2022-2023學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期專項(xiàng)講練1.1 菱形的性質(zhì)與判定（知識(shí)講解）

專題1.1菱形的性質(zhì)與判定（知識(shí)講解）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解菱形的概念；

2.掌握菱形的性質(zhì)定理與判定定理；

3.掌握求菱形的兩種方法，利用等面積法求線段；利用菱形的對(duì)稱稱求最值；

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

特別說明：：菱形的定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)

平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件.，菱形的定義也是判定菱形的方法。

要點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)

1.從邊出發(fā)：菱形的四條邊都相等；

2.從對(duì)角線出發(fā)：菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

3.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱

中心.

特別說明：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，過中心的任意直線可將菱

形分成完全全等的兩部分.利用菱形是軸對(duì)稱圖形求幾何最值問題。

（2）菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底X高；

另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角

線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.

（3）菱形可以用來(lái)證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問題.

要點(diǎn)三、菱形的判定

菱形的判定方法有三種：

1.從邊出發(fā)：（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

（2）四條邊相等的四邊形是菱形.

2.從對(duì)角線出發(fā)：（3）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

特別說明；：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來(lái)判定菱形，后一種

方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.

【典型例題】

類型一、利用菱形的性質(zhì)求角

1.如圖，8。是菱形ABCD的對(duì)角線，NC8￡>=75。，（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作AB

的垂直平分線EF,垂足為E,交AD于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）條件下，連接防，求"3尸的度數(shù).

【答案】（1）見分析；（2）45。

【分析】

（1）分別以“、8為圓心，大于gA8長(zhǎng)為半徑畫弧，過兩弧的交點(diǎn)作直線即可;

（2）根據(jù)。"=口48。-口/8尸計(jì)算即可；

解：（1）如圖所示，直線EF即為所求；

ABD=DBC=gABC=15°,DCAB,A=C,

2

□□48C=150。,U^C+aC=180°,

□□C=1力=30。.

E尸垂直平分線段48,

\JAF=FB,

□[/=口尸8力=30。，

□[DBF=：ABD-UFBE=450.

【點(diǎn)撥】本題考查了線段的垂直平分線作法和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

【變式1】如圖，在菱形43。中，AB=4,ZBAD=\20°,。是對(duì)角線3。

的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作OE_LC￡>于點(diǎn)E,連結(jié)。4.則四邊形AOED的周長(zhǎng)為（）

A.9+2百B.9+6C.7+26D.8

【答案】B

【分析1由已知及菱形的性質(zhì)求得ABD=CDB=30。，AOBD,利用含30。的宜角三

角形邊的關(guān)系分別求得AO、DO、OE、DE,進(jìn)而求得四邊形AOED的周長(zhǎng).

解：四邊形ABCD是菱形，。是對(duì)角線的中點(diǎn)，

□AOBD,AD=AB=4,ABLDC

nnBAD=120°,

□CABD=：ADB=LCDB=30°,

□OEODC,

U在RtAAOD中，AD=4,AO=1AD=2,DO=_AO2=273-

在RtADEO中，OE=；OO=g,DE=yloD2-OE2=3-

四邊形的周長(zhǎng)為AO+OE+DE+AD=2+G+3+4=9+G,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)、含30。的直角三角形、勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)

及含30。的直角三角形邊的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，在菱形中，48的垂直平分線交對(duì)角線8。于點(diǎn)尸，垂足為點(diǎn)E,

連接ZRAC,若□L>C8=70。，則ELE4C=.

【答案】20。

【分析】由菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出8/1C和FAB

的度數(shù)，即可解決問題.

解：七廠是線段48的垂直平分線，

[1AF—BF,

QQFAB^aFBA,

口四邊形45。是菱形，DCB=10°,

BC=AB,BCA=；DCB=35°,ACBD,

□□41C=8c4=35。，

□□F8/=90。-匚8/C=55。，

□□"8=55。，

FAC=FAB-BAC=55°-35°=20°,

故答案為：20°.

【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和等腰三角形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

類型二、利用菱形的性質(zhì)求線段

?>2.如圖，菱形A8C。中，作B￡_LA￡>、CFLAB,分別交A。、AB的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)尸.

