2007年所有數(shù)模競賽本文根據(jù)近5的人口調(diào)查數(shù)據(jù)和戰(zhàn)略發(fā)展報(bào)告對問

本文根據(jù)近5年的人口數(shù)據(jù)和國家人口發(fā)展報(bào)告對人口的發(fā)展問一部分是2003年數(shù)據(jù)中的婦育率與其他幾年的數(shù)據(jù)相比相差一個數(shù)量級，200220040d 取的是di, 量形式的差分方程X(k1)LX(k)建立離散模型，求得三部分的女性 506隨時間變化的人口發(fā)展模型（7)，得到的預(yù)測結(jié)果應(yīng)該在長期的預(yù)測中是的出現(xiàn)時段，分析了化現(xiàn)象帶來的影響，發(fā)現(xiàn)到2020年左右時，紅利期面臨著一個轉(zhuǎn)折，到2032年左右時，中國一個新的人口負(fù)債期，從而對人口線性插值Leslie矩陣人口發(fā)展方程一．問題重已有數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，人口做出分析和預(yù)測是一個重要問題比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著口的增長2007年初發(fā)布的《國家人口發(fā)展》(附錄1)還做出了進(jìn)一步的分 以搜索相關(guān)文獻(xiàn)和補(bǔ)充新的數(shù)據(jù)，建立口增長的數(shù)學(xué)模型，并人建立的模型中的優(yōu)點(diǎn)與不足之二．問題分 有關(guān)，我們建立向量形式的差分方程的Leslie模型。 等間隔地分成91個組，每一歲為一個組，與年1年為一個時段。Leslie矩陣是關(guān)于女性率及存活率的矩陣。而在表格中，人口的相關(guān)因33組相應(yīng)的率及存活率，進(jìn)而構(gòu)建3個Leslie矩陣。然后利用向量形式的差分方程，便可預(yù)測出任何時段K按組的人口數(shù)量分布?？紤]到鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化，即人口遷移，相當(dāng)于對 段存活率產(chǎn)生影響設(shè)第 組第j區(qū)的凈遷入率為ni,

(凈遷移率=遷入率－遷出率)進(jìn)一步影響出生率。只需要將Leslie矩陣做對應(yīng)修改即可得到相應(yīng)的結(jié)果。Leslie模型中率和存活率都是關(guān)于各個段的常量故我們需要對Leslie模型進(jìn)行改進(jìn)，建立一個關(guān)于時間t的連續(xù)模型，根據(jù)討論率及存活率關(guān)于時間t的連續(xù)變化情況，建立相關(guān)的人口發(fā)展模型，達(dá)到改進(jìn)模型的目的。，。近年來口的發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)化進(jìn)程加劇，出生人口，?！叭栒fj=11j=22j=33xi(k):第k年第i組的女性數(shù)j(k):第j區(qū)第k年女性組的分布向量Ci,j:第i組處于第j區(qū)女性平均率di,j:第i組處于第j區(qū)女性平均存活率fi,j(k):第k年第i組處于j區(qū)的女性率gi,j(k):第k年第i組處于j區(qū)的婦育率pj(k):第k年第j區(qū)的新生兒為的概率qj(k):第k年第j區(qū)的育齡婦育m:育齡區(qū)間的

N(r,t)：表示t時刻小于r的人口總N(ttP(rt)(x,t)：率函w(r,t)：R（tS（t(t) 化指(t：am 人類的上型的數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)修1．方法利用同組不為0的數(shù)據(jù)對0數(shù)據(jù)進(jìn)行線性插 將0數(shù)據(jù)進(jìn)行修正2．01年-05的婦育率對比，可發(fā)現(xiàn)03年的數(shù)據(jù)與其他年份的對應(yīng)數(shù)據(jù)相差1個數(shù)量級，故我們采取刪除措施，不考慮03年的城市婦育率（當(dāng)故我們決定將03年的率數(shù)據(jù)不予考慮）各參數(shù)的確立1j=1Leslie矩陣構(gòu)建城市女性人口結(jié)1．各段平 率的確 求5年內(nèi)的城市 育率的5個數(shù)值的平均值的方法來代表各個段在這 育率為0，我們只需要求取這35個值便可。例如以20歲這一20歲的婦女從2001年到2005年的城市婦育率的數(shù)據(jù)g20,1(k)如下所示表1城市婦育，由于2003年的數(shù)據(jù)反差太大其篩選出來，即不對03年的婦育率做4個數(shù)據(jù)進(jìn)行平均值求解，即：，_g

