數(shù)學(xué)選修4-1指導(dǎo)講義第一講一平行線等分線段定理

一平行線等分線段定理[學(xué)習(xí)目標]1.理解平行線等分線段定理的證明過程及性質(zhì).2.能獨立證明平行線等分線段定理的推論1、推論2.3.能應(yīng)用定理和推論解決相關(guān)的幾何計算問題和證明問題.[知識鏈接]1.三角形、梯形的中位線定理的內(nèi)容是什么？提示(1)三角形中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.(2)梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.2.如圖，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中點，則DG＝____，H是____的中點，F(xiàn)是____的中點.提示BGACDC[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1.平行線等分線段定理文字語言如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等符號語言已知a∥b∥c，直線m，n分別與a，b，c交于點A，B，C和A′，B′，C′，且AB＝BC，則A′B′＝B′C′圖形語言作用證明同一直線上的線段相等2.推論1文字語言經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊符號語言在△ABC中，點D為AB的中點，過點D作DE∥BC，交AC于點E，則點E平分AC圖形語言作用證明線段相等，求線段的長度3.推論2文字語言經(jīng)過梯形一腰的中點且與底邊平行的直線必平分另一腰符號語言在梯形ABCD中，AD∥BC，E為AB的中點，過E作EF∥BC，交CD于F，則F平分CD圖形語言作用證明線段相等，求線段的長度要點一平行線等分線段定理例1如圖①，在AD兩旁作AB∥CD，且AB＝CD，A1，A2為AB的兩個三等分點，C1，C2為CD的兩個三等分點，連接A1C，A2C1，BC2，求證把AD分成四條線段的長度相等.證明如圖②，過點A作直線AM平行于A1C，延長DC交AM于點M，過點D作直線DN平行于BC2，延長AB交DN于點N，由AB∥CD，A1，A2為AB的兩個三等分點，點C1，C2為CD的兩個三等分點，可得四邊形A1CC1A2，四邊形A2C1C2B為平行四邊形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因為AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行線等分線段定理可知，A1C，A2C1，BC2把AD分成的四條線段的長度相等.規(guī)律方法解決此題的關(guān)鍵是找出平行線等分線段定理的基本條件，找準被一組平行線截得的線段.跟蹤演練1如圖①，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，則BC＝()A.3 B.6 C.9 D.4解析如圖②，過O作一直線與AB，CD，EF平行，因為AO＝OD＝DF，由平行線等分線段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BC＝6.答案B要點二平行線等分線段定理的推論例2如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E，F(xiàn)分別在AC，BC上，且CE＝CF，EM⊥AF交AB于M，CN⊥AF交AB于N.求證：MN＝NB.解如圖所示，延長ME交BC的延長線于點P，由題意可得Rt△EPC≌Rt△FAC，∴PC＝AC＝BC.∵EM⊥AF，CN⊥AF，∴PM∥CN，又∵點C是BP的中點，∴點N是MB的中點.∴MN＝NB.規(guī)律方法證明同一直線上相鄰兩條線段相等，常用方法構(gòu)造三角形及中位線.跟蹤演練2如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，M是CD的中點.求證：AM＝BM.證明過M點作ME∥BC，交AB于點E.∵∠ABC＝90°，∴∠AEM＝90°，即ME⊥AB.∵在梯形ABCD中，M是CD的中點，∴AE＝EB.∴ME是AB的垂直平分線.∴AM＝BM.要點三平行線等分線段定理的綜合應(yīng)用例3已知平面α，β，γ，α∥β∥γ，直線l1分別交α，β，γ于A，B，C三點，直線l2分別交α，β，γ于D，E，F(xiàn)三點，且AB＝BC.求證：DE＝EF.證明(1)當l1與l2共面時，由面面平行的性質(zhì)得AD∥BE∥CF，又∵AB＝BC，由平行線等分線段定理得：DE＝EF，(2)當l1與l2異面時，如圖，在直線l2上取一點G，過點G作l3∥l1，設(shè)l3與平面α，β，γ分別相交于P，Q，R.則l1與l3確定一個平面π1，l3與l2確定一個平面π2.在平面π1中，連接AP，BQ，CR，則由面面平行的性質(zhì)可知AP∥BQ∥CR.