(1)求證：AE=BF；

(2)若點(diǎn)E恰好是A3的中點(diǎn)，AB=2,求的值.

【答案】(1)見分析：(2)BD=2.

【分析】

(1)由“AAS”可證MEBgABFC,可得AE=BF；

(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)可得3D=AB=2.

解：(1)四邊形A8CO是菱形,

AB=BC,AD//BC,

ZA=ZCBF,

BEYAD.CF-LAB,

ZAEB=NBFC=900,

□AA￡B^ABFC（A4S）,

AE=BF；

(2)上是AD中點(diǎn)，且BELAD,

直線BE為AD的垂直平分線，

BD=AB=2.

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì),

熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

\r

【變式1】如圖，在菱形ABC。中，ZABC-600,連接AC、BD,則——的值為()

BD

【答案】D

【分析】設(shè)4c與BD的交點(diǎn)為0,由題意易得NAB￡>=NCB0=gNABC,A2=BC,

ACrBD,BO=DO,AO=CO,進(jìn)而可得/BC是等邊三角形，BO=&AO,然后問題可求

解.

解：設(shè)/C與8。的交點(diǎn)為0,如圖所示：

AD

O

B

四邊形ABC。是菱形,

ZABD=ZCBD=-ZABC,AB=BC,AC1.BD,BO=DO,AO=CO,

2

ZABC=60。,

□□NBC是等邊三角形，

ZABO=30°,AB=AC,

AO=-AB,

2

OB=>JAB2-AO2=6OA，

BD=2^OA,AC=2AO,

AC2OA8

BD2拒OA3

故選D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查菱形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練學(xué)

握菱形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，菱形488,以點(diǎn)8為圓心，8D長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)氏分別

以點(diǎn)。，E為圓心，大于;QE長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)凡射線8廠交邊于點(diǎn)G,連

接CG,若「8CG=30。，/G=3,則的長(zhǎng)為.

BC

【答案】巫

2

［分析］由作法得「AGB=90°,利用菱形的性質(zhì)得到ADBC,AB=BC,所以「G8C=90。，

在Rt^BCG中，設(shè)8G=x,則BC=&,所以ABfx,在R2BG中利用勾股定理得到^+32=

（V3.r）2,然后解方程求出x,從而得到48的長(zhǎng).

解：由作法得8GAD,

□L：XGB=90°,

四邊形/8C。為菱形，

ADBC,AB=BC,

□匚G8C=90。，

在mABCG中,設(shè)3G=JG

□□BCG=30°,

BC=y/3x,

AB=43X,

在用zUBG中，x-+32=(6x)2,解得x尸逑，X2=--(舍去)，

22

/8=@述=述.

22

故答案為：巫.

2

【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖(作一條線段等于已知線

段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知

直線的垂線).也考查了菱形的性質(zhì).

類型三、利用菱形的性質(zhì)求面積

?，3.如圖，在ABCD中，BC=2AB=4,點(diǎn)E,F分別是BC,AD的中點(diǎn).

⑴求證：□ABEQCCDF；

(2)當(dāng)四邊形AECF為菱形時(shí)，求出該菱形的面積.

【答案】(1)見試題解析；(2)2后

【分析】

(1)由oABCD可得AB=CD,BC=AD,ABC=：CDA,再結(jié)合點(diǎn)E、F分別是BC、

AD的中點(diǎn)即可證得結(jié)論；

(2)當(dāng)四邊形AECF為菱形時(shí)，可得ABE為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即

可求得結(jié)果.

解：□在uABCD中，AB=CD,

[BC=AD,[ABC=LCDA.

又BE=EC=；BC,AF=DF=3AD,

[BE=DF.

□□ABEQDCDF.

(2)當(dāng)四邊形AECF為菱形時(shí)，匚ABE為等邊三角形，

四邊形ABCD的高為6,

菱形AECF的面積為2G.

【點(diǎn)撥】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平

行四邊形的對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等；菱形的四條邊相等.

【變式1】已知菱形的周長(zhǎng)為8,兩鄰角的度數(shù)比為1：2,則菱形的面積為()

A.86B.8C.4百D.273

【答案】D

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)和菱形面積公式即可求出結(jié)果.