平均婦育_即20歲這個段婦女5年內(nèi)的平均率g20,1為16.86_些育齡婦女的平均率gi,1求出_表 15-49歲平均婦育率g2．各段的率的確根據(jù)樣本計(jì)算總和1.4左右，這與報(bào)告中所說“20年代中后期，總和率已降至1.8左右，并穩(wěn)定至今”不符，這說明樣本率并不能完全反應(yīng)整體率，我們通過育齡率及育齡區(qū)間，婦女平均_gi,[而各區(qū)育齡總和（Yj）=育 率（qj(k)）*育齡區(qū)間即:率=女性出生率*(育齡率*育齡區(qū)間)*婦女平均20歲為例子加以說明(即i=20，j=1)新生兒為女性概率=100/（男女出生比例表 男女出生比則新生兒為的概率：p1(k)表 育齡率q1(k93511725383_求平均值得到q則育齡總和為:Y=20歲的婦女測平均率已求出為:16.86.所以20歲女性的率b20.1=0.472*1407*16.86*10^(-依次類推，便可求得15歲到49歲的率3．各段婦女的平均率的確劃分為0-90歲，而各段在01年到05的率是互不相同的，為20050-905年內(nèi)的平均率。(方法同上)。4．各存活率 率是對等的，故由公式存活率=1-率可知di,j1ci,j5由各段婦女的率和平均存活率便可建立城市婦女的Leslie矩陣L12j=2，3，即分別屬于鎮(zhèn)，鄉(xiāng)人口時，我們同上方法亦可得到各參數(shù)，并建立其LeslieL2L3。模型一（離散模型模型假不考慮生存空間等自然資源及意 率僅與段有關(guān)，存活率也僅 段有關(guān)總?cè)藬?shù)計(jì)算中以男女比例為常 模型建分別將市鎮(zhèn)鄉(xiāng)女性群體按大小等間隔地分成n個組比如每一歲為一 要別比函數(shù)即可得到總?cè)丝?，以一歲為一個組，一年為一個時段ik年i歲的女性人數(shù)為x(k)。 率只 i和地域j有關(guān)，記i歲處于ji女性的率為b育齡區(qū)間為[i,i]設(shè)率也只與i和地域j有關(guān) 1i歲處于j區(qū)女性的率為c存活率為