由AB＝BC，得PQ＝QR；同理在平面π2中，就可證明DE＝EF.綜上，DE＝EF.規(guī)律方法這是平行線等分線段定理在空間的推廣，即：如果一組平行平面在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.跟蹤演練3如圖所示，四邊形ABCD中，AB＝CD，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，BA，CD的延長線分別與EF的延長線交于點M，N.求證：∠AME＝∠CNE.證明連接BD，過F作FG∥AB，交BD于G，連接GE，GF.在△ABD中，∵FG∥AB，且F是AD的中點，∴DG＝GB，∴FG是△ABD的中位線，∴GF＝eq\f(1,2)AB，GF∥BM.同理可證：GE＝eq\f(1,2)CD，GE∥CN.∵AB＝CD，∴GF＝GE，∴∠GEF＝∠GFE.∵GF∥BM，∴∠GFE＝∠BME.∵GE∥CD，∴∠GEF＝∠CNE.∴∠AME＝∠CNE.1.(1)定理中的“一組平行線”是指“平行線組”，是由三條或三條以上互相平行的直線組成的.(2)定理中的條件“在一條直線上截得的線段相等”實質(zhì)是指“平行線組”中每相鄰兩條平行線間的距離都相等.(3)定理及推論的主要作用在于證明同一直線上的線段相等問題.2.在梯形中，如果已知一腰的中點，添加輔助線的方法(1)過這一點作底邊的平行線，由平行線等分線段定理的推論得另一腰的中點；(2)可通過延長線段構(gòu)造全等三角形或相似三角形.3.在幾何證明中添加輔助線的方法(1)在三角形中，由角平分線可構(gòu)造全等或相似三角形；(2)在三角形或梯形中，若有一邊上的中點，則過這點可作輔助線.1.如圖所示，l1∥l2∥l3，直線AB與l1，l2，l3相交于A，E，B，直線CD與l1，l2，l3相交于C，E，D，AE＝EB，則有()A.AE＝CE B.BE＝DEC.CE＝DE D.CE>DE解析由平行線等分線段定理知CE＝ED.答案C2.如圖D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點，則與△DEF全等的三角形有()A.1個 B.2個C.3個 D.4個解析∵DF是△ABC的中位線，∴DF＝eq\f(1,2)BC＝CE，且DF∥BC，則∠AFD＝∠C.同理，由EF∥AB可得∠A＝∠EFC，∴△ADF≌△FEC.同理可得△DEB≌△FCE.由DE＝CF，DF＝CE，EF＝EF，可得△EFD≌△FEC.∴與△DEF全等的三角形有△FAD，△EDB，△CFE，共3個.答案C3.下列結(jié)論正確的是________.(1)如圖(1)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，則A2B2＝B2C2.(2)如圖(2)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，則A2B2＝B2C2.(3)如圖(3)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，則A2B2＝B2C2.解析由平行線等分線段定理知：(1)(2)(3)都正確.答案(1)，(2)，(3)4.如圖所示，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，BE的延長線交AC于點F.求證：AF＝eq\f(1,3)AC.證明過D作DG∥BF交AC于G.在△BCF中，D是BC的中點，DG∥BF，∴G為CF的中點，即CG＝GF.在△ADG中，E是AD的中點，EF∥DG，∴F是AG的中點，即AF＝FG.∴AF＝eq\f(1,3)AC.一、基礎(chǔ)達標1.如圖所示，已知BC＝acm，且AD∥EF∥BC，AE＝EO＝OC，則AD等于()A.acm B.2acmC.3acm D.eq\f(3a,2)cm解析∵EF∥AD，AE＝EO，∴F是OD的中點，∴EF是△OAD的中位線，∴AD＝2EF，又∵EF∥BC，EO＝OC，∴△OEF≌△OCB，∴EF＝BC，∴AD＝2a.答案B2.如圖所示，在△ABC中，BD為AC邊上的中線，DE∥AB交BC于E，則陰影部分面積為△ABC面積的()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析∵DE∥AB，D為AC的中點，∴E為BC的中點，∴S△BDE＝S△EDC.∴S△BDE＝eq\f(1,2)S△BDC＝eq\f(1,4)S△ABC.答案A3.如圖所示，若a∥b∥c，那么下列結(jié)論中錯誤的是()A.由AB＝BC可得FG＝GHB.由AB＝BC可得OB＝OGC.由CE＝2CD可得CA＝2BCD.由GH＝eq\f(1,2)FH可得CD＝DE解析∵OB，OG不是一條直線被一組平行線截得的線段，故不正確.答案B4.如圖所示，在△ABC中，E為AB的中點，AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，若HC＝eq\f(1,4)BH，則FC＝________BF.