解：如圖，！兩鄰角度數(shù)之比為1：2,兩鄰角和為180。，

1ZU8C=60°,84。=120°,

口菱形的周長(zhǎng)為8,

口邊長(zhǎng)AB=2,

菱形的對(duì)角線/C=2,SD=2x2sin60°=2^,

菱形的面積=3"喈。=92'26=26.

【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì).

【變式2】如圖，在菱形45co中，E,尸分別是AD,0c的中點(diǎn)，若80=5,EF=4,

則菱形ABCD的面積為.

【答案】20

【分析】連接ZC,利用中位線的性質(zhì)，得4C=2E28,再利用菱形對(duì)角線乘積的一半

求面積即可.

解：連接4c

E,F分別是A。，DC的中點(diǎn)

E/是?的中位線

又EF=4

DJC=8

S差影ABCD=；x8OxNC=；><5x8=20

故答案為：20.

【點(diǎn)撥】本題考查了中位線的性質(zhì)以及菱形的面積求法，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)作出輔助

線是解決問題的關(guān)鍵.

類型四、利用菱形的性質(zhì)證明

.如圖，在菱形ABCD中，E,尸是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF.

（1）求證：AABEa?CDFt（2）證明四邊形BEDF是菱形.

【分析】

（1）利用S4S證明即可；（2）從對(duì)角線的角度加以證明即可.

解：（1）四邊形A8C。為菱形，

AB=CD,^.ZBAE^ZDCF.

又二AE=CF,

ZVLBEKDF.

(2)

證明：連接3。交AC于點(diǎn)。，

四邊形A8CO為菱形，

AC1BD,且。為AC,8。中點(diǎn)，

又［AE=CF,

EO=FO

8。與EF互相垂直且平分，

故四邊形BEDF是菱形.

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，三角形的全等判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全

等判定的基本原理,菱形判定基本方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1】如圖，四邊形A5CO是菱形，點(diǎn)E,尸分別在8C,DC邊上，添加以下條件不

能判定AABEgAAZ）「的是（）

A.BE=DFB.ZBAE^ZDAFC.AE=ADD.ZAEB=ZAFD

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形全等判定定理"S可判定Z,三角形全等判定定理/SZ可判定8,

三角形全等判定定理可判定C,三角形全等判定定理/ZS可判定D即可.

解：四邊形ABCD是菱形，

AB=AD,B=僅

A.添加3石=。廠可以，

在A/1BE和△力。尸中，

AB=AD

</B=/D,

BE=DF

^ABE^ADF(SAS),

故選項(xiàng)/可以；

8.添加Nfi4￡=NZMF可以，

在△48E和尸中

ZBAE=ZDAF

<AB=AD,

NB=ND

^ABE^ADF(ASA)；

故選項(xiàng)8可以；

C.添加他=AD不可以，條件是邊邊角故不能判定；

故選項(xiàng)C不可以；

D.添加NA￡B=NAFD可以，

在A/BE和△/￡)尸中

ZBEA=ZDFA

<NB=ND,

AB^AD

?ABE^ADF(SAS).

故選項(xiàng)?？梢裕?/p>

故選擇C.

【點(diǎn)撥】本題考查添加條件判定三角形全等，菱形性質(zhì)，掌握三角形全等判定定理，菱

形性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式2】如圖，四邊形力88為菱形，/ABC=70。，延長(zhǎng)BC到E,在NOCE內(nèi)作射

線CM,使得/￡。/=15。，過點(diǎn)。作OF_LCM,垂足為F.若DF=娓,則對(duì)角線8。的

【答案】2娓

【分析】連接/C交8。于，，證明A。。“ADCF,得出。〃的長(zhǎng)度，再根據(jù)菱形的性

質(zhì)得出8。的長(zhǎng)度.

又匚MCE=\50,

DCF=550,

LDFCM,

CDF=35。，

又四邊形是菱形,

口8。平分口/QC,

□L7/￡>C=35°,

在ACOH和ACO/中，

'NCHD=NCFD

<NHDC=NFDC

DC=DC

ACDHACPF(AAS),

DF=DH=A,

DB=2瓜，

故答案為2斯.

