環(huán)形路上的行程問題

環(huán)形路上的行程問題第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日環(huán)形道路上的行程問題本質(zhì)上講就是追及問題或相遇問題。當(dāng)二人或二物同時(shí)運(yùn)動時(shí)就是追及問題，追及距離是二人初始距離及環(huán)形道路之長的倍數(shù)之和；當(dāng)二人或二物反向運(yùn)動時(shí)就是相遇問題，相遇距離是二人從出發(fā)到相遇所行路程和。環(huán)形路上的行程問題第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日追及問題相差路程÷速度之差=追上時(shí)間追上時(shí)間×速度之差=相差路程相差路程÷追上時(shí)間=速度之差第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日相遇問題速度之和×相遇時(shí)間=相遇路程（路程之和）相遇路程÷相遇時(shí)間=速度之和相遇路程÷速度之和=相遇時(shí)間第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日經(jīng)典題目訓(xùn)練第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日

例1

如圖，兩名運(yùn)動員在沿湖的環(huán)形跑道上練習(xí)長跑。甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑200米。兩人同時(shí)同地同向出發(fā)，45分鐘后甲追上了乙。如果兩人同時(shí)同地反向而跑，經(jīng)過多少分鐘后兩人相遇？250／分乙甲乙甲200／分250／分200／分（1）（2）追上時(shí)間×速度之差=相差路程（跑道長）跑道長：45×（250－200）=2250（米）相遇路程÷速度之和=相遇時(shí)間相遇時(shí)間：2250÷（250+200）=5（分鐘）答：經(jīng)過5分鐘兩人相遇。同一點(diǎn)出發(fā)，距離差=跑道長第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日隨1.甲、乙兩運(yùn)動員在周長為400米環(huán)形跑道上同向競走，已知乙的平均速度是每分鐘80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米處。問幾分鐘后，甲第1次追上乙？●●乙甲甲的速度：80×1.25=100米/分（400－100）÷（100－80）=15（分）答：15分鐘后，甲第一次追上乙。同一點(diǎn)出發(fā)，距離差=跑道長第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日例2下圖是一個圓形中央花園，A、B是直徑的兩端。小軍在A點(diǎn)，小勇在B點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)相向而行。他倆第1次在C點(diǎn)相遇，C點(diǎn)離A有50米；第2次在D點(diǎn)相遇，D離B有30米。問這個花園一周長多少米？B●●●●●ACD小軍小勇第1次相遇兩人合起來走了半周長，從C點(diǎn)開始到D點(diǎn)相遇兩人共走了一周長，兩次共走了一周半。小軍：ACD走了50米的3倍。50×3=150（米）半周：150－BD(30米)周長（150－30）×2=240（米）答：這個花園一周長240米。第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日隨堂練習(xí)2A、B是圓直徑的兩端點(diǎn)，亮亮在點(diǎn)A，明明在點(diǎn)B，相向而行，他們在C點(diǎn)第一次相遇，C點(diǎn)離A點(diǎn)100米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)，求圓的周長A●●●●●BCD第1次相遇兩人合起來走了半周長，從C點(diǎn)開始到D點(diǎn)相遇兩人共走了一周長，兩次共走了一周半。ACD走了100米的3倍。100×3=300（米）半周：300－BD(80米)周長（300－80）×2=440（米）亮：第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日例3

如圖，一個邊長為100米的正方形跑道。甲從A點(diǎn)出發(fā)，乙從C點(diǎn)出發(fā)都逆時(shí)針同時(shí)起跑，甲的速度每秒7米，乙的速度每秒5米。他們拐彎處都要停留5秒，當(dāng)甲第一次追上乙時(shí)，乙跑了多少米？乙甲ADBC100米100米7米/秒5米/秒甲乙相距200米（相差距離）。且甲第一次追及乙要多拐兩個彎。即要多休息5+5=10秒鐘。甲走的路程－乙走到路程=200米解：設(shè)甲純跑步時(shí)間為x秒。則乙跑步的時(shí)間為x+10秒。7x－5（x+10）=200x=125甲跑的路程是：125×7=875（米）第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日當(dāng)甲跑的800米時(shí)用時(shí)：

