理想不可壓縮流體的平面勢(shì)流和旋渦運(yùn)動(dòng)

理想不可壓縮流體的平面勢(shì)流和旋渦運(yùn)動(dòng)第一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日§1流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)法分析§2速度環(huán)量和漩渦強(qiáng)度§3速度勢(shì)和流函數(shù)§5基本的平面勢(shì)流§6有勢(shì)流動(dòng)疊加§7理想流體的漩渦運(yùn)動(dòng)第二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日理想流體的流動(dòng)分有旋運(yùn)動(dòng)無(wú)旋運(yùn)動(dòng)位勢(shì)流動(dòng)：無(wú)旋運(yùn)動(dòng)由于存在速度勢(shì)和流函數(shù)，故又稱(chēng)位勢(shì)流。第三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日§6－1流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)：平移轉(zhuǎn)動(dòng)變形轉(zhuǎn)動(dòng)平移第四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日變形角變形線(xiàn)變形第五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日一.平移如圖：在流場(chǎng)中取一四邊形流體a、b、c、d，經(jīng)過(guò)dt時(shí)間后該四邊形移到a’、b’、c’d’，形狀、大小沒(méi)有變化，僅是平移了一段距離。各點(diǎn)的速度大小和方向沒(méi)有變化，即沒(méi)有變形和轉(zhuǎn)動(dòng)。xabcddxdxdydyb’a’c’d’y第六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日二.線(xiàn)變形在t時(shí)刻a、b、c、d各點(diǎn)的速度如圖，由于各點(diǎn)的速度不同，經(jīng)過(guò)Δt時(shí)刻后由b點(diǎn)的和d點(diǎn)的作用下，會(huì)產(chǎn)生線(xiàn)變形。xabcdyuvb’a’c’d’第七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

定義：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度、單位時(shí)間內(nèi)線(xiàn)變形稱(chēng)為線(xiàn)變形率，用ε表示。由定義有：三個(gè)方向的線(xiàn)變形第八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日討論b點(diǎn)的和d點(diǎn)的作用，經(jīng)時(shí)間dt后，由于這兩個(gè)速度增量，使原圖形發(fā)生角變形。三.角變形b’a’c’d’ΔαΔβabcdyuv第九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)ab、cd轉(zhuǎn)過(guò)的平均角度稱(chēng)角變形速度，用θ表示。由定義有：為三個(gè)平面內(nèi)的角變形第十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

四.轉(zhuǎn)動(dòng)：假設(shè)d點(diǎn)和c點(diǎn)的速度增量在x方向是負(fù)的，則經(jīng)過(guò)dt時(shí)間后，a、b、c、d繞a點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度d’b’a’c’ΔβΔαabcduv第十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

圖中定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的平均角度為旋轉(zhuǎn)角速度，以ω表示。代入和第十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

有或當(dāng)稱(chēng)無(wú)旋流或勢(shì)流。稱(chēng)有旋流或渦流。第十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

流體運(yùn)動(dòng)是否有旋不能只看其運(yùn)動(dòng)軌跡，而要看它是否繞自身軸轉(zhuǎn)動(dòng)。例：第十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日流動(dòng)是否存在？是否有旋？例：流動(dòng)是否存在？是否有旋？第十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例：如圖所示，流體各個(gè)微團(tuán)以速度解：平行于x軸作直線(xiàn)流動(dòng)，試確定流動(dòng)是否有旋。有旋運(yùn)動(dòng)。第十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日§2速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度一.渦線(xiàn)、渦管1.渦線(xiàn)：與流線(xiàn)概念相似，渦線(xiàn)也是一條曲線(xiàn)，在給定瞬時(shí)t，這條曲線(xiàn)每一點(diǎn)的切線(xiàn)與該點(diǎn)流體微團(tuán)的角速度的方向重合。由渦線(xiàn)定義得渦線(xiàn)方程：第十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日2.渦管