【點(diǎn)撥】本題主要考查菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定，菱形的對(duì)角線互相平分是此題

的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，得出/〃)C=/DC是這個(gè)題最關(guān)鍵的一點(diǎn).

類型五、添加一個(gè)條件證明四邊形是菱形

?，5.如圖，/C是口/8。。的一條對(duì)角線，過/C中點(diǎn)。的直線分別交8c于點(diǎn)

E,F.

(1)求證：□/OE"CO尸；

(2)當(dāng)E尸與/C滿足什么條件時(shí)，四邊形/尸CE是菱形？并說明理由.

【答案】(1)證明見分析；(2)EFQ4C時(shí)，四邊形/尸CE是菱形，理由見分析.

【分析】

(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出45OBC,得出匚尸CO,利用對(duì)頂角相等

AOE=COF,。是/C的中點(diǎn)，。/=。。，所以由4S4即可得出結(jié)論；

(2)此題應(yīng)用菱形的判定，先說明四邊形/尸CE已經(jīng)是平行四邊形，再應(yīng)用對(duì)角線互

相垂直的平行四邊形是菱形即可.由口力社口匚COF,得出對(duì)應(yīng)邊相等/E=CF,證出四邊形

/FCE是平行四邊形，再由對(duì)角線或吧/C,即可得出四邊形/FCE是菱形.

解：(1)口四邊形是平行四邊形，

JADUBC,

33EAO=UFCO,

□O是。)的中點(diǎn)，

OA=OC,

又AOE=COF(對(duì)頂角相等)，

□□JOfOQCOF(ASA)；

(2)QDAOEJJCOF,

AE=CF,

AECF,

四邊形NFCE是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)，

當(dāng)EF/C時(shí)四邊形NFCE是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形)，

聲/C時(shí)，四邊形/"E是菱形.

【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定.

【變式1】如圖，要判定QABCO是菱形，需要添加的條件是()

D

--------VC

A.AB=ACB.BC=BDC.AC=BDD.AB=BC

【答案】D

【分析】

根據(jù)菱形的判定方法即可解決問題.

解：根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可知選項(xiàng)D正確，

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本

知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

【變式2】如圖，在A/BC中，/ODBC于點(diǎn)。，點(diǎn)E,尸分別是N48./C邊的中點(diǎn)，

請(qǐng)你在A/BC中添加一個(gè)條件：使得四邊形4EDF是菱形.

【答案】AB=AC（或匚B=DC,sgBD=DC）

【分析】可根據(jù)三角形的中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定，分析得出當(dāng)

/8C滿足條件或；8=CE1寸，四邊形/EDE是菱形.

解：要使四邊形力ED尸是菱形，則應(yīng)有。房“力房/尸，

□￡,尸分別為4G8c的中點(diǎn)

DAE=BE,AF=FC,

應(yīng)有DE=BE,DF=CF,則應(yīng)有BDECDF,應(yīng)有BD=CD，

「當(dāng)點(diǎn)。應(yīng)是8c的中點(diǎn)，而45BC,

□「S8C應(yīng)是等腰三角形，

匚應(yīng)添加條件：或口8=0C.

則當(dāng)4BC滿足條件N8=NC或8=口（7時(shí)，四邊形4ED尸是菱形.

故答案為：AB=AC（或：B=C,或8Z>ZX?）.

【點(diǎn)撥】

本題考查了菱形的判定，解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢(shì)的障礙，運(yùn)用發(fā)散思維,

多方思考，探究問題在不同條件下的不同結(jié)論，挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系，向''縱、橫、深、廣”

拓展，從而尋找出添加的條件和所得的結(jié)論.

類型六、證明已知四邊形是菱形

?^6.如圖，在QABCD中，G為8C邊上一點(diǎn)，DG=DC,延長(zhǎng)。G交的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E,過點(diǎn)Z作AF〃”交C。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：四邊形尸是菱形.

【分析】先證四邊形/切廠是平行四邊形，再證44D=ZAZ)E，則AE=OE，即可得

出結(jié)論.

