牛頓迭代應用

牛頓迭代應用第一頁，共十八頁，2022年，8月28日例1平方根算法收斂性分析令思考:如果迭代初值x0

為負數是否也收斂？第二頁，共十八頁，2022年，8月28日例2*.采用迭代法計算，取x0=7(k=0，1，2，……)若xk具有n位有效數字，求證xk+1具有2n位有效數字。

Ex2：對是否都有這一性質?第三頁，共十八頁，2022年，8月28日

例3

應用牛頓迭代法于方程

x3–a=0,導出求立方根的迭代公式,并討論其收斂階。解：令

f(x)=x3–a，則牛頓迭代公式

故立方根迭代算法二階收斂第四頁，共十八頁，2022年，8月28日例4.設a

為正實數,試建立求1/a

的牛頓迭代公式,要求在迭代公式中不含除法運算,并考慮迭代公式的收斂。xn+1=xn(2–axn)，(n=0，1，2……)所以,當|1–ax0|<1時，迭代公式收斂。

解:建立方程利用牛頓迭代法，得1–axn+1=(1–axn)2

整理，得第五頁，共十八頁，2022年，8月28日應用:設取X0=1,遞推公式牛頓迭代設第六頁，共十八頁，2022年，8月28日例5

用牛頓迭代法求解非線性方程組第七頁，共十八頁，2022年，8月28日分別取初值(1,0),(2,2),牛頓迭代法計算數據如下

n xn

yn

xn

yn0 1 0 2 21 1.0625 0.1250 1.6458 1.58332 1.0673 0.1391 1.5570 1.41633 1.0673 0.1392 1.5465 1.39174 1.0673 0.1392 1.5463 1.3912第八頁，共十八頁，2022年，8月28日手機位置的三點定位法已知三個基站的位置

P1(x1,

y1)P2(x2,

y2)P3(x3,

y3)手機位置

Q(x,y)？？已測得Q到點P1、P2以及P3的距離d1,d2和d3d1d2d3Q第九頁，共十八頁，2022年，8月28日數學模型

其中，

矩陣表示

第十頁，共十八頁，2022年，8月28日例1已知三個接收站位置數據及手機距離數據PkxkykdP1104033.5P2501040P31005060x=40.9500y=47.5625直接法定位第十一頁，共十八頁，2022年，8月28日非線性超定方程組方程組局部線化第十二頁，共十八頁，2022年，8月28日線性超定方程組超定方程組最小二乘解初值修正高斯-牛頓迭代第十三頁，共十八頁，2022年，8月28日非線性方程組初值選取:第十四頁，共十八頁，2022年，8月28日高斯-牛頓迭代法53.333341.292141.080641.082341.082441.0824········33.333349.471349.304949.298649.298349.2983········x=40.824y=49.2983比較直接法結果x=40.9500y=47.5625第十五頁，共十八頁，2022年，8月28日牛頓迭代法的收斂域問題:

用牛頓迭代法求解復數方程

z3–1=0，該方程在復平面上三個根分別是z1=1選擇中心位于坐標原點，邊長為2的正方形內的任意點作初始值，進行迭代，把收斂到三個根的初值分為三類，并分別標上不同顏色（例如紅、黃、藍）。對充分多的初始點進行實驗，繪出牛頓迭代法對該方程的收斂域彩色圖。

第十六頁，共十八頁，2022年，8月28日收斂到z1的牛頓迭代初值點集合收斂到z2的牛頓迭代初值點集合收斂到z3的