在給定瞬時(shí)，在渦量場(chǎng)中取一不是渦線(xiàn)得封閉曲線(xiàn)，通過(guò)曲線(xiàn)上每點(diǎn)做渦線(xiàn)，這些渦線(xiàn)形成一個(gè)管狀表面，稱(chēng)為渦管，渦管中充滿(mǎn)著做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體。沿渦管長(zhǎng)度方向旋轉(zhuǎn)角速度是變化的。第十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日二.漩渦強(qiáng)度：在渦量場(chǎng)中任取一微元面積，上流體質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度向量為，為的法線(xiàn)方向，微元面積上的漩渦強(qiáng)度用表示定義：A對(duì)整個(gè)表面積A積分,總的漩渦強(qiáng)度為：第十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)在A上均布,則有：——稱(chēng)為渦通量漩渦強(qiáng)度等于2倍的渦通量。第二十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日三、速度環(huán)量定義：假定某一瞬時(shí)，流場(chǎng)中每一點(diǎn)的速度是已知的，AB曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的速度為，在該曲線(xiàn)上取一微元段為沿微元線(xiàn)段上的環(huán)量。與之間的夾角為α，則稱(chēng)αAB第二十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日曲線(xiàn)AB上的環(huán)量為：

若曲線(xiàn)AB是封閉曲線(xiàn)，則環(huán)量為：Lα第二十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日將矢量、分別表示：故對(duì)封閉周線(xiàn)L的環(huán)量為：環(huán)量是一個(gè)標(biāo)量，它的正負(fù)取決于速度方與線(xiàn)積分的方向。第二十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)速度方向與線(xiàn)積分方向同向時(shí)取正，反向時(shí)取負(fù)。若是封閉周線(xiàn)，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。

例：不可壓縮流體平面流動(dòng)的速度分布為，求繞圓的速度環(huán)量。第二十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日解：積分路徑在圓上，有第二十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日四、斯托克斯定理

斯托克斯定理：任意面積A上的旋渦強(qiáng)度，等于該面積的邊界L上的速度環(huán)量Γ。Stokeslaw將對(duì)渦量的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)速度環(huán)量的研究。因?yàn)榫€(xiàn)積分比面積分要簡(jiǎn)單，且速度場(chǎng)比渦量場(chǎng)容易測(cè)得。第二十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

1.微元面積的stokeslaw證明：BCDdxdyAxy取一微元矩形的封閉周線(xiàn)，各點(diǎn)速度大小如圖：第二十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日沿A、B、C、D的速度環(huán)量為由于各點(diǎn)速度不等，取各邊始端點(diǎn)的速度的平均值計(jì)算環(huán)量：將各點(diǎn)速度代入整理，有：第二十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日∴stokes定理得證。（水平面）2.有限單連域的stokeslaw:將微元面積的結(jié)果推廣到有限大面積中。把有限大面積劃分成無(wú)數(shù)個(gè)微元面積，第二十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日求出每條邊，然后再求和，內(nèi)周線(xiàn)上的環(huán)量相互抵消，只剩下沿外周界線(xiàn)L的環(huán)量。L第三十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

此式即為有限大單連域stokes定理。即：此定理也可用于復(fù)連域：第三十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

L1L2AStokeslaw說(shuō)明，速度環(huán)量Γ不僅可以決定漩渦的存在，還可衡量封閉周線(xiàn)所圍區(qū)域中全部漩渦的總渦強(qiáng)。環(huán)量為零，即總渦強(qiáng)為零；環(huán)量不為零必然存在漩渦。反之，無(wú)旋，環(huán)量為零。第三十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

問(wèn)題：沿封閉周線(xiàn)L的環(huán)量Γ為零，是否在所圍面積內(nèi)流體各處都處于無(wú)旋狀態(tài)？答：否只有在區(qū)域內(nèi)任一條封閉曲線(xiàn)上的速度環(huán)量皆為零，則區(qū)域內(nèi)的旋渦強(qiáng)度必為零，流動(dòng)為無(wú)旋運(yùn)動(dòng)。第三十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

例1：證明平行流的環(huán)量為零。流體以定常速度水平運(yùn)動(dòng)，在流場(chǎng)中任取一封閉周線(xiàn)1234，求若封閉周線(xiàn)取為圓Γ＝？1234第三十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例2：求有間斷面的平行流的速度環(huán)量Γ＝？1234Lbu1u2第三十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例3：龍卷風(fēng)的速度分布為

