數(shù)學選修4-5導學案1-5-1不等式證明的基本方法

1.1.5不等式證明的基本方法1.5.1比較法在理解比較法的基礎上，會用作差、作商兩種形式的比較法比較兩個代數(shù)式的大小，會用比較法證明較簡單的不等式.自學導引1.因為a>b?a－b>0，要證a>b，只需要證a－b>0，同樣要證a<b，只需證a－b<0.2.如果a、b都是正數(shù)，要證a>b，只需證eq\f(a,b)>1；如果a、b都是負數(shù)，要證a>b，只需證eq\f(a,b)<1.基礎自測1.下列關系中對任意a<b<0的實數(shù)都成立的是()A.a2<b2 B.lgb2<lga2C.eq\f(b,a)>1D.eqD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a2)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b2解析a<b<0，∴a2>b2>0，∴l(xiāng)ga2>lgb2，故選B.答案B2.已知a>0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，則P、Q的大小關系是()A.P>Q B.P<QC.P＝Q D.大小不確定解析當a>1時，a3＋1>a2＋1，∴l(xiāng)oga(a3＋1)>loga(a2＋1)，當0<a<1時，a3＋1<a2＋1，∴l(xiāng)oga(a3＋1)>loga(a2＋1)，綜合以上兩種情況知P>Q，故選A.答案A3.設P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，且ab≠1，a≠－2.則P、Q的大小關系是________.解析P－Q＝a2b2＋5－2ab＋a2－4a＝(ab－1)2＋(a－2)2>0，∴P>Q.答案P>Q知識點1兩代數(shù)式大小的比較【例1】已知x<y<0，試比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大小.解(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y).∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0，∴－2xy(x－y)>0，∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y).●反思感悟：實數(shù)大小的比較常用a>b?a－b>0或“eq\f(a,b)>1，且b>0?a>b”來解決，比較法的關鍵是第二步的變形，一般來說，變形越徹底，越有利于下一步的符號判斷.1.設a>0，b>0且a≠b，試比較aabb與abba的大小.解eq\f(aabb,abba)＝aa－b·bb－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(a－b).當a>b>0時，eq\f(a,b)>1，a－b>0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(a－b)>1，于是aabb>abba.當b>a>0時，0<eq\f(a,b)<1，a－b<0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(a－b)>1，于是aabb>abba.綜上所述，對于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb>abba.知識點2作差比較法證明不等式【例2】設a>0，b>0，求證eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b)))eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,a)))eq\f(1,2)≥aeq\f(1,2)＋beq\f(1,2).證明方法一：左邊－右邊＝eq\f(（\r(a)）3＋（\r(b)）3,\r(ab))－(eq\r(a)＋eq\r(b))＝eq\f(（\r(a)＋\r(b)）（a－\r(ab)＋b）－\r(ab)（\r(a)＋\r(b)）,\r(ab))＝eq\f(（\r(a)＋\r(b)）（a－2\r(ab)＋b）,\r(ab))＝eq\f(（\r(a)＋\r(b)）（\r(a)－\r(b)）2,\r(ab))≥0.∴原不等式成立.方法二：左邊>0，右邊>0.eq\f(左邊,右邊)＝eq\f(（\r(a)＋\r(b)）（a－\r(ab)＋b）,\r(ab)（\r(a)＋\r(b)）)＝eq\f(a－\r(ab)＋b,\r(ab))≥eq\f(2\r(ab)－\r(ab),\r(ab))＝1，∴原不等式成立.●反思感悟：用比較法證不等式，一般要經(jīng)歷作差(或作商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要手段是通分、因式分解或配方，在變形過程中，也可利用基本不等式放縮.2.設a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.