2023年專升本高數(shù)章節(jié)練習(xí)題

高數(shù)章節(jié)習(xí)題練習(xí)第一節(jié)函數(shù)極限連續(xù)1、設(shè)，求２、設(shè)，，求．3、４、.5、設(shè)和為任意函數(shù),定義域均為,試鑒定下列函數(shù)的奇偶性．(1）（2）6、鑒定函數(shù)的奇偶性．7、．８、．9、．1０、.．．１1、..1２、.．１３、.14、．【例1-6】已知是多項(xiàng)式,且,，求.【例1-7】當(dāng)時(shí)，比較下列無窮小的階．1.比2、比.3、比．４.比【例1－８】討論下列分段函數(shù)在指定點(diǎn)處的連續(xù)性．1.在處的連續(xù)性.2．在處的連續(xù)性．【例1-9】當(dāng)常數(shù)為什么值時(shí)，函數(shù)在處連續(xù)?【例1－１0】求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并判斷其類型．1..2．．３.．4.．【例１-11】證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根．【例1-12】證明方程至少有一個(gè)小于的正根．一、選擇題1.(2０23年,１分）函數(shù)的定義域是(）(Ａ)（B)（Ｃ)(D)2.（2023年,1分)極限等于(）(Ａ）（B）(C）(D)3．(2023年,1分)極限（）(A)(B)(Ｃ)(D）不存在4．（202３年,1分）若，則（）（A）(B)(C)(D)不存在５．(20２3年，1分）是函數(shù)的()（A）連續(xù)點(diǎn)（B）可去間斷點(diǎn)(C)跳躍間斷點(diǎn)（D）第二類間斷點(diǎn)６．(2023年,3分）設(shè),則等于（)（A）（B）不存在（Ｃ)（D)７.(20２3年，3分)當(dāng)時(shí),是的（）（A）高階無窮小(B)同階無窮小,但不等價(jià)(C）低階無窮小(Ｄ）等價(jià)無窮小8.（20２3年，3分）當(dāng)時(shí),是()（A）比高階的無窮小（Ｂ)比低階的無窮小(C）與同階的無窮小(D)與等價(jià)的無窮?。梗?2023年,2分）設(shè)，,則()(A）(B）(C)(D）１0．(２023年,3分）設(shè)，則（）(Ａ)（B）（C)（D）1１．(20２3年，３分)設(shè)是無窮大，則的變化過程是()（A)(B)（C)（D）二、填空題１．(2０２3年，２分)若函數(shù)在處連續(xù)，則．2．(2023年,2分）是函數(shù)的第類間斷點(diǎn)．３．(2０２３年，2分)設(shè)，，則.4．（2023年，2分）在處是第類間斷點(diǎn).５.(2０23年，4分)函數(shù)的定義域?yàn)椋?．(2０23年,4分）設(shè)數(shù)列有界,且，則.7．(20２3年，4分)函數(shù)的反函數(shù)為．8．（2023年，４分)函數(shù)的定義域?yàn)?９．(2０23年,4分)．10．（202３年,2分）若函數(shù)在處連續(xù),則.三、計(jì)算題1．(2０2３年，５分）求極限，其中為常數(shù)．2．(2０23年，5分）求極限.3．（20２3年，５分)求極限.４．(2０23年,5分）求極限．5．(20２３年，５分)求極限.6.（2０23年，5分）求極限.7．(２02３年，4分）求極限．８．(２02３年,4分）設(shè)，，求.9．(2023年，5分)求極限．第二節(jié)、導(dǎo)數(shù)與微分【例2－1】以下各題中均假定存在，指出表達(dá)什么．１．２.設(shè)，其中,且存在.3.． 【例２-2】分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)問題.1.討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性．２.討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性．３．已知函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo)，求常數(shù)和的值．【例2-3】已知,求．【例2-4】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1..2.3．．4．． 【例2-5】求下列冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．（）.2.（).【例２-６】用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).１．（).2.