2023屆四川省西昌一中高三第一次診斷性檢測數(shù)學（理）試題

30/3131/31/2023屆四川省西昌一中高三第一次診斷性檢測數(shù)學（理科）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．第Ⅰ卷（選擇題），第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、座位號、準考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．2．選擇題使用2B鉛筆涂在答題卡對應題目標號的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應框內，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．3．考試結束后，將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知復數(shù)滿足，是的共軛復數(shù)，則等于（）A. B. C. D.2.從某中學甲、乙兩班各隨機抽取10名同學的數(shù)學成績，所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下．由此可估計甲，乙兩班同學的數(shù)學成績情況，則下列結論正確的是（）A.甲班數(shù)學成績的中位數(shù)比乙班大B.甲班數(shù)學成績的平均值比乙班小C.甲乙兩班數(shù)學成績的極差相等D.甲班數(shù)學成績的方差比乙班大3.設集合，，則的子集個數(shù)為（）A.2 B.4 C.8 D.164.設，向量，，且，則（）A.1 B. C. D.25.已知為拋物線的焦點，過作垂直軸的直線交拋物線于、兩點，以為直徑的圓交軸于，兩點，若，則的方程為（）A. B. C. D.6.一元二次方程的兩根滿足，這個結論我們可以推廣到一元三次方程中．設為函數(shù)的三個零點，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.7.我國古代數(shù)學家劉徽在其撰寫的《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合．從后表卻行一百二十七步，亦與表末三合．問島高及去表各幾何．這一方法領先印度500多年，領先歐洲1300多年．其大意為：測量望海島的高度及海島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標桿，（，，共面，均垂直于地面），使目測點與，共線，目測點與，共線，測出，，，即可求出島高和的距離（如圖）．若，，，，則海島的高（）A.18 B.16 C.12 D.218.如圖，在棱長為的正方體中，是底面正方形的中心，點在上，點在上，若，則（）A. B. C. D.9.定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（）A. B. C.4 D.10.小明去參加法制知識答題比賽，比賽共有，，三道題且每個問題的回答結果相互獨立．已知三道題的分值和小明答對每道題的概率如表：題分值：3分題分值：3分題分值：4分答對的概率記小明所得總分為（分），則（）A B. C. D.11.已知函數(shù)，關于函數(shù)有如下四個命題：①的最小正周期是；②若在處取得極值，則；③把的圖象向右平行移動個單位長度，所得的圖象關于坐標原點對稱；④在區(qū)間上單調遞減，則的最小值為．其中真命題的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.412.已知有兩個零點，，則（）A. B.C D.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.設變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為__________．14.展開式中的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）．15.把正整數(shù)按如下規(guī)律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，……，構成數(shù)列，則__________．16.如圖，已知橢圓，．若由橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向橢圓引切線和，若兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率__________．三、解答題．（解答過程應寫出必要的文字說明，解答步驟．共70分）17.2022年卡塔爾世界杯（英語：FIFAWorldCupQatar2022）是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，除此之外，卡塔爾世界杯還是首次在北半球冬季舉行，第二次世界大戰(zhàn)后首次由從未進過世界杯的國家舉辦的世界杯足球賽．為了解某校學生對足球運動的興趣，隨機從該校學生中抽取了100人進行調查，其中女生中對足球運動沒興趣的占女生人數(shù)的，男生有5人表示對足球運動沒有興趣．（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為“該校學生對足球是否有興趣與性別有關”？有興趣沒興趣合計男60女合計（2）從樣本中對足球沒有興趣的學生按性別分層抽樣的方法抽出6名學生，記從這6人中隨機抽取3人，抽到的男生人數(shù)為，求的分布列和期望，18.如圖，在直三棱柱中，，，，，為的中點．（1）當時，求證：平面；（2）若，與平面所成角為，求的取值范圍．19.在銳角中，角A，，所對的邊分別為．