高二數(shù)學(xué)25等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和〔一〕1．記住等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，能夠利用公式求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．掌握前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法．

課前自主學(xué)習(xí)1．在等比數(shù)列{an}中，假設(shè)公比q＝1，，那么其前n項(xiàng)和Sn＝________.答案：na12．在等比數(shù)列{an}中，假設(shè)公比q≠1，那么其前n項(xiàng)和Sn＝________＝________.自學(xué)導(dǎo)引1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)有哪些關(guān)系？自主探究當(dāng)公比q＝1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為0的一次函數(shù))．(2)當(dāng)q≠1時(shí)，數(shù)列S1，S2，S3，…，Sn，…的圖象是函數(shù)y＝－Aqx＋A圖象上的一群孤立的點(diǎn)．當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列S1，S2，S3，…，Sn，…的圖象是正比例函數(shù)y＝a1x圖象上的一群孤立的點(diǎn)．2．?dāng)?shù)列a，a2，a3，…，an，…一定是等比數(shù)列嗎？答案：不一定，例如當(dāng)a＝0時(shí)，數(shù)列就不是等比數(shù)列．1．等比數(shù)列1，a，a2，a3，…的前n項(xiàng)和為(

)預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)解析：要考慮到公比為1的情況，此時(shí)Sn＝n.答案：D2．?dāng)?shù)列{2n－1}的前99項(xiàng)和為 (

)A．2100－1 B．1－2100C．299－1 D．1－2992．?dāng)?shù)列{2n－1}的前99項(xiàng)和為 (

)A．2100－1 B．1－2100C．299－1 D．1－299答案：C3．假設(shè)等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)的和為13，首項(xiàng)為1，那么其公比為_(kāi)_________．答案：3或－4答案：1

課堂講練互動(dòng)1．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)設(shè)等比數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…它的前n項(xiàng)和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可將Sn寫(xiě)成Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ①①式兩邊同乘以q得，qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn. ②①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，由此得q≠1時(shí)，要點(diǎn)闡釋當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1.以上的推導(dǎo)方法叫做“錯(cuò)位相減法〞．這是中學(xué)數(shù)學(xué)里比較重要的一種求和方法，要多用心體會(huì)．特別提示：(1)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及通項(xiàng)公式涉及五個(gè)量：a1，q，n，an，Sn，只要知道其中任意三個(gè)量，都可以通過(guò)建立方程(組)等手段求出其余兩個(gè)量，俗稱(chēng)“知三求二〞．(2)在應(yīng)用公式求和時(shí)，應(yīng)注意到公式的使用條件為q≠1，當(dāng)q＝1時(shí)應(yīng)按常數(shù)列求和，即Sn＝na1.在解含字母參數(shù)的等比數(shù)列求和問(wèn)題時(shí)，應(yīng)分別討論q≠1與q＝1兩種情況．2．等比數(shù)列的判定方法(1)an＋1＝anq(an≠0，q是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列．(2)an＝cqn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列．(3)an＋12＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列．題型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的根本運(yùn)算典例剖析【例1】在等比數(shù)列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.方法點(diǎn)評(píng)：(1)這是一類(lèi)根底題，要熟練應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，運(yùn)用方程的思想，解決兩個(gè)最根本的量：首項(xiàng)a1和公比q.在等比數(shù)列的求和問(wèn)題中，經(jīng)常使用整體代換的思想．(2)在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意討論公比q＝1和q≠1兩種情況．1．假設(shè)本例(1)中的條件不變，如何求{an}的通項(xiàng)公式？題型二錯(cuò)位相減法求和2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．(2)當(dāng)x≠1時(shí)，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1題型三判斷等比數(shù)列【例3】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝a2n－1(a≠0，±1；n∈N*)，試判斷{an}是否為等比數(shù)列，為什么？解：{an}是等比數(shù)列，理由如下：a1＝S1＝a2－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(a2n－1)－(a2n－2－1)＝(a2－1)a2n－2，此時(shí)，n＝1時(shí)，a1＝a2－1.∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(a2－1)a2n－2(n∈N*)．即數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a2－1，公比為a2的等比數(shù)列．方法點(diǎn)評(píng)：將條件Sn＝a2n－1與an＝Sn－Sn－1結(jié)合起來(lái)，得到n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式an＝(a2－1)a2n－2，特別注意的是，n＝1時(shí)即a1＝a2－1能否統(tǒng)一到an＝(a2－1)·a2n－2中去，如果能統(tǒng)一起來(lái)，那么數(shù)列{an}為等比數(shù)列，否那么數(shù)列{an}不是等比數(shù)列．(1)求a1，a2；(2)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．誤區(qū)解密漏掉q＝1而導(dǎo)致錯(cuò)誤【例4】在數(shù)列{an}中，an＝a2n－an(a≠0)求{an}的前n項(xiàng)和Sn.錯(cuò)因分析：等比數(shù)列求和，一定要注意公比是否等于1，否那么將導(dǎo)致錯(cuò)誤．課堂總結(jié)2．在等比數(shù)列中的五個(gè)量Sn，n，a1，q，an中，由前n項(xiàng)和公式結(jié)合通項(xiàng)公式，知道三個(gè)量便可求其余的兩個(gè)量，同時(shí)還可以利用前n項(xiàng)和公式解與之有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．3．錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的重要方法，必須理解數(shù)列特征及掌握求和方法．