解析∵AH⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AH，又∵AE＝EB，∴BF＝FH，∴HC＝eq\f(1,4)BH＝eq\f(1,2)BF，∴FC＝FH＋HC＝eq\f(3,2)BF.答案eq\f(3,2)5.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，M是AD的中點，延長CM，交AB于P，DN∥CP交AB于N，若AB＝6cm，則AP＝________；若PM＝1cm，則PC＝________.解析由AD⊥BC，AB＝AC知BD＝CD，又DN∥CP，∴BN＝NP.又AM＝MD，PM∥DN，知AP＝PN，∴AP＝eq\f(1,3)AB＝2(cm)，易知PM＝eq\f(1,2)DN，DN＝eq\f(1,2)PC，∴PC＝4PM＝4(cm).答案2cm4cm6.如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求證：AF＝BF.證明如圖，延長AE交BC于M.∵CD是∠ACB的角平分線，AE⊥CD，可證△AEC≌MEC，∴AE＝EM，又在△ABM中，EF∥BF，∴點F是AB的中點，∴AF＝BF.二、能力提升7.如圖，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，點E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，且AC⊥BC，若AD＝5，EF＝6，則CF的長為()A.6.5 B.6 C.5 D.4解析連接BD，∵點E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點.∴EF綊eq\f(1,2)BD，又∵EF＝6，∴BD＝12，∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD＝12，BC＝AD＝5，又∵AC⊥BC，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝13，∵F是AB的中點，∴CF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(13,2)＝6.5.答案A8.某梯形的中位線長10cm，一條對角線將中位線分成的兩部分之差是3cm，則該梯形中的較大的底邊等于________cm.解析由已知中位線被BD分成的較長的一部分GF＝eq\f(13,2)，又∵EF∥BC，且F為DC的中點，∴G為BD的中點，∴在△DBC中，GF＝eq\f(1,2)BC，∴較大的底邊BC長為13.答案139.如圖所示，AD∥EG∥FH∥BC，E，F(xiàn)三等分AB，G，H在DC上，AD＝4，BC＝13，則EG＝________，F(xiàn)H＝________.解析由梯形中位線定理知：2EG＝AD＋FH，2FH＝EG＋BC，又由已知AD＝4，BC＝13，∴可解得EG＝7，F(xiàn)H＝10.答案71010.如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，AB＝BC，E為AB的中點.求證：△ECD為等邊三角形.證明如圖，連接AC，過點E作EF平行于AD交DC于點F.∵AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.又∵E是AB的中點，∴F是DC的中點(經(jīng)過梯形一腰的中點與底邊平行的直線平分另一腰).∵DC⊥BC，∴EF⊥DC.∴ED＝EC(線段垂直分線上的點到線段兩端點的距離相等).∴△EDC為等腰三角形.∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形.∴∠ACB＝60°.又∵E是AB邊的中點，∴CE平分∠ACB.∴∠FEC＝∠ECB＝30°.∴∠DEF＝30°.∴∠DEC＝60°.又∵ED＝EC，∴△ECD為等邊三角形.11.如圖所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝eq\f(1,2)BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于M，求BM與CG的長.解如圖所示，取BC的中點P，作PQ∥DH交EH于Q，則PQ是梯形ADHE的中位線.∵AE∥BF∥CG∥DH，AB＝eq\f(1,2)BC＝CD，AE＝12，DH＝16，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(1,4)，eq\f(BM,DH)＝eq\f(AB,AD)，∴eq\f(BM,16)＝eq\f(1,4)，∴BM＝4.由于PQ為梯形ADHE的中位線，故PQ＝eq\f(1,2)(AE＋DH)＝eq\f(1,2)(12＋16)＝14.同理，CG＝eq\f(1,2)(PQ＋DH)＝eq\f(1,2)(14＋16)＝15.三、探究與創(chuàng)新12.有人玩折紙游戲，他先把一張矩形紙ABCD按如圖(1)所示對折，設(shè)折痕為MN.如圖(2)所示，再沿AE折疊矩形一部分，使