b和c

第k+1年第一組女性人群數(shù)量是第k年各組女性人群數(shù)nni

第k+1年第n組女性人群數(shù)量是第k年第n-1及n組存活下xn(k1)dn1,jxn1(k)dn,jxn(k

第k+1年第i+1組女性人群數(shù)量是第k年第i組存的xi1(k1)di,jxi(k記第k年女性人群按組的分布向量

X(k)[x(k),x(k),...,

(k

由率bi,j和存活率di,j構(gòu)成的Leslie矩 bn,j 01,

d2,

Lj

dn1, dn,jXj(k1)LjXj(k),

當(dāng)矩陣L和按組的初始分布向量X(0)已知時，既可以預(yù)測第k年女性人 組的分布 X(k)LkX

1,2,...33X(k)Xj(k),k1,j

模型求始分布向量X(0)即可以預(yù)測出以后各年的人群按組的分布以及總?cè)丝跀?shù)來進(jìn)行計(jì)算，從而預(yù)測以后50年的人口總數(shù)，并參照給出了以后50年的勞動人數(shù)和20-29歲旺期育齡婦女?dāng)?shù)。1：口中短期及長期預(yù)表 未來總?cè)丝跀?shù)預(yù)（2020年（2030年（2050年圖1- 未來我國總?cè)丝陬A(yù)204415.678203315億人左右。兩者年份相差比較大，但由于年份本身是不確定的，而（圖1-2未來我國總?cè)丝?、勞動人口及人口撫養(yǎng)比預(yù)測資料來源：《國家人口發(fā)展研究·人口發(fā)展預(yù)測》課題27（2020年（2030年（2050年8圖 未來我國勞動人口預(yù)201310.271-2201610.1（3：中齡化、中短期及長期預(yù)表 化比率預(yù)（2020年（2030年（2050年化歲歲如圖所示014圖 未來我國人口化預(yù)其中60203565歲以上2039年達(dá)到峰值 （具體源代碼及結(jié)果參見附錄604030%652039年達(dá)到峰22%。此時的化程度與已有的預(yù)測值在50年內(nèi)比較一致數(shù)據(jù)處理比較吻合，圖3-2未來我國人口化預(yù)4：我國育齡婦女（15—49歲）表 育齡婦女（15—49歲）人數(shù)預(yù)（2020年（2030年（2050年4-1未來我國育齡婦女（15—49歲）人數(shù)預(yù)測4-2：未來我國育齡婦女（15-49）（5：我國旺盛期育齡婦女（20—29歲）人數(shù)中短期及長期預(yù)測表10 育齡婦女（20—29歲）人數(shù)預(yù)測（2020年（2030年（2050年女（20-圖5－1未來我國旺盛期育齡婦女（20—29歲）人數(shù)預(yù) （具體源代碼參見附錄經(jīng)過比較可以發(fā)現(xiàn)旺盛期育齡婦女的前45年左右數(shù)據(jù)基本與國家人口發(fā)展研究的預(yù)測值相吻合，不過到2050年左右，數(shù)據(jù)的變化趨勢明顯不模型改考慮到鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化，即人口遷移，相當(dāng)于對各段存活率產(chǎn)生影響設(shè)第 組第j區(qū)的凈遷入率為ni,

(凈遷移率=遷入率－遷出率)率=原存活率＋凈遷入率，由于比持續(xù)升高，將會影響的出生量，從而進(jìn)一步影響出生率，只需要將Leslie矩陣做對應(yīng)修改即可得到相應(yīng)的結(jié)果。參數(shù)變化對預(yù)測結(jié)果模型中所涉及參數(shù)為各區(qū)各段的率及率1當(dāng)率降低（升高，率不變時，則通過Leslie矩陣計(jì)算后所得到2當(dāng)率不變，率降低（升高）時，相應(yīng)的存活率升高，即Leslie矩3（大k次方后也相應(yīng)變?。ù?，4當(dāng)率升高（降低，率也升高（降低）時，率只能逐步影響預(yù)測結(jié)果，而率能很快速的影響預(yù)測結(jié)果，當(dāng)兩者變化率相同時率對，由于醫(yī)療水平的提高，率將會普遍下降，隨著男女出生比例持續(xù)升高，則Leslie矩陣（女性）率將會降低，即為4情況。模型評 例如在2005年到2020年由于20世紀(jì)80年代至90年代出生人口 但是模型一中我們把率率等因素當(dāng)作常量來考慮而實(shí)際上，的，我們不應(yīng)該再視其為一個定值，而應(yīng)該考慮時間對率及率的影響故我們需要對模型一進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)模型二（連續(xù)模型，的增長的相關(guān)因素的影響。使人口數(shù)量和結(jié)構(gòu)變化的因素不外乎出生率以，模型假只考慮出生率與率對人口的影模型的建立——人口發(fā)展設(shè)r表示，t表示時間，N(r,t)表示t時刻小于r的人口總數(shù)，即口分布函數(shù)。其中r，t（〉0）的連續(xù)變量，N(r,t)是連續(xù)，可微的。記am為人 的上限，N(t)為t時的總?cè)丝跀?shù)，設(shè)P(r,t)N(r,t)為人口密度，(x,t)當(dāng)rmP(x,0)P0