（1）求A；（2）若，求面積的取值范圍．20.已知，分別是橢圓的上下頂點，，點在橢圓上，為坐標原點．（1）求橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓交于軸上方兩點，．若，試判斷直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若否，說明理由．21.已知函數(shù)．（1）是的導函數(shù)，求的最小值；（2）已知，證明：；（3）若恒成立，求的取值范圍．請考生在第22、23兩題中選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]．22.在平面直角坐標系中，曲線參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程；（2）是曲線上的點，求到距離的最大值．[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求實數(shù)取值范圍．2023屆四川省西昌一中高三第一次診斷性檢測數(shù)學（理科）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．第Ⅰ卷（選擇題），第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、座位號、準考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．2．選擇題使用2B鉛筆涂在答題卡對應題目標號的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應框內，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．3．考試結束后，將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知復數(shù)滿足，是的共軛復數(shù)，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡等式得到，計算得到共軛復數(shù)，即可得到的值.【詳解】解：由題意在中，∴∴故選：B.2.從某中學甲、乙兩班各隨機抽取10名同學的數(shù)學成績，所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下．由此可估計甲，乙兩班同學的數(shù)學成績情況，則下列結論正確的是（）A.甲班數(shù)學成績的中位數(shù)比乙班大B.甲班數(shù)學成績的平均值比乙班小C.甲乙兩班數(shù)學成績的極差相等D.甲班數(shù)學成績的方差比乙班大【答案】A【解析】【分析】A選項，根據(jù)中位數(shù)的定義計算出甲乙兩班的中位數(shù)，比較大??；B選項，根據(jù)平均數(shù)的定義計算出甲乙兩班的平均數(shù)，比較出大小；C選項，根據(jù)極差的定義計算出甲乙兩班的極差，兩者不相等；D選項，由莖葉圖分析可得到甲班數(shù)學成績更集中在平均數(shù)的周圍，故方差小.【詳解】甲班的數(shù)學成績中位數(shù)為，乙班的數(shù)學成績中位數(shù)為，甲班數(shù)學成績的中位數(shù)比乙班大，A正確；甲班的數(shù)學成績的平均數(shù)為，乙班的數(shù)學成績的平均數(shù)為，故甲班數(shù)學成績的平均值比乙班大，B錯誤；甲班的數(shù)學成績的極差為，乙班的數(shù)學成績的極差為，故甲乙兩班數(shù)學成績的極差不相等，C錯誤；從莖葉圖中可以看出甲班的成績更加的集中在平均數(shù)71.4的附近，而乙班的成績更分散，沒有集中到平均數(shù)70.6的附近，故甲班數(shù)學成績的方差比乙班小，D錯誤.故選：A3.設集合，，則子集個數(shù)為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)對數(shù)的運算性質化簡集合，從而得到，再求子集個數(shù)即可.【詳解】，，所以，的子集個數(shù)為.故選：C4.設，向量，，且，則（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】由向量垂直的坐標表示求，再由向量減法的坐標表示和模的坐標表示求.【詳解】因為，，且，所以，所以，則，可得．故選：D．5.已知為拋物線焦點，過作垂直軸的直線交拋物線于、兩點，以為直徑的圓交軸于，兩點，若，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知圓是以焦點為圓心，為半徑的圓，根據(jù)弦長公式即得.【詳解】由題可知，由，可得，所以，所以以為直徑的圓的半徑是，圓心為，所以，，解得，所以拋物線方程.故選：B.6.一元二次方程的兩根滿足，這個結論我們可以推廣到一元三次方程中．設為函數(shù)的三個零點，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設（且）的三個實根分別為，依題意可得，再根據(jù)整式的乘法展開，再根據(jù)系數(shù)相等即可判斷.【詳解】設（且）的三個實根分別為，所以，所以，所以，所以，，，即，，，所以，所以函數(shù)中，，，，故選：D7.我國古代數(shù)學家劉徽在其撰寫的《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合．從后表卻行一百二十七步，亦與表末三合．問島高及去表各幾何．這一方法領先印度500多年，領先歐洲1300多年．其大意為：測量望海島的高度及海島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標桿，（，，共面，均垂直于地面），使目測點與，共線，目測點與，共線，測出，，，即可求出島高和的距離（如圖）．