2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和〔二〕理解等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，并能用它解決等比數(shù)列的求和問(wèn)題．掌握數(shù)列求和的重要方法——分組法與并項(xiàng)法．課前自主學(xué)習(xí)1．假設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列(公比q≠－1)，Sn為前n項(xiàng)和，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍構(gòu)成________數(shù)列．答案：等比2．假設(shè)某數(shù)列前n項(xiàng)和公式為Sn＝an－1(a≠0，a≠±1，n∈N*)，那么{an}成________．答案：等比數(shù)列自學(xué)導(dǎo)引3．假設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，那么①Sn＋m＝Sn＋qnSm.答案：q實(shí)際應(yīng)用題是高考中的重要內(nèi)容，那么關(guān)于解等比數(shù)列的應(yīng)用題的根本步驟是什么呢？答案：解答等比數(shù)列應(yīng)用題的根本步驟：(1)閱讀理解材料，且對(duì)材料作適當(dāng)處理；(2)建立等比數(shù)列模型；(3)解數(shù)列模型．(4)回到實(shí)際問(wèn)題．自主探究1．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)S10＝10，S20＝30，那么S30＝ ()A．70 B．90C．100 D．120解析：由于S10，S20－S10，S30－S20成等比數(shù)列．∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，又∵S10＝10，S20＝30，∴可得S30＝70.答案：A預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)A．4 B．5 C．6 D．7答案：B3．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n－1，那么此數(shù)列為 ()A．等差數(shù)列 B．等比數(shù)列C．常數(shù)數(shù)列 D．遞減數(shù)列解析：a1＝S1＝31－1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－3n－1＋1＝2·3n－1.所以對(duì)任意的正整數(shù)n，an＝2×3n－1成立，因此數(shù)列為等比數(shù)列．答案：B4．假設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝5n＋m，那么m＝ ()A．－1 B．1C．－5D．5解析：a1＝5＋m，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝5n－5n－1＝4·5n－1所以5＋m＝4，m＝－1.答案：A課堂講練互動(dòng)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)(1)假設(shè)某數(shù)列前n項(xiàng)和公式為Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，那么數(shù)列{an}成等比數(shù)列．(2)假設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，那么①Sn＋m＝Sn＋qn·Sm；要點(diǎn)闡釋③當(dāng)q≠－1時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)解題，可以簡(jiǎn)化計(jì)算量，提高解題速度．題型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)【例1】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為54，前2n項(xiàng)的和為60，那么前3n項(xiàng)的和為 ()典例剖析答案：D方法點(diǎn)評(píng)：以上解法是根據(jù)“假設(shè){an}是等比數(shù)列且q≠－1，那么“Sn，S2n－Sn，S3n－S2n〞成等比數(shù)列進(jìn)行的，此題還可以列方程組，求出根本量a1，q，再求S3n，顯然這種解法不如運(yùn)用性質(zhì)解好．1．一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)．題型二等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例2】某地現(xiàn)有居民住房的總面積為am2，其中需要撤除的舊住房面積占了一半，當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門(mén)決定在每年撤除一定數(shù)量舊住房的情況下，仍以10%的住房增長(zhǎng)率建新住房．(1)如果10年后該地的住房總面積正好比目前翻一番，那么每年應(yīng)撤除的舊住房總面積x是多少？(可取10≈2.6)(2)過(guò)10年還未撤除的舊住房總面積占當(dāng)時(shí)住房總面積的百分比是多少？(保存到小數(shù)點(diǎn)后第1位)解：(1)根據(jù)題意，可知1年后住房總面積為：a－x；2年后住房總面積為：a－x)－x＝2a－x－x；3年后住房總面積為：2a－x－x)－x＝3a－2x－x－x；……10年后住房總面積為：方法點(diǎn)評(píng)：此題主要考查閱讀能力、分析能力，解題思維障礙主要是對(duì)“10%的住房增長(zhǎng)率〞搞不清楚，要知道，它實(shí)際上是上一年住房的增長(zhǎng)率．2．某林場(chǎng)原有木材量為a，木材每年以25%的增長(zhǎng)率生長(zhǎng)，而每年冬天要砍伐的木材量為x，為了實(shí)現(xiàn)經(jīng)過(guò)20年到達(dá)木材總存量翻兩番，求每年砍伐量的最大值(1g2＝0.3)．誤區(qū)解密考慮不全面，導(dǎo)致錯(cuò)誤【例3】設(shè)等比數(shù)