試根據(jù)stokeslaw來(lái)判斷是否為有旋流動(dòng)。時(shí)時(shí)如圖，當(dāng)，流體以ω象剛體一樣轉(zhuǎn)動(dòng)，稱(chēng)風(fēng)眼或強(qiáng)迫渦（渦核）。第三十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日在區(qū)域，流體繞渦核轉(zhuǎn)動(dòng)，流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓但本身并沒(méi)有旋轉(zhuǎn)稱(chēng)之為自由渦或勢(shì)渦。自由渦rr0ω強(qiáng)制渦復(fù)合渦第三十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日分別討論自由渦和強(qiáng)制渦。在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)p，過(guò)p點(diǎn)做任一封閉曲線(xiàn)ABCD，沿ABCD做環(huán)量:ABCDr1r2r0θpω強(qiáng)制渦：第三十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日式中為扇形ABCD的面積即有旋由于p是任取的，故這一結(jié)果可推廣到強(qiáng)制渦中任一點(diǎn)，由此可見(jiàn)，強(qiáng)制渦是有旋流。討論自由渦：在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)p，過(guò)p點(diǎn)做任一封閉曲線(xiàn)ABCD，沿ABCD做環(huán)量第三十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日ABCDr1r2r0θpω由于ABCD是任取的，故此結(jié)論可推廣到自由渦中任一區(qū)域。結(jié)論：龍卷風(fēng)的風(fēng)眼是有旋的，風(fēng)眼外是無(wú)旋的。第四十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例：設(shè)二元流的速度為：?jiǎn)枺?）流動(dòng)是否存在？2）流動(dòng)是否有旋？3）求沿的Γ和該周線(xiàn)所圍面積內(nèi)的漩渦強(qiáng)度。第四十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例：已知速度場(chǎng)求以所圍正方形的Γ。1－1－11第四十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例：設(shè)在（1，0）點(diǎn)置有Γ＝Γ0的渦，在（－1，0）點(diǎn)置有Γ＝－Γ0的旋渦，求沿下例路線(xiàn)的Γ。＋Γ0－Γ01）2）3）4）第四十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日§3速度勢(shì)和流函數(shù)一、平面流動(dòng)二、速度勢(shì)函數(shù)1.勢(shì)函數(shù)φ存在的條件：垂直與z軸的每個(gè)平面流動(dòng)都相同，稱(chēng)平面流動(dòng)。對(duì)無(wú)旋流此條件可寫(xiě)成：第四十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日此條件稱(chēng)柯西—黎曼條件由高數(shù)知識(shí)可知，柯西—黎曼條件是使成為某一個(gè)函數(shù)全微分的充要條件，即第四十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日而當(dāng)t為參變量，的全微分為比較兩式有：柱坐標(biāo)第四十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

無(wú)論流體是否可壓縮，是否定常流只要滿(mǎn)足無(wú)旋條件，總有勢(shì)函數(shù)存在。故理想流體無(wú)旋流也稱(chēng)勢(shì)流。

把稱(chēng)為速度勢(shì)函數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)勢(shì)函數(shù)用勢(shì)函數(shù)表示速度矢量：第四十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日2、勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)

1）流線(xiàn)與等勢(shì)面垂直證：令為等勢(shì)面，在其上任取一微元線(xiàn)段，上的速度為,求兩者點(diǎn)積第四十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

在等勢(shì)面上，故即速度與等勢(shì)面垂直，由于速度矢量與流線(xiàn)相切，故流線(xiàn)與等勢(shì)面垂直。2）勢(shì)函數(shù)對(duì)任意方向L的偏導(dǎo)數(shù)，等于速度矢量在該方向的的分量。3）φ與Γ之間的關(guān)系第四十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

由此可知：在勢(shì)流中，沿任意曲線(xiàn)AB的環(huán)量等于曲線(xiàn)兩端點(diǎn)勢(shì)函數(shù)的差，與曲線(xiàn)的形狀無(wú)關(guān)。第五十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

若φ函數(shù)是單值的，則沿任一封閉周線(xiàn)k的速度環(huán)量等于零。4）在不可壓流體中，勢(shì)函數(shù)是調(diào)和函數(shù)由連續(xù)性方程：有：滿(mǎn)足拉普拉斯方程的函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。第五十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