【例2-７】求下列抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．１．已知函數(shù)可導(dǎo)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2．設(shè)函數(shù)和可導(dǎo),且，試求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【例２－８】求由下列方程所擬定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1..2．．【例2-9】求由下列參數(shù)方程所擬定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．．2.．【例2－10】求下列函數(shù)的微分.１．．2..3．4.．【例２-１1】求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.【例2-１2】求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.【例2-１３】求橢圓在點(diǎn)處的切線方程和法線方程．【歷年真題】一、選擇題1．（２023年,1分)已知，則等于（）(A)?(B）(C)（Ｄ）2.（202３年，1分）曲線在點(diǎn)處的法線方程為（)(Ａ)(Ｂ）（C）(D）3．（２0２3年,1分）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù),則()（A）存在(B）不存在（C)必存在（D)在點(diǎn)處可微４.(2023年,1分)若,則()(Ａ)（B）（C）（D)5．（２０23年，3分)函數(shù)，在點(diǎn)處（)（A)可導(dǎo)(B）間斷(Ｃ）連續(xù)不可導(dǎo)（D)連續(xù)可導(dǎo)6．(２0２3年,3分）設(shè)在處可導(dǎo),且，則不等于(）（A）（Ｂ)（C）(D）7.（2023年，3分）下列選項(xiàng)中可作為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義的選項(xiàng)是(）(A）(B)（C）（D）8．（2023年，３分)若可導(dǎo),且，則（）(A）(B)(Ｃ)（D)9．（2023年,2分)設(shè),為可導(dǎo)函數(shù),則（)（A）（B）（C）（D）１0.（202３年，3分)設(shè)，則（）（A）(B）(C)（Ｄ)1１．（2０23年，3分）設(shè),則()（A）(B)(C）（D)1２.（2023年，３分)（）(Ａ）(B)(C)（D)二、填空題1.（2０2３年,2分）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線,則.２.（２0２3年,2分)設(shè),則．3.(202３年,4分）曲線在點(diǎn)的切線的斜率等于.4.(2０２3年，4分)由參數(shù)方程擬定的.5．(2023年,2分)曲線在點(diǎn)處的切線方程是.６.（２02３年,２分)函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是．7．(2023年,２分）設(shè)，則.三、計(jì)算題1.（２0２3年,5分)設(shè)函數(shù)由方程所擬定，求.2.（2023年，5分）求函數(shù)()的導(dǎo)數(shù)．3．(2０23年,5分）設(shè),求.4.(２02３年,4分）設(shè)可導(dǎo),且，求．5.(2023年,５分）已知．(1）在處連續(xù)，求；(2)求．第三節(jié)、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【例3-1】驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的對(duì)的性.【例3-2】驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的對(duì)的性．【例3-3】不求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn),這些零點(diǎn)分別在什么范圍．【例3-4】證明,其中．【例3－5】求下列函數(shù)的極限.1.求．2．求．3.求．4.求.５.求．6.求. 7．求.8.求.【例3-6】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．1..２..【例3-7】運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式．