800÷7+5×7≈149.28（秒）又離開A點(diǎn)。而乙到達(dá)A點(diǎn)再離開時(shí)用時(shí)：

600÷5+5×6=150（秒）因此：從起跑到149.28秒至150秒的間隔內(nèi)甲乙都在A點(diǎn)。所以：甲第一次追上乙，此時(shí)乙跑了600米。第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日例6

已知等邊三角形ABC的周長為360米，甲從A點(diǎn)出發(fā)，按逆時(shí)針方向前進(jìn)，每分鐘走55米，乙從BC邊上D點(diǎn)（距C點(diǎn)30米）出發(fā)，按順時(shí)針方向前進(jìn)，每分鐘走50米。兩人同時(shí)出發(fā)，幾分鐘相遇？當(dāng)乙到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，甲在哪條邊上，離C點(diǎn)多遠(yuǎn)？ABCD30乙甲甲乙兩人的相遇時(shí)間：乙從D到A用的時(shí)間：（360÷3×2－30）÷（55+50）=2分210÷50=4.2(分)乙到A點(diǎn)時(shí)甲走的路程：55×4.2=231(米)這時(shí)甲在BC邊上，離C點(diǎn)的距離：360÷3×2－231=9(米)90m第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日隨4.三個環(huán)形跑道相切排列，每個環(huán)形跑道的周長均為210厘米。甲、乙兩只爬蟲分別從A、B兩地按箭頭所示的方向出發(fā)，甲爬蟲繞1、2號環(huán)形跑道作“8”字形循環(huán)運(yùn)動，乙爬蟲繞3、2號環(huán)形跑道作“8”字形循環(huán)運(yùn)動，甲、乙兩只爬蟲的速度分別是每分鐘20、15厘米。問甲、乙兩爬蟲第二次相遇時(shí)，甲爬蟲爬了多少厘米？…●ACB●●123D分析：甲乙爬蟲第一次相遇時(shí)，它們位于2號環(huán)形道的上方。它們共爬行了3個“半環(huán)形”。第二次相遇時(shí)它們共爬行了5個“半環(huán)形”。則相遇時(shí)間是：210÷2×5÷（20+15）=15（分）即：甲爬蟲爬行了：20×15=300（米）第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日練習(xí)1甲乙兩人在400米的環(huán)形跑道上跑步，兩人朝相反的方向跑。兩人第一次和第二次相遇間隔40秒，已知甲每秒跑6米，乙每秒跑多少米？甲乙兩人從第一次到第二次相遇共走：400米400÷40=10（米/秒）10－6=4（米/秒）答：乙每秒跑4米。第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日練習(xí)2.甲用40秒可繞一環(huán)形跑道跑一圈，乙同時(shí)反方向跑，每隔15秒與甲相遇一次。問乙跑完一圈用多少秒？解：設(shè)乙跑完一圈用x秒。答：乙跑完一圈用24秒。115140x1+=X=24第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日練習(xí)題3甲乙從360米的環(huán)形跑道上的同一地點(diǎn)同向跑步。甲每分鐘跑305米，乙每分鐘跑275米。兩人起跑后，第一次相遇在離起點(diǎn)多少米處？360÷（305－275）=12（分）甲：305×12=3660（米）共跑的圈數(shù)：3660÷360=10（圈）……60（米）答：第一次相遇在離起點(diǎn)60米處。第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日練習(xí)4.有一條長500米的環(huán)形跑道。甲乙兩人同時(shí)從跑道上某一點(diǎn)出發(fā)，反向而跑，1分鐘后相遇；如果兩人同向而跑，則10分鐘后相遇，已知甲跑的比乙快，問甲乙兩人每分鐘各跑多少米？甲乙速度之和：500÷1=500（米/分）甲乙速度之差：500÷10=50（米）甲：答：甲每分鐘跑275米，乙每分鐘跑225米。（500+50）÷2=275（米/分）乙：500－275=225（米/分）第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日5.甲乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)反向出發(fā)，沿400米環(huán)形跑道行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走50米，這兩人至少用多少分鐘再在A點(diǎn)相遇？甲走一圈的時(shí)間：400÷80=5（分）乙走一圈的時(shí)間：400÷50=8（分）因?yàn)?和8的最小公倍數(shù)是40.所以兩人至少用40分鐘再在A點(diǎn)相遇。第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日練習(xí)6.小明在360米長的環(huán)形跑道上跑了一圈。已知他前一半時(shí)間每秒跑5米，后一半時(shí)間每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多少秒？解：設(shè)小明跑一圈用x秒。(x÷2)×5+(x÷2)×4=360X=80前一半用時(shí)：180÷5=36（秒）后一半用時(shí)：80－36=44（秒）答：小明后一半路程用了44秒。第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日練習(xí)7.繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而行，小王以4千米/時(shí)的速度每走1小時(shí)后休息5分鐘；小張以6千米/時(shí)的速度每走50分鐘后休息10分鐘。問兩人出發(fā)后多少時(shí)間第一次相遇？分析：假設(shè)小王走了2小時(shí)10分：4×2=8（千米）小張?jiān)谶@段時(shí)間走了：2×[

