義，如教材[1]、[2]、[3]等。需要指出的是，后面列出的三種導(dǎo)入方式都是在這種導(dǎo)入方式的根基上通過(guò)參與新內(nèi)容完成導(dǎo)入的。

其次種導(dǎo)入方式：主要通過(guò)對(duì)某個(gè)概括實(shí)例中的連續(xù)型隨機(jī)變量（記為X）舉行處理，進(jìn)而導(dǎo)入連續(xù)型隨機(jī)變量的定義（如教材[4]等），步驟如下：（1）對(duì)X舉行大量抽樣；（2）等間距劃分X的取值區(qū)間，得到若干個(gè)小區(qū)間；（3）把X的抽樣樣本放置到前述小區(qū)間的“容器”內(nèi)；（4）定義用于近似X的離散型隨機(jī)變量Y，其取值為各個(gè)小區(qū)間內(nèi)任意選出的代表值，每個(gè)取值的概率為各個(gè)小區(qū)間“容器”內(nèi)樣本的頻率值；（5）繪制Y的概率直方圖；（6）為了讓Y不斷迫近X，不斷細(xì)分前述小區(qū)間，并重復(fù)步驟3至步驟5；（7）查看到前述過(guò)程中繪制出的直方圖上部輪廓越來(lái)越“光滑”，逐步顯現(xiàn)出一條連續(xù)曲線，據(jù)此把這條曲線定義為X的概率密度函數(shù)，并把曲線在X所處區(qū)間內(nèi)的面積定義為X的概率，再把面積和定積分等同起來(lái)，最終完成連續(xù)型隨機(jī)變量概念的導(dǎo)入。雖然這種導(dǎo)入方式在學(xué)習(xí)效果上擁有具象化的優(yōu)點(diǎn)，而且由上述步驟4中Y的定義方式，分外輕易得出概率密度應(yīng)得志非負(fù)性和模范性的特征，但是限于書(shū)本篇幅，很難在書(shū)本上列出足夠多的樣本以支持“不斷精確化”的過(guò)程演化，需要借助多媒體手段方能將模型具象化。例如，在教材[4]中，雖然畫(huà)出兩幅反映演化過(guò)程的概率直方圖，但卻沒(méi)有給出任何概括樣本，只是讓讀者想象有好多樣本存在，初學(xué)者往往只能窺得其中概覽，而無(wú)法自己完成概念的整個(gè)具象化過(guò)程。此外，這種導(dǎo)入方式的過(guò)程本身對(duì)比繁雜，是否符合各個(gè)層次初學(xué)者的采納才能亦存在確定的疑問(wèn)。

第三種導(dǎo)入方式很大程度上是其次種方式的逆過(guò)程：先選擇某個(gè)之前已經(jīng)學(xué)過(guò)的離散型隨機(jī)變量，例如在教材[5]中，Larsen…R…J…和Marx…M…L選擇的是幾何分布隨機(jī)變量，然后畫(huà)出對(duì)應(yīng)的概率直方圖，結(jié)果用連續(xù)曲線疊加在直方圖上（連續(xù)曲線的選擇標(biāo)準(zhǔn)：在任意區(qū)間上，離散型隨機(jī)變量的概率盡可能接近連續(xù)曲線下的面積），據(jù)此得到啟發(fā)，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率理應(yīng)通過(guò)某個(gè)函數(shù)的定積分來(lái)賦予。雖然這種導(dǎo)入方式分外高明，但是初學(xué)者首次接觸這一導(dǎo)入過(guò)程時(shí)，難免會(huì)產(chǎn)生“這一過(guò)程是如何想到的？”疑問(wèn)，也輕易形成連續(xù)型隨機(jī)變量只是用于近似計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率的錯(cuò)覺(jué)。

第四種導(dǎo)入方式：利用前置課程已經(jīng)學(xué)習(xí)的一個(gè)幾何概型實(shí)例，先通過(guò)對(duì)求得的概率表達(dá)式舉行變形，表達(dá)成對(duì)某個(gè)函數(shù)的積分，然后對(duì)被積函數(shù)舉行延拓定義，規(guī)定延拓區(qū)域函數(shù)值恒為零，結(jié)果說(shuō)明這就是連續(xù)型隨機(jī)變量的定義方式，并給出連續(xù)型隨機(jī)變量的定義，如教材[6]、[7]等。通過(guò)比較可以看出，這種導(dǎo)入方式較其次種和第三種更直接和更簡(jiǎn)樸，但是由于在導(dǎo)入過(guò)程中沒(méi)有對(duì)為何變形為積分形式的“動(dòng)機(jī)”舉行合理說(shuō)明，無(wú)法起到啟發(fā)式概念導(dǎo)入的作用，更像是引用了一個(gè)用于說(shuō)明抽象定義的實(shí)例。此外，選擇的實(shí)例是否貼近普遍人的生活閱歷，是否能激發(fā)初學(xué)者的學(xué)習(xí)興趣對(duì)這種導(dǎo)入方式的學(xué)習(xí)效果有著關(guān)鍵性的影響，而教材[6]、[7]中更多采用的是概念上的實(shí)例。