證明3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b).因為a≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>0，從而(3a2－2b2)(a－b)≥0.即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.知識點3作商比較法證明不等式【例3】已知a>b>c>0，求證：aabbcc>(abc)eq\f(1,3)(a＋b＋c).證明∵eq\f(aabbcc,（abc）\f(1,3)（a＋b＋c）)＝aeq\f(2a－b－c,3)beq\f(2b－a－c,3)ceq\f(2c－a－b,3)＝aeq\f(a－b,3)＋eq\f(a－c,3)·beq\f(b－a,3)＋eq\f(b－c,3)·ceq\f(c－a,3)＋eq\f(c－b,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\f(a－b,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\f(a－c,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\f(b－c,3).∵a>b>0，∴a－b>0，eq\f(a,b)>1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\f(a－b,3)>1.同理可證eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\f(a－c,3)>1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\f(b－c,3)>1，∴aabbcc>(abc)eq\f(1,3)(a＋b＋c).●反思感悟：作商后通常利用不等式的性質、指數(shù)函數(shù)的性質、對數(shù)函數(shù)的性質來判斷商式與1的大小.3.設m＝eq\f(|a|＋|b|,|a＋b|)，n＝eq\f(|a－b|,||a|－|b||)，那么它們的大小關系是m________n.解析eq\f(m,n)＝eq\f(\f(|a|＋|b|,|a＋b|),\f(|a－b|,||a|－|b||))＝eq\f(（|a|＋|b|）||a|－|b||,|a＋b|·|a－b|)＝eq\f(|a2－b2|,|a2－b2|)＝1，∴m＝n.答案＝課堂小結1.比較法有兩種形式，一是作差；二是作商.用作差證明不等式是最基本、最常用的方法.它的依據(jù)是不等式的基本性質.2.步驟是：作差(商)→變形→判斷.變形的目的是為了判斷.若是作差，就判斷與0的大小關系，為了便于判斷，往往把差式變?yōu)榉e或完全平方式.若是作商，兩邊為正，就判斷與1的大小關系.3.有時要先對不等式作等價變形再進行證明，有時幾種證明方法綜合使用.隨堂演練1.a、b都是正數(shù)，P＝eq\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，Q＝eq\r(a＋b)，則P，Q的大小關系是()A.P>Q B.P<QC.P≥Q D.P≤Q解析eq\f(P2,Q2)＝eq\f(a＋b＋2\r(ab),2（a＋b）)≤eq\f(a＋b＋a＋b,2（a＋b）)＝1，∴P≤Q，應選D.答案D2.已知0<x<1，a＝2eq\r(x)，b＝1＋x，c＝eq\f(1,1－x)，則其中最大的是()A.a B.bC.c D.不能確定解析顯然b>a，下面比較b，c.b－c＝1＋x－eq\f(1,1－x)＝eq\f(1－x2－1,1－x)＝－eq\f(x2,1－x)<0，∴C最大，故應選C.答案C3.下列命題：①當b>0時，a>b?eq\f(a,b)>1；②當b>0時，a<b?eq\f(a,b)<1；③當a>0，b>0時，eq\f(a,b)>1?a>b；④當ab>0時，eq\f(a,b)>1?a>b，其中真命題有()A.①②③ B.①②④C.④ D.①②③④解析①②③正確，④中若a<0時不成立，故選A.答案A4.若－1<a<b<0，則eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，a2，b2中值最小的是________.解析∵a<b<0，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，又∵a2，b2都為正數(shù)，∴最小的為eq\f(1,b).答案eq\f(1,b)基礎達標1.若a，b為不等的正數(shù)，則(abk＋akb)－(ak＋1＋bk＋1)(k∈N*)的符號()A.恒正 B.恒負C.與k的奇偶性有關 D.與a，b大小無關解析(abk＋akb)－ak＋1－bk＋1＝bk(a－b)＋ak(b－a)＝(a－b)(bk－ak)∵a>0，b>0，若a>b，則ak>bk，∴(a－b)(bk－ak)<0；若a<b，則ak<bk，∴(a－b)(bk－ak)<0.答案B2.