１.試證當(dāng)時(shí)，成立．2．試證當(dāng)時(shí),．【例3-８】證明方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根．【例3-9】求下列函數(shù)的極值．１．．2．.【例3-１０】求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【例3－11】求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).1.．2．.【歷年真題】一、選擇題1．（20２3年,1分）若函數(shù)滿足,則必為的（）（Ａ）極大值點(diǎn)（B)極小值點(diǎn)(Ｃ）駐點(diǎn)(D)拐點(diǎn)2.(2０２３年,１分)當(dāng)時(shí),曲線（)(Ａ)沒有水平漸近線（B）僅有水平漸近線(Ｃ)僅有鉛直漸近線（D)既有水平漸近線,又有鉛直漸近線3.（20２3年,3分)函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日公式中的等于(）（A）（Ｂ）（C）(D）４.（202３年,3分）曲線上切線平行于軸的點(diǎn)為（）(A）（Ｂ）（C）（D）5．（202３年，3分)若在區(qū)間內(nèi)，導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù),則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)（）（A）單調(diào)增長，曲線為凸的(Ｂ）單調(diào)增長,曲線為凹的(C)單調(diào)減少，曲線為凸的(D)單調(diào)減少，曲線為凹的二、填空題1.（2023年,２分)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是．2.(2023年,2分)當(dāng)時(shí),是函數(shù)(填“單調(diào)遞增”、“單調(diào)遞減”).3．(20２３年,2分）函數(shù)在區(qū)間上的最大值點(diǎn)是.4.(2０２3年,4分）曲線在處的切線方程為.5.（2023年，３分）的凸區(qū)間是．６．(20２３年,3分）曲線通過點(diǎn)的切線方程為.三、應(yīng)用題或綜合題１.(20２3年，1０分)現(xiàn)有邊長為厘米的正方形紙板,將其四角各剪去一個(gè)大小相同的小正方形，折做成無蓋紙箱,問剪區(qū)的小正方形邊長為多少時(shí)做成的無蓋紙箱容積最大？2．（2023年,１0分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，并且對(duì)于上的任意所相應(yīng)的函數(shù)值均為,證明：在上至少存在一點(diǎn),使得．３.（20２３年,1０分）某工廠需要圍建一個(gè)面積為的矩形堆料場,一邊可以運(yùn)用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁.問堆料場的長和寬各為多少時(shí)，才干使砌墻所用的材料最?。?．（202３年，10分)當(dāng)，時(shí)，.5．（2０23年,８分)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).6.(2０2３年,8分）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．7．（2０２3年,８分)在周長為定值的所有扇形中,當(dāng)扇形的半徑取何值時(shí)所得扇形的面積最大?8.（2023年,10分）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及凹凸區(qū)間、拐點(diǎn).9.（20２3年,10分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且．證明方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)根.10．(2023年,8分)已知與在處切線相同,寫出該切線方程并求.第四節(jié)、不定積分【例4-1】計(jì)算下列不定積分.1．.２．.3．4.．5．.6．．7．．8．．9.．10.．11..12.．１3．．14.．【例4-2】計(jì)算下列不定積分.1..2．．3．.4．.5.．6．.7.．8.．【例４－３】計(jì)算下列不定積分．１.．2．.３.．4．．【例4-4】設(shè),求．【例４－5】已知是的一個(gè)原函數(shù),求．【歷年真題】一、選擇題1．(202３年,1分)下列等式中，對(duì)的的一個(gè)是（)(A）(B)（Ｃ）(Ｄ）2.