2023屆湖南省懷化市高三年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆湖南省懷化市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則中元素的個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【詳解】試題分析：集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合B表示直線上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓與直線相交于兩點(diǎn)，，則中有2個元素.故選B.【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個先決條件.集合中元素的三個特性中的互異性對解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故選：A.3．已知平面向量的夾角為，且，則（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】先求解的平方，因?yàn)?，利用平面向量相關(guān)的運(yùn)算法則求解出結(jié)果，開方后求得【詳解】因?yàn)橄蛄康膴A角為，且，所以，故選：B4．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定函數(shù)的圖象，利用“五點(diǎn)法”作圖求出函數(shù)的解析式，再代入求值作答.【詳解】觀察函數(shù)圖象得，函數(shù)的周期，則，而，即，則有，因此，即有，所以.故選：C5．若雙曲線(a>0，b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：本題已知：焦點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程為：,距離為：化簡得：，又：，得：【解析】雙曲線的幾何性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離和方程思想．6．如圖所示，在四邊形中，，，，，，則四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判斷出幾何體的結(jié)構(gòu)，根據(jù)圓錐、圓臺的知識求得正確答案.【詳解】由題意知，旋轉(zhuǎn)所成的幾何體是一個圓臺上面挖掉一個圓錐的組合體，且圓臺的上底面半徑，下底面半徑，高，母線長，圓錐的底面半徑，高，母線長，所以圓臺的側(cè)面積，圓錐的側(cè)面積，圓臺的下底面面積，所以幾何體的表面積.故選：C7．已知，設(shè)，下列說法：①，②，③，④展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為1.其中正確的個數(shù)有（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求得，根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式、賦值法、二項(xiàng)式系數(shù)和的知識求得正確答案.【詳解】，①對.，所以，②錯.令得，③對.展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，④錯.所以正確的說法有個.故選：C8．已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】令，則，∵當(dāng)時(shí)，，即，在單調(diào)遞減，∴，∴，即，∴.故選：D.二、多選題9．若直線與圓相切，則下列說法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為23 D．圓不可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)【答案】AC【分析】先求得圓心和半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式、等差等比數(shù)列、圓等知識進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，由直線與圓相切得，，∴，，∴是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，前10項(xiàng)和為；令，解得，此時(shí)圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).綜上所述，AC選項(xiàng)正確，BD選項(xiàng)錯誤.故選：AC10．已知函數(shù)在處取得極值10，則下列說法正確的是（

）A． B．C．一定有兩個極值點(diǎn) D．一定存在單調(diào)遞減區(qū)間【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合極值、極值點(diǎn)求出a，b，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，依題意，，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極小值，符合題意，則，A不正確，B正確；函數(shù)在處取得極大值，一定有兩個極值點(diǎn)，C正確；一定存在單調(diào)遞減區(qū)間，D正確.故選：BCD11．已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，則（

）A． B．C．的面積為 D．線段的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為【答案】ACD【分析】聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合弦長、垂直、三角形的面積，準(zhǔn)線等知識確定正確答案.【詳解】聯(lián)立得，，設(shè)，則，，∴，.,A選項(xiàng)正確.，∴不成立，B選項(xiàng)錯誤；到直線的距離為，的面積，C選項(xiàng)正確；∵，準(zhǔn)線方程為∴，線段AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，D選項(xiàng)正確.故選：ACD12．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下列判斷中正確的是（