解：,??四邊形/8CD是平行四邊形，

：.ZBAD=ZC,ADUBC,ABHCD,

AF//ED,

二四邊形/EDf是平行四邊形，

AD//EC,

:.ZDGC=ZADE,

?;DG=DC,

4DGC=/C,

ZBAD^ZADE,

/.AE=DE,

，平行四邊形ZE。尸是菱形.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，菱形的判定定理，熟練掌握以上

幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1】如圖，在AABC中，BRCE分別是邊AC,A3上的中線，3OLCE于點(diǎn)0,

點(diǎn)M,N分別是OB,OC的中點(diǎn)，若OB=8,0C=6,則四邊形DEMN的周長(zhǎng)是()

D

A.14B.20C.22D.28

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件證明四邊形MNDE為菱形，結(jié)合OB和OC的長(zhǎng)求出MN,OM,

OE,計(jì)算出EM,可得結(jié)果.

解：匚BD和CE分別是:]ABC的中線，

□DE=yBC,DEIBC,

門M和N分別是OB和OC的中點(diǎn)，OB=8,OC=6,

MN=；BC,MNBC,OM=；OB=4,ON=yOC=3,

□四邊形MNDE為平行四邊形，

□BDJCE,

平行四邊形MNDE為菱形，

□OE=ON=3

BC=7C>52+OC2=10-

口DE=MN=EM=DN=5,

四邊形MNDE的周長(zhǎng)為20,

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的判定，中位線定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判

定.

【變式2】如圖，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形為線段NC上兩動(dòng)點(diǎn)，且口Q8E=30。,

過點(diǎn)。，E分別作8c的平行線相交于點(diǎn)尸，分別交BC,AB于點(diǎn)、H,G.現(xiàn)有以下結(jié)

論：口5口/8。=立；□當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，F(xiàn)H二;UAE+CD=^DE；□當(dāng)4E=CD時(shí)，

四邊形8"尸G為菱形.則其中正確的結(jié)論的序號(hào)是.

E

，F(xiàn)

BHC

【答案】□□□

【分析】過/作4/8C垂足為/,然后計(jì)算IZ3C的面積即可判定口；先畫出圖形，然

后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可判定；如圖將58繞5點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60°得至ijABN,求證NE=OE；再延長(zhǎng)胡至ij尸使/尸=CZ>/N,證得P=60°,NP=AP=CD,

然后討論即可判定：如圖1,當(dāng)/E=CO時(shí)，根據(jù)題意求得C，=C￡>、ZG=C”，再證明四邊

形為平行四邊形，最后再說明是否為菱形.

解：如圖1,過工作Z/1BC垂足為/,

是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，

BAC=ABC=C=60°,Cl=-BC=~,

22

A1^4AC2-Cl2=

S^ABC=-Al.BC=-xlx^-=^-,故正確;

2224

Si

如圖2,當(dāng)。與C重合時(shí),

DBE=30°,AABC是等邊三角形,

□iDBE=lABE=30°,

DE=AE=-AD=-,

22

UGE//BD,

BGDE,

——=——=1,

AGAE

BG=-AB=-

22f

□GF//BD,BG//DF,

HF=BG=g,故：正確;

如圖3,將8CQ繞8點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到ABN,

□□>□2,口5=口6=60。，AN=CD,BD=BN,

□□3=30°,

□□2+口4=山+口4=30。，

□□^￡=□3=30°,

又DBD=BN,BE=BE,

\JUNBE\J\JDBE(SAS),

UNE=DE,

延長(zhǎng)EA到P使AP=CD=AN,

□[JNAP=180。-60。-60。=60。,

□ANP為等邊三角形,

口P=60°,NP=AP=CD,

如果4E+CD=^DE成立,則PE=6NE,需NEP=90。,但NEP不一定為90。,

故□不成立;

如圖1,當(dāng)/E=CD時(shí)，

UGE//BC,

□□力GE=M8C=60。，V\GEA=\C=60°,

o

nn.AGE=DAEG=60f

QAG=AEf

同理：CH=CD,

4G=CH,

口BG〃FH,GF//BH,

□四邊形BHFG是平行四邊形，

IBG=BH,

四邊形8/VG為菱形，故正確.

故答案為：□□□.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)以及

菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵.