（2023年，3分)設(shè)（）,則（）（A)(B)(Ｃ)(D）３.(2023年，2分)若，則()（A)(B)(Ｃ)(D）4.（2023年，3分）()(A）（Ｂ）（C）(D）二、填空題１．（2023年,2分）不定積分.2.（２023年,2分）設(shè),則．三、計(jì)算題１．(20２3年，5分）求不定積分.2．(2023年,５分）求不定積分．3.（２0２3年,4分)若，求．４.（2０23年,５分)求不定積分.四、應(yīng)用題或綜合題１.（2023年，8分）設(shè)的一個(gè)原函數(shù)為,求.第五節(jié)、定積分【例5-1】計(jì)算下列定積分．1．．2．.3..4．.５．.６．．7.（)．8.．【例5-2】計(jì)算下列定積分.1．.2．.3．．４．.【例5-3】計(jì)算下列廣義積分.1..2．.3.．４．.【例５-4】計(jì)算下列積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．１．．２．．3．．４．.【例5-5】求下列極限.1．．2..3．．4.．【例5－6】設(shè)函數(shù)計(jì)算．【例５-7】計(jì)算定積分.【例5-8】求下列平面圖形的面積.計(jì)算由兩條拋物線和所圍成的平面圖形的面積．2．求由拋物線，直線及所圍成的平面圖形的面積．３．計(jì)算由曲線和直線所圍成的平面圖形的面積．一、選擇題1．(2023年，1分）設(shè),則等于(）（A)(B）（Ｃ)（D)2.(20２3年,1分）曲線與直線所圍成的圖形的面積為(）(A)(B）(C)（D)3．(2023年，1分)定積分等于(）（Ａ）(B)（Ｃ)（D）二、填空題１．(2023年,2分)．２．(２02３年，2分)設(shè),則.３．（２023年,2分）由曲線,及軸圍成的圖形的面積是.4.（2023年,4分)積分的值等于．5.(2０2３年，２分)積分.解:６．(2０23年,2分).7．(2０23年,3分)．三、計(jì)算題１．(２02３年，５分)求定積分.2．（20２3年,5分)求定積分．3.(２０２3年,５分）求定積分．4．(20２3年，7分）求廣義積分．5.（２023年,5分）求定積分.6.(2０23年,4分）設(shè)函數(shù)，求在內(nèi)的表達(dá)式.7．（20２3年，４分）求定積分．8．(２0２3年,５分）求定積分.9．（20２3年,8分)求由曲線與直線,，所圍平面圖形的面積.第六節(jié)、微分方程【典型例題】【例6-1】求下列微分方程的通解.１．．２．.3．.4..【例6-2】求下列微分方程的通解．1．．2．．3．.4..【例６－3】求下列微分方程的通解.1．．２.．3．.4．．【例6-4】解微分方程．【例6-5】求微分方程滿足初始條件的特解.【例６-6】求滿足初始條件，的特解．【例6-7】已知曲線過點(diǎn),且在點(diǎn)處的斜率為,求該曲線方程.【例6-8】設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足,求．【歷年真題】一、選擇題1.（2023年，3分)微分方程的通解為(）（A）（B)（C）（D）2.（２023年,２分）微分方程的通解是(）（A）（B)（Ｃ)(D）二、填空題1.（2０23年，2分)微分方程的通解為．２．(２0２3年,２分)微分方程滿足初值的特解為.3．(２0２3年,4分)微分方程的通解為．4．（2０2３年,2分）方程的通解為．5．（2023年，3分)微分方程的通解為.三、計(jì)算題１.(２023年，5分)求微分方程的通解．2．（２０23年,5分)求微分方程的通解.3.(2023年，5分）求微分方程的通解．4．(２０2３年,7分)求微分方程的通解.第七節(jié)、向量代數(shù)與空間幾何【典型例題】【例7－1】在軸上求與兩點(diǎn)和等距離的點(diǎn)．【例7-2】已知兩點(diǎn)和，求與同方向的單位向量．【例７-3】已知兩點(diǎn)和，計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角.【例7－4】設(shè)，，計(jì)算和．【例7-5】已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是、和,求三角形的面積.【例７-6】已知向量,向量，向量和的夾角，求．【例7-7】求過三點(diǎn)、和的平面方程.【例7-8】求平行于平面:,且與平面垂直,求此平面的方程．【例7-9】求平行于平面：,且與球面相切的平面方程．【例7-10】求過兩點(diǎn)和的直線方程.【例７-11】求過點(diǎn)且平行于直線的直線方程．【例７－12】求直線:與平面:的交點(diǎn)．【例7-１3】求與兩平面和的交線平行且過點(diǎn)的直線的方程.