二、借助幸運(yùn)轉(zhuǎn)盤(pán)導(dǎo)入連續(xù)型隨機(jī)變量概念

根據(jù)荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教導(dǎo)家弗賴(lài)登塔爾的數(shù)學(xué)教導(dǎo)思想，數(shù)學(xué)教導(dǎo)理應(yīng)從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)啟程，從生活的現(xiàn)實(shí)啟程，提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，然后通過(guò)概括提高，升華為數(shù)學(xué)概念和法那么以及數(shù)學(xué)思想。幸運(yùn)轉(zhuǎn)盤(pán)是人們?cè)谌粘Ｉ钪袝r(shí)常遇到的一種頗具趣味性的抽獎(jiǎng)工具。我們可以通過(guò)對(duì)它舉行細(xì)致分析，借此導(dǎo)入連續(xù)型隨機(jī)變量的定義。

下面概括給出這種導(dǎo)入方式。出于完整性考慮，假設(shè)初學(xué)者接觸這個(gè)概念之前沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)幾何概型的內(nèi)容。

三、教學(xué)實(shí)施

將這種導(dǎo)入方式運(yùn)用到教學(xué)中時(shí)，可以很輕易設(shè)計(jì)出多個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和提高學(xué)生的參與程度。這里簡(jiǎn)樸列出幾個(gè)，僅供參考。在介紹幸運(yùn)轉(zhuǎn)盤(pán)時(shí)，可以選擇播放某個(gè)利用幸運(yùn)轉(zhuǎn)盤(pán)行騙的短視頻，一來(lái)將學(xué)生帶入教學(xué)情境中，二來(lái)可以起到防騙教導(dǎo)的作用。假設(shè)先分析正常幸運(yùn)轉(zhuǎn)盤(pán)，可以由教師引導(dǎo)學(xué)生分組議論“中獎(jiǎng)特性”“用何種方式描述中獎(jiǎng)區(qū)域”等問(wèn)題，直到引導(dǎo)學(xué)生得出“用扇形的弧度描述中獎(jiǎng)區(qū)域”“中獎(jiǎng)概率與中獎(jiǎng)區(qū)域大小成正比”的相關(guān)結(jié)論。在考慮不正常幸運(yùn)轉(zhuǎn)盤(pán)時(shí)，可以將事先制作并發(fā)布到網(wǎng)上的幸運(yùn)轉(zhuǎn)盤(pán)嬉戲讓學(xué)生用手機(jī)試玩，讓他們誠(chéng)懇感受幸運(yùn)轉(zhuǎn)盤(pán)的“黑幕”，便于后續(xù)啟發(fā)學(xué)生關(guān)于概率變化率即概率密度的概念。此外，還可以考慮在制作的幸運(yùn)轉(zhuǎn)盤(pán)嬉戲中參與調(diào)整指針指向概率密度以及統(tǒng)計(jì)各獎(jiǎng)項(xiàng)實(shí)際中獎(jiǎng)?lì)l率等功能，讓學(xué)生實(shí)際體驗(yàn)概率密度與概率之間的關(guān)系，特別有利于培養(yǎng)學(xué)生在連續(xù)型隨機(jī)變量概念方面的數(shù)學(xué)直覺(jué)。

本文提出了一種新的連續(xù)型隨機(jī)變量定義的教學(xué)導(dǎo)入方式，相對(duì)于已有的幾種導(dǎo)入方式，它具有如下幾個(gè)方面的優(yōu)點(diǎn)：一是導(dǎo)入方式中采用的場(chǎng)景更貼近普遍人的生活，具好玩味性，因而更能激發(fā)初學(xué)者的學(xué)習(xí)興趣；二是概率密度的概念和連續(xù)型隨機(jī)變量的定義方式，可以基于導(dǎo)入過(guò)程的概括場(chǎng)景被更簡(jiǎn)樸領(lǐng)略地引出，啟發(fā)效果更好；三是導(dǎo)入方式更充分地表達(dá)了運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題的思想，因此更有利于培養(yǎng)初學(xué)者運(yùn)用連續(xù)性隨機(jī)變量的才能；四是將此導(dǎo)入方式用于教學(xué)中，在教師的主導(dǎo)下，可以更輕易地提高學(xué)生的參與程度。

[1]魏宗舒.？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程.第2版[M].北京：高等教導(dǎo)出版社，2022.

[2]陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2022.

[3]Ross，SheldonM.？A？first？course？in？probability？=？概率論根基教程/第8版[M].北京：人民郵電出版社，？2022.

[4]茆詩(shī)松，周紀(jì)薌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（其次版）[M].北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2000.

[5]Larsen？R？J，Marx？M？L？.？An？introduction？to？mathematical？statistics？and？its？applications，5th？Edition[M].？Prentice-Hall，2022.

[6]盛驟，謝式千，潘承毅.？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].北京：高等教導(dǎo)出版社，2022.

[7]DeGroot，MorrisH.？Probability？and？statistics？=？概率統(tǒng)計(jì)？/？4th？