三、流函數(shù)ψ1、流函數(shù)的定義：在不可壓流體的平面流中，應(yīng)滿(mǎn)足即由高數(shù)知識(shí)可知，此式是使成為某一個(gè)函數(shù)全微分的充要條件，即第五十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

而的全微分又可表示為：比較兩式有極坐標(biāo)稱(chēng)為流函數(shù)。只要流動(dòng)存在，無(wú)論而第五十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

是否有旋，是否為理想流體，都必定存在流函數(shù)。2、流函數(shù)的特性：1）流函數(shù)與流線(xiàn)的關(guān)系：的等值線(xiàn)是平面上一條流線(xiàn)。證明：由流線(xiàn)方程：第五十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

而即故時(shí)c是流線(xiàn)方程的解,它是平面上一條流線(xiàn)。注意：有流動(dòng)就有流線(xiàn)存在，而流函數(shù)僅存在于平面流動(dòng)中。2）流函數(shù)與流量Q的關(guān)系：

流過(guò)任意曲線(xiàn)的流量等于曲線(xiàn)兩端點(diǎn)流函數(shù)的函數(shù)值之差。第五十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

流線(xiàn)ABV由此結(jié)果可知：

兩流線(xiàn)之間流量保持不變，與曲線(xiàn)AB的起始點(diǎn)無(wú)關(guān)，若AB本身就是一條流線(xiàn)，則通過(guò)AB的流量為零。若AB是一條封閉周線(xiàn)，通過(guò)AB的流量也為零。第五十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

3）流函數(shù)ψ與勢(shì)函數(shù)φ的關(guān)系：對(duì)不可壓平面勢(shì)流，流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)同時(shí)存在，它們之間關(guān)系是a:b:

等φ線(xiàn)與等ψ線(xiàn)垂直前已證明，流線(xiàn)與等勢(shì)面垂直，而的線(xiàn)是流線(xiàn)故等φ線(xiàn)與等ψ線(xiàn)垂直。流網(wǎng)第五十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

代入

4）在不可壓平面無(wú)旋流中，流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。對(duì)平面無(wú)旋流將有：滿(mǎn)足拉普拉斯方程，故是調(diào)和函數(shù)。第五十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例1：不可壓縮平面流動(dòng)的速度勢(shì)為，求在點(diǎn)（2，1.5）處速度的大小。解由速度勢(shì)的定義求出第五十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例2：設(shè)二元流動(dòng)的速度場(chǎng)為

求1)流動(dòng)是否存在？是否有旋？

2）φ＝？3）ψ＝？

4）求沿的Γ和該周線(xiàn)所圍面積內(nèi)的漩渦強(qiáng)度。第六十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例3：已知流場(chǎng)的流函數(shù)

試問(wèn)1)是否存在φ？

2）求出通過(guò)A(2,3)和B(4,7)任意曲線(xiàn)的流量和沿曲線(xiàn)的環(huán)量Γ。第六十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例4：已知試問(wèn)1)流動(dòng)是否存在？

2）流動(dòng)是否有勢(shì)？3）ψ＝？φ＝？4）求沿的Γ及通過(guò)此曲線(xiàn)的流量Q。第六十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日§6-4不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)的復(fù)變函數(shù)表示一、復(fù)位勢(shì)與流函數(shù)、勢(shì)函數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系流函數(shù)與勢(shì)函數(shù)的關(guān)系這正是柯西-黎曼條件。復(fù)變函數(shù)的理論，和可以組成以復(fù)變量為自變量的一個(gè)復(fù)變函數(shù)。第六十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日它的導(dǎo)數(shù)為被稱(chēng)為流動(dòng)的復(fù)位勢(shì)，實(shí)部為勢(shì)函數(shù)，虛部為流函數(shù)。被稱(chēng)為復(fù)速度，實(shí)部為速度在x方向的分量，虛部為速度在y方向的分量的相反數(shù)。第六十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日二、復(fù)位勢(shì)的性質(zhì)1.兩點(diǎn)的復(fù)位勢(shì)之差是復(fù)勢(shì)，其實(shí)部是兩點(diǎn)連線(xiàn)上的速度環(huán)量，虛部是通過(guò)兩點(diǎn)連線(xiàn)的流量。2.復(fù)位勢(shì)允許加任一復(fù)常數(shù)而不改變所代表的流動(dòng)。3.兩個(gè)不可壓縮流體的平面無(wú)旋流動(dòng)的疊加，仍然為平面無(wú)旋流，其復(fù)勢(shì)為原兩個(gè)復(fù)勢(shì)之和。第六十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日三、勢(shì)流疊加原理勢(shì)函數(shù)速度第六十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日§5基本的平面有勢(shì)流動(dòng)勢(shì)流疊加原理:由于φ函數(shù)和ψ函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)，由調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)可知，調(diào)和函數(shù)的線(xiàn)性組合仍是調(diào)和函數(shù)，故可用來(lái)描述一個(gè)新的有勢(shì)流動(dòng)即φ函數(shù)和ψ函數(shù)可疊加，疊加后仍是無(wú)旋流。第六十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日一、均勻直線(xiàn)流動(dòng)