）A．平面B．三棱錐的體積不變C．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為D．異面直線與所成的角的范圍是【答案】ABD【分析】通過證明平面平面，即可得出A項(xiàng)；根據(jù)平面，可推出，求出即可得出B項(xiàng)；由已知可得交線即以C為頂點(diǎn)，1為半徑的圓與側(cè)面的交線，取、中點(diǎn)為、，求出扇形的弧長即可得出結(jié)果，判斷C項(xiàng)；由，可知異面直線與所成的角即等于直線與所成的角或其補(bǔ)角.根據(jù)圖象，即可得出點(diǎn)P為中點(diǎn)以及線段端點(diǎn)時(shí)，角最大或最小，即可求出結(jié)果.【詳解】對于A項(xiàng)，如圖，連結(jié).根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.同理可得，平面.因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面平?又平面，所以平面，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，由A知平面，所以點(diǎn)到平面的距離即等于點(diǎn)到平面的距離，所以.由正方體的性質(zhì)可得，平面，所以，又，所以是個定值，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，由已知可得，點(diǎn)到側(cè)面的距離等于.設(shè)球被側(cè)面截得圓的半徑為，球的半徑，則.所以以D為頂點(diǎn)，為半徑的球面與側(cè)面的交線即以C為頂點(diǎn)，1為半徑的圓與側(cè)面的交線，分別取、中點(diǎn)為、，則有，所以交線即所對的圓弧的長，，所以，故C項(xiàng)不正確；對于D項(xiàng)，如圖，由已知可得，所以.又，所以異面直線與所成的角即等于直線與所成的角或其補(bǔ)角.顯然當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)最大；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)最小.所以異面直線與所成的角的范圍是，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題13．已知“”是______的充分不必要條件.（請?jiān)跈M線處填上滿足要求的一個不等式.答案不唯一）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可求解.【詳解】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，例如：由，一定有；而不一定有.故答案為：（答案不唯一）.14．已知直線是圓的一條對稱軸，則的最小值為______.【答案】4【分析】根據(jù)直線過圓心求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得正確答案.【詳解】圓的圓心為，由題意知直線過圓心，得，即，由于，，所以，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故答案為：15．某病毒會造成“持續(xù)的人傳人”，即存在甲傳乙，乙又傳丙，丙又傳丁的傳染現(xiàn)象，那么甲，乙，丙就被稱為第一代、第二代、第三代傳播者.假設(shè)一個身體健康的人被第一代、第二代、第三代傳播者感染的概率分別為0.9，0.8，0.5.已知健康的小明參加了一次多人宴會，參加宴會的人中有5名第一代傳播者，3名第二代傳播者，2名第三代傳播者，若小明參加宴會僅和感染的10個人中的一個有所接觸，則被感染的概率為______.【答案】0.79【分析】根據(jù)全概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】被第一代感染者傳染的概率，被第二代感染者傳染的概率，被第三代感染者傳染的概率，所以小明參加宴會僅和感染的10個人中的一個有所接觸被感染的概率為，故答案為：0.79.16．已知函數(shù)在上的最大值與最小值分別為和，則函數(shù)的圖象的對稱中心是______.【答案】【分析】先求得，然后構(gòu)造函數(shù)，判斷出的奇偶性，由此求得，進(jìn)而求得的表達(dá)式，利用圖象變換的知識確定的對稱中心.【詳解】，即，所以，令，，則為上奇函數(shù)，在上的最大值為最小值的和為0，∴，，是奇函數(shù)，圖象的對稱中心是，向左平移個單位得到，對稱中心為，再橫坐標(biāo)縮小為原來的一半得到，對稱中心為，再向下平移個單位得到，對稱中心為，所以的對稱中心是.故答案為：四、解答題17．從①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下列橫線上，并解答.在中，內(nèi)角，，所對的邊長分別為，，，且滿足_________.(1)求角的大??；(2)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)條件選擇見解析，；(2).【分析】（1）選①，利用余弦定理求解即得；選②，利用正弦定理邊化角即可得解；選③，利用同角公式求解即得.（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合余弦定理及均值不等式求解作答.【詳解】（1）選擇①，在中，，由余弦定理知，而，所以.選擇②，在中，由正弦定理及，得，而，因此，又，所以.選擇③，，兩邊平方得：，即，在中，，，解得，所以.（2）在中，，，由余弦定理，得，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此，又，于是得，所以周長的取值范圍為.18．已知數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列，，前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）通過等比數(shù)列中項(xiàng)公式和等差數(shù)列性質(zhì)求得通項(xiàng)即可；（2）通過對的奇偶性進(jìn)行討論，再求和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，，，成等比數(shù)列，，即，解得，，.