【例7-1４】擬定直線:與平面:的位置關(guān)系.【歷年真題】一、選擇題1.（2023年，1分)已知向量與向量垂直,則等于（)（A）（B）（C)(D）2．(2023年，1分）直線：與平面:的位置關(guān)系是（）(Ａ)平行(B）垂直相交（Ｃ)在上(D)相交但不垂直3．（20２3年，３分）過點(diǎn)且垂直于軸的平面方程為（)（Ａ)(B)(C)(Ｄ）4.(2023年,3分）直線與下列平面垂直(）（Ａ）(B)（C)(D）5．（2023年,３分）直線與平面的位置關(guān)系是（)(Ａ）平行但不共面(Ｂ)直線垂直于平面(C)直線在平面上（D）兩者斜交二、填空題1．(２02３年，２分)通過點(diǎn)，和三點(diǎn)的平面方程是．2．（２０23年,2分）設(shè)，為向量，若,,與的夾角為，則.3．(2023年,２分)點(diǎn)到平面的距離是.三、計(jì)算題1．(2０２３年，5分）求平行于軸且過點(diǎn)和的平面方程.2.(2023年，5分)求通過點(diǎn)和且垂直于平面的平面方程.第八節(jié)、多元函數(shù)與微分學(xué)【典型例題】【例8-１】求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)．1．，求,．２.，求，．【例８-２】求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).1．．2．.３．.4.．5.．6．．【例８-3】求下列函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)．1.．2..【例8－4】求下列函數(shù)的全微分．1.．２.．【例８-5】設(shè),而,,求和．【例８-６】設(shè)，而，,求．【例8－7】求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)).１..2．．【例８-8】求下列方程所擬定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)．1.方程擬定了函數(shù)，求．2．方程擬定了函數(shù),求.3．方程擬定了函數(shù)，求和．4.方程擬定了函數(shù)，求和．【例8-9】求函數(shù)的極值．【例8-10】求函數(shù)的極值.【歷年真題】一、選擇題1.（２023年,１分）二元函數(shù)在點(diǎn)處存在偏導(dǎo)數(shù)是在該點(diǎn)可微分的（)（A）必要而不充足條件（Ｂ）充足而不必要條件（Ｃ)必要且充足條件（D)既不必要也不充足條件2.(2０2３年，3分)已知，則()（A)(B）(C)(D)3.(2０23年,3分）設(shè),則(）（A)（Ｂ)(C)（Ｄ）二、填空題１.（2023年,2分）“函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)存在”是“函數(shù)在點(diǎn)可微分”的條件.三、計(jì)算題1.(2023年，５分)求由方程所擬定的二元函數(shù)的全微分．2．(2023年，５分）求函數(shù)的全微分．３.(２023年,5分）求二元函數(shù)的全微分.4.(２023年，5分）設(shè)，，求，.5.（2023年,4分)設(shè)，求．6.(20２3年，４分）求的極值．7.（２０23年，5分）設(shè),求.第九節(jié)、二重積分【典型例題】【例９-1】計(jì)算,其中是由直線、及所圍成的閉區(qū)域.【典型例題】【例9-1】計(jì)算，其中是由直線、及所圍成的閉區(qū)域.【例9-2】求,其中是由直線、及所圍成的閉區(qū)域.【例９-3】求，其中是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域.【例9-４】計(jì)算，其中是由直線、和曲線所圍成的閉區(qū)域．【例9-５】計(jì)算，其中是由中心在原點(diǎn)、半徑為（）的圓周所圍成的閉區(qū)域.【例９－６】計(jì)算，其中是由圓周及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.【例9-7】計(jì)算,其中是圓環(huán)形閉區(qū)域.【例9－8】互換下列二重積分的積分順序.1..2..3．．4．．【歷年真題】一、選擇題1．（20２3年,３分)設(shè)：,則等于（)(Ａ）(B）(Ｃ)(D）２.（20２３年,2分）互換積分順序（)（A)(B）（Ｃ)（Ｄ）3．(2023年,3分）設(shè)：,,則(）（A)（B）（Ｃ）（Ｄ）二、計(jì)算題1.（２023年，5分)求二重積分,其中是由，，所圍成的閉區(qū)域.２．(2０23年，5分）計(jì)算，其中是由拋物線及直