平行流有幾種情況：如圖xyyxvuαxyΦ＝cΨ=c第六十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日討論一般情況：1、速度場(chǎng)可分解成2、φ與ψ由積分有:第六十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日3、求流線(xiàn)同理:令有解得:流線(xiàn)是斜線(xiàn)斜率是第七十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日點(diǎn)z相同，有即全流場(chǎng)壓力為常數(shù)如α＝0，流線(xiàn)平行與x軸,如α＝90°流線(xiàn)平行與y軸，4、壓力分布平行流中各點(diǎn)速度相等，任取兩點(diǎn)寫(xiě)伯努利方程，都有在水平面上，各第七十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日二、平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯第七十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日點(diǎn)源：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)一半徑為的圓周流出流量當(dāng)時(shí)保持Q不變，則這種流動(dòng)稱(chēng)為點(diǎn)源流（若流入，稱(chēng)點(diǎn)匯），Q稱(chēng)為點(diǎn)源（匯）強(qiáng)度。1.點(diǎn)源的速度場(chǎng)由與r成反比。為源，為匯。只有徑向流動(dòng)第七十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日2.點(diǎn)源勢(shì)函數(shù)φ和流函數(shù)ψ由0積分當(dāng)φ＝const，即r=const，等勢(shì)線(xiàn)為一族同心圓。當(dāng)，故源點(diǎn)是奇點(diǎn)，不討論。第七十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日流函數(shù)ψ由0積分ψ＝const為流線(xiàn)，即θ=const，流線(xiàn)是半射線(xiàn)。等φ線(xiàn)與等ψ線(xiàn)正交。第七十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日3.點(diǎn)源的壓力分布在源上任取一點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)處寫(xiě)能量方程將，代入

有P與r成拋物線(xiàn)正比。rp;rpr0rp第七十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日三、點(diǎn)渦點(diǎn)渦：無(wú)限長(zhǎng)的直線(xiàn)渦束所形成的平面流動(dòng)。除渦線(xiàn)本身有旋外渦線(xiàn)外的流體繞渦線(xiàn)做等速圓周運(yùn)動(dòng)且無(wú)旋。這種流動(dòng)也稱(chēng)純環(huán)流。若設(shè)點(diǎn)渦的強(qiáng)度為則在半徑r處由點(diǎn)渦所誘導(dǎo)的速度為而第七十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日1.速度分布：因?yàn)橛森h(huán)量定義第七十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日2.勢(shì)函數(shù)φ流函數(shù)ψ：積分令φ＝const，即θ＝const，等勢(shì)線(xiàn)是半射線(xiàn)。0同理可求ψ：第七十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日積分令ψ＝const為流線(xiàn)，即r＝const，流線(xiàn)是圓周線(xiàn)。如圖示。3.壓力分布0此種流動(dòng)是復(fù)合渦的情況，單獨(dú)討論。第八十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日四：二元渦所謂二元渦就是前面討論的強(qiáng)迫渦加自由渦，也即復(fù)合渦的問(wèn)題。rr0ω強(qiáng)制渦復(fù)合渦自由渦第八十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日1.速度分布前面已討論過(guò)渦核內(nèi)外的速度分布：