（2）由（1）知，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，綜上所述，.19．如圖，在多面體中，四邊形為正方形，，，.(1)證明：平面平面；(2)若平面，二面角為，三棱錐的外接球的球心為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明詳見解析(2)【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面.（2）根據(jù)二面角的大小求得，通過補(bǔ)形的方法判斷點(diǎn)的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）由于四邊形為正方形，所以，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）由于平面，平面，所以.由（1）得平面，且，所以平面，所以是二面角的平面角，所以，所以.由上述分析可知兩兩相互垂直，所以可將多面體補(bǔ)形為正方體，如下圖所示，則三棱錐的外接球的球心是的中點(diǎn).由此建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，平面的一個法向量為,設(shè)平面與平面夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.20．德化瓷器是泉州的一張名片，已知瓷器產(chǎn)品T的質(zhì)量采用綜合指標(biāo)值M進(jìn)行衡量，M∈[8，10]為一等品；M∈[4，8）為二等品；M∈[0，4）為三等品.某瓷器廠準(zhǔn)備購進(jìn)新型窯爐以提高生產(chǎn)效益，在某供應(yīng)商提供的窯爐中任選一個試用，燒制了一批產(chǎn)品并統(tǒng)計(jì)相關(guān)數(shù)據(jù)，得到下邊的頻率分布直方圖.(1)估計(jì)該瓷器產(chǎn)品T的質(zhì)量綜合指標(biāo)值M的第60百分位數(shù)；(2)根據(jù)陶瓷廠的記錄，產(chǎn)品各等次的銷售率（某等次產(chǎn)品銷量與其對應(yīng)產(chǎn)量的比值）及單件售價(jià)情況如下：一等品二等品三等品銷售率單件售價(jià)20元16元12元根據(jù)以往的銷售方案，未售出的產(chǎn)品統(tǒng)一按原售價(jià)的50%全部處理完.已知該瓷器廠認(rèn)購該窯爐的前提條件是，該窯爐燒制的產(chǎn)品同時(shí)滿足下列兩個條件：①綜合指標(biāo)值的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）不小于6；②單件平均利潤不低于4元.若該新型窯爐燒制產(chǎn)品T的成本為10元/件，月產(chǎn)量為2000件，在銷售方案不變的情況下，根據(jù)以上圖表數(shù)據(jù)，分析該新型窯爐是否達(dá)到瓷器廠的認(rèn)購條件.【答案】(1)7.75(2)該新型窯爐達(dá)到瓷器廠的認(rèn)購條件【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法即可求解；（2）根據(jù)頻率直方圖的平均值和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法即可求解.【詳解】（1）設(shè)該瓷器產(chǎn)品T的質(zhì)量綜合指標(biāo)值M的第60百分位數(shù)為m，由頻率分布直方圖知，且，解得，所以該瓷器產(chǎn)品T的質(zhì)量綜合指標(biāo)值M的第60百分位數(shù)的估計(jì)值為7.75.（2）①先分析該窯爐燒制出的產(chǎn)品T的綜合指標(biāo)值的平均數(shù)：由頻率分布直方圖知，綜合指標(biāo)值的平均數(shù)，故滿足認(rèn)購條件①.②再分析該窯爐燒制的單件平均利潤值：由頻率分布直方圖可知，該新型窯爐燒制的產(chǎn)品T為一、二、三等品的概率估計(jì)值分別為0.36，0.54，0.1，故2000件產(chǎn)品中，一、二、三等品的件數(shù)估計(jì)值分別為720，1080，200.一等品的銷售總利潤為元；二等品的銷售總利潤為元；三等品的銷售總利潤為元；故2000件產(chǎn)品的單件平均利潤值的估計(jì)值為，滿足認(rèn)購條件②，綜上，該新型窯爐達(dá)到瓷器廠的認(rèn)購條件.21．已知橢圓C：過點(diǎn)，過其右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l：與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，線段EF的中點(diǎn)為Q，在y軸上是否存在定點(diǎn)P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，【分析】（1）直接由橢圓C過點(diǎn)和解方程即可；（2）先聯(lián)立直線和橢圓，通過∠EQP＝2∠EFP得到點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，即PE⊥PF，表示出，由解出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.【詳解】（1）由題知，橢圓C過點(diǎn)和，所以，解得所以橢圓C的方程為．（2）假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，設(shè)，，由，得，∴，∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP∴點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，即PE⊥PF，∴∴恒成立∴，解得∴∴存在定點(diǎn)，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于利用∠EQP＝2∠EFP得到點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，進(jìn)而得到，表示