(60－10)÷10]+1=11（千米）此時(shí)兩人相距：24－8－11=5（千米）則現(xiàn)在相遇時(shí)間：5÷（6+4）=0.5（小時(shí)）=30分第一次相遇時(shí)間：2小時(shí)10分+30分=2小時(shí)40分。第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日練習(xí)8.在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點(diǎn)相距100米。甲乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按逆時(shí)針方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人跑100米，都要停10秒。那么甲追上乙需要多長時(shí)間？分析：如果不考慮休息時(shí)間則甲追上乙需要：100÷（5-4）=100（秒）100秒甲跑了：5×100=500（米）甲共休息了：5-1=4（次）4×10=40（秒）100秒乙跑了：4×100=400（米）乙共休息了：4×10=40（秒）所以甲追上乙需要100+40=140秒。第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日9、如圖，在一圓形跑道上。小明從A點(diǎn)出發(fā)，小強(qiáng)從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向行走。6分鐘后，小明與小強(qiáng)相遇，再過4分鐘，小明到達(dá)B點(diǎn)，又再過8分鐘，小明與小強(qiáng)再次相遇。問小明環(huán)形一周要多少時(shí)間？分析：小明走4分鐘的路程相當(dāng)于小強(qiáng)走6分鐘的路程。從第一次相遇到第二次相遇小明走了：4+8=12（分）小明走12分鐘，小強(qiáng)同樣也走12分鐘，但小強(qiáng)走12分鐘的路程，小明只需走8分鐘。所以小明走一周要：12+8=20（分鐘）第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日練習(xí)10.在周長為200米的圓形跑道一條直徑的兩端，甲乙兩人分別以6米/秒，5米/秒的速度同時(shí)同向出發(fā)，沿跑道行駛。問：16分鐘內(nèi)甲追上乙多少次？甲乙分析：16分鐘=960秒16分鐘甲比乙多走：960÷（6－5）=960米第一次追上乙只有100米。所以16分鐘內(nèi)可以追上：以后每一次追上要200米。（960－100）÷200=4（次）……60（米）4+1=5（次）第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日練習(xí)11如圖：某單位圍墻外面的小路是邊長300米的正方形，甲乙兩人分別從兩個對角處沿逆時(shí)針方向同時(shí)出發(fā)。已知甲每分鐘走90米，乙分鐘走70米，問至少經(jīng)過多長時(shí)間甲才能看到乙？甲乙分析：甲追上乙一條邊的時(shí)間：300÷（90－70）=15（分）15分鐘甲走了：90×15=1350（米）走的邊數(shù)：1350÷300=4.5（條）15分鐘乙走了：70×15=1050（米）走的邊數(shù)：1050÷300=3.5（條）兩人相差一條邊的距離甲只要再走0.5條邊就和乙在同一條邊上了。就能看到乙了。經(jīng)過的時(shí)間