N(rt)N(rm,t)P(rt)N(rt)(xt)P(r,t)P(r,t)(r,t)P(r,

P(r,0)P0(r),P(0,t)fP(xtrN(r,t)0p(st)dsr函數(shù)的確0101然后用曲線擬合的方法求解出01t每年的，每個段的率有所不同，故我們不能把率只看成是一個關(guān)于段的常量來看而應(yīng)該綜合考慮時間的影響于是我們根據(jù)表格數(shù)據(jù)，將5年內(nèi)的人口率按段進(jìn)行分別劃分并求出各段在這5年內(nèi)的平均率，然后根據(jù)人口報(bào)告中的城，鎮(zhèn)，鄉(xiāng)的人口比例，可總結(jié)出人口中各段在5年內(nèi)的率，共91組數(shù)據(jù)。然后將這些數(shù)據(jù)用數(shù)學(xué)軟件擬合并求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，即可。記女性比例函數(shù)為w(r,t)，則時刻t某一段[r,rdr)的女性人數(shù)為w(r,t)p(r,t)dr而單位時間內(nèi)每位女性的數(shù)大致為1.8育齡區(qū)間為[r1r2]，f(t)=1.8r1運(yùn)用微分方程的原理與方法便可求解出嬰兒率的相應(yīng)函數(shù)模型求人口發(fā)展方程和嬰兒出生數(shù)f(t)，的 率函數(shù)(r, 比函數(shù)w(r,t)和初始密度函數(shù)P0(r)可以通過數(shù)值，6P(rt)P(rt)

r (x,tr

0t f(r

(x,t [4]人口指 來簡明扼要地表示我們國家或地區(qū)的人口特征m1人口總數(shù)m 平均

N(t)

平均

R(t)1mr*p(r,t)drN(t)0rS(t)r

(x,t 化指數(shù)

r(t)(t)

越大 依賴性指數(shù)(t)N(t)代表平均每個勞動者所要供養(yǎng)的人數(shù)

（L(t模型擴(kuò)展——人口增長與經(jīng)濟(jì)關(guān)聯(lián)模個較高的水平之前，形成一個15歲至64歲的勞動力資源比較豐富，少兒與老人國家 3050年，但的人口結(jié)構(gòu)決定中國將在未來幾十年內(nèi)會出現(xiàn)一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)即我國在未11，01477，0，014%圖 人口撫養(yǎng)比例預(yù)錄2020（相應(yīng)的，人口撫養(yǎng)比也達(dá)到了第一個上升的極限。2021口比例一直小于60﹪，而人口撫養(yǎng)比例超出60﹪時，中國一個新的時改善人口結(jié)構(gòu)合理人口分布開發(fā)人力資源不乘未來近15年的“期”題，而又“不至于”導(dǎo)致率急劇上升。是現(xiàn)行的一個很實(shí)際，很有效的措施六．參考文 ，數(shù)值分析，湖南，中南大 ，2003年，第37頁 率(鎮(zhèn) /TJ_Pczl/rkpc/wenjian/t3712.L0601B.htm，20079Leslie人口模型 /doc/926986，2007年9月22日謝金星，數(shù)學(xué)模型（第三版，高等教育，2003年164頁。期 923七.附附錄1：對市未來50年的人口預(yù)測值的代 745.28b=[0.2350.370.56 1.47 0.68333 0.376670.330.29forify<16|a(1，y)=0

fori=2:1:91forif

a(i，j)=0q=[0.410.30.350.380.420.390.440.450.460.460.510.50.540.560.690.780.760.750.630.60.670.830.750.710.820.830.770.880.880.970.991.061.061.151.090.820.940.971.081.260.90.570.740.670.840.90.830.860.90.790.760.630.660.520.520.490.430.440.410.420.40.420.380.410.360.380.350.340.260.220.240.180.170.150.150.120.130.10.080.070.060.050.050.030.02for forv=1:1:50forl=1:1:50for附錄2：對鎮(zhèn)未來50年的人口預(yù)測值的代999 bb=[0.240.81333 4.45 forifyy<16|yy>50