類型七、用菱形的性質(zhì)與判定求角度

?>7.如圖，AE3BF,ZC平分口歷1E,且交8F于點(diǎn)C,8。平分口489，且交NE于

點(diǎn)。，4C與8。相交于點(diǎn)O,連接CD

(1)求口/。。的度數(shù)；

(2)求證：四邊形/8C。是菱形.

AD

E

B

【答案】(1)W)=90。；(2)證明見分析.

【分析】

(1)首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到口。力。=口84。，口力DBC,然后根據(jù)平行線的

性質(zhì)得到DAB+(784=180。，從而得到BAC+4BD=；(DAB+ABC)=1X180°=90°,

得到答案iAOD=90°；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出口ZZ^nQDBG「D4GOBC4根據(jù)角平分線定義得出

DDAC=nBACf：2ABD=JDBC,求出口"GZUCB,DABDKADB,根據(jù)等腰三角形的判定

得出根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形是平行四邊形，即可得出答案.

解：(1)DAC.8。分別是口力8。的平分線，

J\JDAC=UBACfDABD=nDBC,

□4EJBF,

DAB+LCBA=180°9

B4C+ABD=^(DAB+UABC)=^180°=90°,

AOD=90°；

(2)證：AE\BF,

[JDADB=rDBCrHDAC^BCA,

-\AC.8。分別是LA4Q、U/5C的平分線，

口口D4C=DB4C,口ABALDBC,

\J\JBAC=JACB,UABD=UADB,

口AB=BC,AB=AD

UAD=BC,

ADBC,

四邊形是平行四邊形，

QAD=AB1□四邊形力8co是菱形.

【點(diǎn)撥】菱形的判定.

【變式1】如圖，四邊形438為菱形，若CE為邊A3的垂直平分線，用NAD8的度數(shù)

為（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

【分析】連接/C,證明/8C為等邊三角形，得到ABC=W，根據(jù)菱形性質(zhì)即可求解.

解：連接/C,

四邊形A8CD為菱形，

□AB=BC,

CE為邊AB的垂直平分線,

OBC=AC,

DAB=BC=AC,

□NBC為等邊三角形，

U48c=60。，

四邊形A8CD為菱形，

ADB=-ZADC=-ZABC=30°.

22

故選：C

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)，證明

/8C為等邊三角形是解題關(guān)鍵.

【變式2】如圖，在菱形A8a＞中，NB=60。，E在CO上，將AAZ）E沿AE翻折至

AAZ7E,且AD剛好過BC的中點(diǎn)P,則印EC=

【答案】30。

【分析】由菱形的性質(zhì)得出AB=BC,□D=OB=60°,C=120°,得出匚ABC是等邊三角

形，由等邊三角形的性質(zhì)得出ADBC,由翻折變換的性質(zhì)得：N￡>'=D=60°,求出CME=

NPMD=30。,即可得出/DEC的度數(shù).

口四邊形ABCD是菱形，□6=60°,

OAB=BC,OD=DB=60°,□C=120°,

ABC是等邊三角形，

AD，剛好過BC的中點(diǎn)P,

ADBC,

CaD'PC=90°,

由翻折變換的性質(zhì)得：Z/y=D=60°,

CME=EPMD'=30°,

D'EC=180°-C-CME=30°；

故答案為：30。.

【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三

角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

類型八用菱形的性質(zhì)與判定求線段

四，8.如圖，在矩形ABCD中，。為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作直線分別與矩形的

邊A￡>,BC交于M,N兩點(diǎn)，連接CM,AN.

(1)求證：四邊形4VCM為平行四邊形；

(2)若AD=4,AB=2,且MV_LAC,求DM的長(zhǎng)

3

【答案】(1)證明見分析；(2)-

【分析】

(1)通過證明和△CON全等，可以得到AM=NC,又因?yàn)锳M〃/VC,所以可以

證明四邊形4VCM為平行四邊形；

(2)根據(jù)MNJ_AC,從而可以證明平行四邊形4VCM是菱形，得到A"=4V=NC,

再使用勾股定理計(jì)算出8N的長(zhǎng)度，從而可以得到的長(zhǎng)度.