設a、b、c、d、m、n∈R＋，P＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，Q＝eq\r(ma＋nc)·eq\r(\f(b,m)＋\f(d,n))，則有()A.P≥Q B.P≤QC.P>Q D.P<Q解析采用先平方后作差法∵P2－Q2＝(ab＋cd＋2eq\r(abcd))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab＋cd＋\f(m,n)ad＋\f(n,m)bc))＝2eq\r(abcd)－eq\f(m,n)ad－eq\f(n,m)bc＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(m,n)ad)－\r(\f(n,m)bc)))eq\s\up12(2)≤0，∴P2≤Q2，又∵P>0，Q>0，∴P≤Q.答案B3.對x1>x2>0，0<a<1，記y1＝eq\f(x1,1＋a)＋eq\f(ax2,1＋a)，y2＝eq\f(ax1,1＋a)＋eq\f(x2,1＋a)，則x1x2與y1y2的關系為()A.x1x2>y1y2 B.x1x2＝y(tǒng)1y2C.x1x2<y1y2 D.不能確定，與a有關答案C4.已知a1≤a2，b1≤b2，則a1b1＋a2b2與a1b2＋a2b1的大小關系是________.解析a1b1＋a2b2－a1b2－a2b1＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(b2－b1)(a2－a1)≥0∴a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1.答案a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b15.設a>5，則eq\r(a－3)－eq\r(a－4)與eq\r(a－4)－eq\r(a－5)的大小關系是__________________.解析因為a>5，只需比較eq\r(a－3)＋eq\r(a－5)與2eq\r(a－4)的大小，兩數(shù)平方，即比較eq\r(（a－3）（a－5）)與a－4的大小，再平方，只需比較a2－8a＋15與a2－8a＋16的大小.答案eq\r(a－3)－eq\r(a－4)<eq\r(a－4)－eq\r(a－5)6.設a、b∈(0，＋∞)，且a≠b，比較eq\f(a3,b2)＋eq\f(b3,a2)與a＋b的大小.解eq\f(a3,b2)＋eq\f(b3,a2)－(a＋b)＝(a3－b3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)eq\f(1,a2b2)，∵a、b∈(0，＋∞)，且a≠b，∴a＋b，(a－b)2，(a2＋ab＋b2)，eq\f(1,a2b2)均為正數(shù)，∴eq\f(a3,b2)＋eq\f(b3,a2)－(a＋b)>0，∴eq\f(a3,b2)＋eq\f(b3,a2)>a＋b.綜合提高7.設a＝sin15°＋cos15°，b＝sin16°＋cos16°，則下列各式正確的是()A.a<eq\f(a2＋b2,2)<b B.a<b<eq\f(a2＋b2,2)C.b<a<eq\f(a2＋b2,2) D.b<eq\f(a2＋b2,2)<a解析a＝sin15°＋cos15°＝eq\r(2)sin60°，b＝sin16°＋cos16°＝eq\r(2)sin61°，∴a<b，排除C、D.又a≠b，∵eq\f(a2＋b2,2)>ab＝eq\r(2)sin60°·eq\r(2)sin61°＝eq\r(3)sin61°>eq\r(2)sin61°＝b，故a<b<eq\f(a2＋b2,2)成立.答案B8.已知a，b，c，d都是正數(shù)，且bc>ad，則eq\f(a,b)，eq\f(a＋c,b＋d)，eq\f(a＋2c,b＋2d)，eq\f(c,d)中最大的是()A.eq\f(a,b) B.eq\f(a＋c,b＋d)C.eq\f(a＋2c,b＋2d) D.eq\f(c,d)解析eq\f(a,b)－eq\f(c,d)＝eq\f(ad－bc,bd)<0，∴eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，eq\f(c,d)－eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(bc＋cd－ad－dc,d（b＋d）)＝eq\f(bc－ad,d（b＋d）)>0，eq\f(c,d)－eq\f(a＋2c,b＋2d)＝eq\f(bc＋2cd－ad－2cd,d（b＋2d）)＝eq\f(bc－ad,d（b＋2d）)>0，所以最大的是eq\f(c,d).答案D9.設x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，則實數(shù)a、b應滿足的條件是________.解析若x＞y，則x－y＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0.只要a＋2≠0，ab－1≠0兩個中滿足一個，即可使得x＞y.答案a≠－2或ab≠110.設a＞0，b＞0，則下列兩式大小關系為lg(1＋eq\r(ab))________eq\f(1,2)[lg(1＋a)＋lg(1＋b)].解析(1＋a)(1＋b)－(1＋eq\r(ab)2)＝a＋b－2eq\r(ab)＝(eq\r(a)－eq