若，，，，則海島的高（）A.18 B.16 C.12 D.21【答案】A【解析】【分析】由題可得，，結合條件即得.【詳解】由題可知，，所以，，又，，，，所以，，解得，.故選：A.8.如圖，在棱長為的正方體中，是底面正方形的中心，點在上，點在上，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設點，，其中，，由求出的值，即可得解.【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、，設點，，其中，，，，因為，則，解得，故.故選：D.9.定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（）A B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)新定義及等比數(shù)列的性質運算即得.【詳解】因為，所以，即，又為等比數(shù)列，，所以同號，，又，所以．故選：C.10.小明去參加法制知識答題比賽，比賽共有，，三道題且每個問題的回答結果相互獨立．已知三道題的分值和小明答對每道題的概率如表：題分值：3分題分值：3分題分值：4分答對的概率記小明所得總分為（分），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由概率乘法公式分別求出，由此可得結論.【詳解】由已知，，所以，故選：A.11.已知函數(shù)，關于函數(shù)有如下四個命題：①的最小正周期是；②若在處取得極值，則；③把的圖象向右平行移動個單位長度，所得的圖象關于坐標原點對稱；④在區(qū)間上單調遞減，則的最小值為．其中真命題的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由題可得，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質可判斷①②，根據(jù)圖象變換規(guī)律及三角函數(shù)的性質可判斷③，根據(jù)函數(shù)的單調性可得，然后根據(jù)對勾函數(shù)的性質可判斷④.【詳解】因為，所以的最小正周期是，故①正確；若在處取得極值，則，即，又，故，故②錯誤；把的圖象向右平行移動個單位長度，可得，因為，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于坐標原點對稱，故③正確；由，可得，又在區(qū)間上單調遞減，則，即，根據(jù)對勾函數(shù)的性質可知，故④正確；所以真命題的個數(shù)為3.故選：C.12.已知有兩個零點，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】對于選項A，通過令，構建新函數(shù)，求導解出的單調性，再結合有兩個不同零點即可得出與的大小關系；對于選項C，通過對求導得出單調性，再由對稱定義得出關于對稱，得出，且，即可判斷；對于選項D，通過對零點的分析結合選項A中的證明，得出，結合選項C中的證明利用單調性得出即可判斷；對于選項B，結合選項C，D中的證明，構造新函數(shù)，求導再構造得出的單調性即可由于單調性得出，即可證明比離遠，再結合對稱性得出，即可判斷.【詳解】對于選項A：令，則，即，令，則，則當時，當時，則在時單調遞增，在時單調遞減，則，則當有兩個不同零點時，，故選項A錯誤；對于選項B：，則，由基本不等式可得，則，則，則再定義域上單調遞增，，則關于對稱，令，則，，且由選項A得知，當時，解得的，即，由選項A中可知在時單調遞增，在時單調遞減，當有兩個零點時，則，則，且，令，且，則，令，則，即在上單調遞減，，，，則，即在上單調遞減，，即，，，，，，，在上單調遞增，，即，則比離遠，則，則，故選項B正確；對于選項C：由選項B中可知，且，則，故選項C錯誤；對于選項D：由選項B中可知再定義域上單調遞增，且，，則，則，則故選項D錯誤；故選：B【點睛】導函數(shù)中常見的解題轉化方法：（1）利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，常轉化不等式恒成立問題，需要注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；（2）函數(shù)零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極值問題處理.難題通常需要多段求導或構造函數(shù)，這時需多注意函數(shù)前后聯(lián)系.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.設變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結合直線在軸上的截距，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.【詳解】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數(shù)，可化為直線，當直線過點時在上的截距最小，此時目標函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以目標函數(shù)的最小值為.故答案為：.14.展開式中的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）．【答案】5【解析】【分析】由二項式展開式的通項公式求解即可.【詳解】因為的展開式通項為，所以，．故展開式中的系數(shù)為．故答案為：5.15.把正整數(shù)按如下規(guī)律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，……，構成數(shù)列，則__________．