解：(1)口四邊形N8CD是矩形

AD//BC,AM//NC

ZAMN=AMNC,ZMAC=ZACN

在和△CON中

ZMN=NMNC

■ZMAC=NACN

AO=CO

AOM^CON

AM=NC

又AM//NC

四邊形ANCM為平行四邊形.

(2)四邊形ANCM為平行四邊形

MN1AC

平行四邊形4VCM是菱形

AM=AN=NC

AD=BC=4

設(shè)8N的長(zhǎng)度為x

在RtMBN中,AB=2,AN=4-x

AB2+BN2=AN2

22+x2=（4-x）2

3

x=-

2

AN=AM=~

2

3

DM=-

2

【點(diǎn)撥】（1）本題主要考查了如何證明平行四邊形，明確一組對(duì)邊平行且相等的四邊形

是平行四邊形是解題的關(guān)鍵：（2）本題主要考查了菱形的證明以及勾股定理的應(yīng)用，知曉對(duì)

角線互相垂直的平行四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵.

【變式1】四邊形N8C。中，AB//CD,ZB=90°,AT>=CD,點(diǎn)。為NC中點(diǎn)，DO

的延長(zhǎng)線交于￡若BE=3,BC=4,則Z8的長(zhǎng)為（）

A.5B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】連接CE,根據(jù)已知條件證明四邊形A￡CE是菱形，勾股定理求得CE,根據(jù)

A3=AE+E8即可求解.

解：如圖，連接CE

?.?4)=8,點(diǎn)。為ZC中點(diǎn),

:.ZDAC=ZDCA.DOLAC

：.ZADO=ZCDO

???AB//CD

:.NCDE=NDEA

:.ZADE=ZAED

:.AD=AE

:.CD=AE

，四邊形AECE是平行四邊形

-.-AD^DC

四邊形AECE是菱形

:.CE=AE

在中，BE=3,BC=4,

CE=4BC-+BE1=5

AB=AE+EB=5+3=8

故選C

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，證明四

功形A￡CE是菱形是解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，在□/BCD中，以/為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交于尸.分別以點(diǎn)

F,5為圓心，大于;8F長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G,作射線4G交8c于點(diǎn)區(qū)若BF=

6,AB=5,則的長(zhǎng)為_.

【分析】根據(jù)作圖痕跡得出/E為?8/。的平分線，AB=AF,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和平

行線性質(zhì)可證明四邊形/8E尸是菱形，再根據(jù)勾股定理求解即可.

解：連接EF,設(shè)AE與8廠交于點(diǎn)。，

由作圖得：UBAE=UE4E,AB=AF,

L四邊形ABCD是平行四邊形，

ADJBC,即/尸BE,

FAE=BEA,

□BAE=BEA,

DAB=BE=AF,

QAEDBE,

二四邊形45砂是平行四邊形，

AB=AF,

四邊形48所是菱形，

0SO=ySF=3,OA^AE,AEBF,

在RtINOB中，月8=5,23/08=90°,

由勾股定理得：OA7AB2-BCP=5/52-32=4,

UAE=2OA=S,

故答案為：8.

【點(diǎn)撥】本題考查尺規(guī)作圖-作角平分線、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等

腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答

的關(guān)鍵.

類型九、用菱形的性質(zhì)與判定求面積

?，9.如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)H為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A8的延長(zhǎng)線

上，CE1AB,垂足為E,點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，b_LA。，垂足為尸.

(1)若/加。=60°,求證：四邊形CEHP是菱形；

(2)若CE=4,AACE的面積為16,求菱形A3CO的面積.

【答案】(1)證明見分析；(2)20.

【分析】

(1)由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和30度直角三角形性質(zhì)性質(zhì)可證

EH=CE=CF=FH=-AC,即可證明結(jié)論；

2

(2)由根據(jù)三角形面積求法可求NE,設(shè)N8=x,在RNBCE,由勾股定理列方程即可

求出菱形邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求面積.

解：四邊形A8CD是菱形，ZB4￡>=60°,

NB4c=30°,

CELAB,,

EC=-AC,

2

又［AH=CH,

EH=LAC,

2

EH=CE=、AC

2

同理可得：CF=FH=-AC,

EH=CE=CF=FH,即：四邊形CE〃尸是菱形；

(2)/\ACE=-AE.CE,