forii=2:1:91forif

qq=[0.460.390.420.460.490.510.550.550.570.610.630.690.650.710.930.920.90.740.530.50.520.630.620.680.740.790.790.870.880.980.961.071.0741.081.051.061.230.920.440.580.520.720.810.740.730.780.710.690.530.580.470.470.430.390.420.360.330.320.340.30.340.290.280.30.230.120.130.130.110.080.080.050.060.050.030.02for forvv=1:1:100forll=1:1:100for附錄3：對鄉(xiāng)未來50年的人口預(yù)測值的代999 bbb=[ 5.37 1.030.53forifyyy<16|

foriii=2:1:91forif

qqq=[0.51 0.440.490.510.510.570.60.650.690.720.780.850.931.181.090.970.780.610.620.590.690.630.640.640.630.570.670.680.80.780.850.90.961.060.860.970.910.921.020.790.440.520.480.640.720.730.720.750.670.590.580.550.490.480.430.40.40.360.340.350.320.280.320.30.30.280.280.250.240.240.190.20.160.140.140.140.110.10.090.070.050.050.040.02for forvvv=1:1:100forlll=1:1:100for附錄4：對未來50年各年的總?cè)丝跀?shù)預(yù)測的代forhold 1.0228e+0091.0325e+0091.0425e+0091.0643e+0091.0762e+0091.0885e+0091.1007e+0091.1126e+0091.1347e+0091.1445e+0091.1534e+0091.1614e+0091.1683e+0091.1794e+0091.1833e+0091.1865e+0091.1892e+0091.1917e+0091.1975e+0091.2011e+009 1.2092e+0091.2139e+0091.2246e+0091.2306e+0091.2371e+0091.2437e+0091.2505e+0091.2637e+0091.2699e+0091.2754e+0091.2806e+009 1.2923e+0091.2951e+0091.2975e+0091.2999e+0091.3019e+009 附錄5：對未來50年各年每個段的人口數(shù)預(yù)測的源代forfor附錄6：對未來50年中每年1564歲總的人口數(shù)預(yù)測的代forfor fori=1:1:50asdff＝asdf(i)/as(i);lims=[1 hold 1.0006e+0091.0092e+0091.0161e+0091.0208e+009 1.0272e+0091.0266e+0091.0223e+0091.0181e+0091.0036e+0099.9365e+0089.8392e+008 9.8011e+0089.7634e+0089.8001e+008 9.8841e+0089.7699e+008 9.6947e+008 9.5926e+0089.4351e+0089.3616e+0089.2876e+0089.2243e+0089.1513e+0089.0443e+0089.0154e+0088.9787e+0088.9495e+0088.9364e+0088.9198e+0088.9435e+0088.9755e+0089.0134e+0089.0196e+0088.9778e+008forfor forfor holdonholdon附錄8：育齡婦女（15—49歲）50forforj=16:1:50women1(i)=holdlims=[1 附錄9：育旺盛期育齡婦女（20—29歲）50forforj=21:1:30women2(i)=hold附錄10：人口撫養(yǎng)比曲線的源代 1.0006e+0091.0092e+0091.0161e+0091.0208e+0091.0248e+009 1.0272e+0091.0266e+0091.0223e+0091.0181e+0091.0036e+0099.9365e+0089.8392e+008 9.8011e+0089.7634e+0089.8001e+008 9.8841e+0089.7699e+008 9.6947e+008 9.5926e+0089.4351e+0089.3616e+0089.2876e+0089.2243e+0089.1513e+0089.0443e+0089.0154e+0088.9787e+0088.9495e+0088.9364e+0088.9198e+0088.9435e+0088.9755e+0089.0134e+0089.0196e+0088.9778e+008 1.3641e+0091.3754e+0091.3864e+0091.3975e+0091.409e+0091.4212e+0091.4338e+0091.4467e+0091.4594e+0091.4715e+0091.4935e+009 1.5112e+0091.5184e+0091.5242e+0091.5324e+0091.5346e+0091.5358e+0091.5363e+0091.5366e+0091.5375e+0091.5385e+0091.5396e+0091.5411e+0091.5429e+0091.5474e+0091.5502e+0091.5532e+0091.5562e+0091.5593e+0091.5643e+0091.5663e+0091.5673e+0091.5678e+0091.5674