【答案】13【解析】【分析】根據(jù)正整數(shù)排列規(guī)律結合等差數(shù)列求和公式即得.【詳解】由題可知正整數(shù)按1個1,2個2,3個3，……，進行排列，因為，當時，，所以.故答案為：13.16.如圖，已知橢圓，．若由橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向橢圓引切線和，若兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率__________．【答案】【解析】【分析】設切線，，聯(lián)立橢圓方程根據(jù)判別式為零結合條件可得，然后根據(jù)離心率公式即得.【詳解】由題可知，，設切線，，由，可得，所以，整理可得，由，可得，所以，整理可得，又兩切線斜率之積等于，所以，即，所以，又，所以.故答案為：.三、解答題．（解答過程應寫出必要的文字說明，解答步驟．共70分）17.2022年卡塔爾世界杯（英語：FIFAWorldCupQatar2022）是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，除此之外，卡塔爾世界杯還是首次在北半球冬季舉行，第二次世界大戰(zhàn)后首次由從未進過世界杯的國家舉辦的世界杯足球賽．為了解某校學生對足球運動的興趣，隨機從該校學生中抽取了100人進行調查，其中女生中對足球運動沒興趣的占女生人數(shù)的，男生有5人表示對足球運動沒有興趣．（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為“該校學生對足球是否有興趣與性別有關”？有興趣沒興趣合計男60女合計（2）從樣本中對足球沒有興趣的學生按性別分層抽樣的方法抽出6名學生，記從這6人中隨機抽取3人，抽到的男生人數(shù)為，求的分布列和期望，【答案】（1）填表見解析；有的把握認為“該校學生對足球是否有興趣與性別有關”（2）分布列見解析；期望為1【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，再結合公式求，分析理解；（2）根據(jù)分層求得抽取男生2人，女生4人，結合超幾何分布求分布列和期望.【小問1詳解】根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表：有興趣沒興趣合計男55560女301040合計8515100所以有的把握認為“該校學生對足球是否有興趣與性別有關”.【小問2詳解】按照分層抽樣的方法，抽取男生2人，女生4人，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，則有：，，∴的分布列為：012故，即的期望為1.18.如圖，在直三棱柱中，，，，，為的中點．（1）當時，求證：平面；（2）若，與平面所成的角為，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）首先取中點，連接，，為的中點，易證四邊形為平行四邊形，從而得到，再利用線面平行的判定即可證明平面.（2）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，再利用空間向量法求解即可.【小問1詳解】取中點，連接，，為的中點，如圖所示：因為分別為和的中點，所以且，又當時，為的中點，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面．【小問2詳解】因為，，，所以，即.又因為三棱柱為直三棱柱，所以以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：所以，，，，，，，設平面的一個法向量，所以，令，得.又，所以，又，所以，所以的取值范圍為．19.在銳角中，角A，，所對的邊分別為．（1）求A；（2）若，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角后，由誘導公式及兩角和的正弦公式變形，然后結合同角關系可得角；（2）由（1）及已知得角范圍，利用正弦定理把表示為的三角函數(shù)，從而得出的范圍，再由三角形面積公式得面積范圍．【小問1詳解】因為，由正弦定理得，即，所以，因為，所以，由得．【小問2詳解】因為，由正弦定理得，由可得，所以，則，故，所以的面積．即面積的取值范圍為．20.已知，分別是橢圓的上下頂點，，點在橢圓上，為坐標原點．（1）求橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓交于軸上方兩點，．若，試判斷直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若否，說明理由．【答案】（1）；（2）是，直線過定點.【解析】分析】（1）由題可得，然后把點代入橢圓方程可得，即得；（2）設直線，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理法結合數(shù)量積的坐標表示可得，進而即得.【小問1詳解】因為，所以，又點在圖像上，所以，所以，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】由題可設直線：，、，，由，得，則，，又，即，所以，即，，解得，又，即，所以，，所以直線過定點．21.已知函數(shù)．（1）是的導函數(shù)，求的最小值；（2）已知，證明：；（3）若恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）0（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）求出的表達式，求導，通過討論的單調性，即可求出的最小值；（2）通過（1）中的取