與半徑成正比如圖。由于這部分流體有旋。與半徑r成反比。渦內(nèi)：渦外：在時(shí)當(dāng)不變處的為常數(shù)第八十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日第八十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日2、壓力分布：自由渦：由于是無(wú)旋流動(dòng)，在自由渦中任取一點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)處寫(xiě)伯努利方程：忽略位能若則將代入在自由渦中p與r成平方關(guān)系,(拋物線(xiàn)）第八十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日越靠近渦核，壓力越小，當(dāng)時(shí)渦核邊緣處與無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓力差為第八十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日渦核內(nèi)的壓力分布渦核內(nèi)是有旋的，能量方程只對(duì)流線(xiàn)成立，故只能從原始的運(yùn)動(dòng)方程入手導(dǎo)出壓力分布，其結(jié)論為：將代入即在渦核內(nèi)壓力分布也是拋物線(xiàn)第八十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日此時(shí)是常數(shù)，若設(shè)渦核中心點(diǎn)為c，當(dāng)漩渦中心點(diǎn)的壓力渦核邊緣與渦核中心的壓降為與自由渦壓降相等第八十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日由以上推導(dǎo)可知：渦核中心的壓力低于無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓力，差值為在漩渦區(qū)內(nèi)，壓力急劇下降，在漩渦中心產(chǎn)生一個(gè)很大的吸力，對(duì)渦外的物體具有抽吸作用。第八十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日§6有勢(shì)流動(dòng)疊加一、點(diǎn)源流和直線(xiàn)流的疊加1、勢(shì)函數(shù)流函數(shù)：為新的有勢(shì)流第八十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日3、駐點(diǎn)：2、速度場(chǎng)令解得駐點(diǎn)在x負(fù)軸上4、流線(xiàn)：令ψ＝c得流線(xiàn)第九十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日解得流線(xiàn)方程為：當(dāng)給出一個(gè)θ角，對(duì)應(yīng)一個(gè)距離r，如圖第九十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日駐點(diǎn)第九十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日過(guò)駐點(diǎn)的流線(xiàn)上幾個(gè)特殊點(diǎn)的確定：由數(shù)學(xué)知識(shí)故過(guò)駐點(diǎn)此時(shí)最大開(kāi)口當(dāng)當(dāng)當(dāng)上下對(duì)稱(chēng)第九十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日由于流線(xiàn)不能相交，此條流線(xiàn)可以模擬有頭無(wú)尾的半物體的固體邊界線(xiàn)。二、點(diǎn)渦＋點(diǎn)匯（螺旋流）勢(shì)函數(shù)：流函數(shù)：流線(xiàn)方程：第九十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

等勢(shì)線(xiàn)族和流線(xiàn)族是兩組互相正交的對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn)族，故稱(chēng)為螺旋流。第九十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日三、偶極子流

將強(qiáng)度為－Q的點(diǎn)匯放在坐標(biāo)原點(diǎn)的右邊，強(qiáng)度為Q的點(diǎn)源放在坐標(biāo)原點(diǎn)的左邊，

第九十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)兩點(diǎn)無(wú)限靠近所形成的流動(dòng)稱(chēng)偶極流。

1、φ函數(shù)、ψ函數(shù)式中M稱(chēng)為偶極矩，為常數(shù).第九十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日分別令φ＝c和ψ=c可得流線(xiàn)和等勢(shì)線(xiàn)。如令ψ=c有:解得：這是圓心在y軸上，與原點(diǎn)相切，半徑為的圓，圓心在第九十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日Φ=cΨ＝cxy這種流動(dòng)就好像流體在一個(gè)圓柱里面流動(dòng)，故用偶極流來(lái)模擬圓柱表面。第九十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日四、均勻流繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng)將均勻直線(xiàn)流和偶極子疊加,可模擬平行流繞圓柱體的流動(dòng).零流線(xiàn)第一百頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日1.流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù)流函數(shù)令稱(chēng)為零流線(xiàn)，有解得：第一百零一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日零流線(xiàn)是由x軸和以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓組成，由于流線(xiàn)不能相交，故可把零流線(xiàn)模擬圓柱的固體表面。由有代入φ、ψ表達(dá)式：第一百零二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日2、速度場(chǎng)在圓柱面上徑向速度為零，說(shuō)明流體沒(méi)有脫離圓柱表面，緊貼在柱面上。切向速度滿(mǎn)足正弦函數(shù)關(guān)系，與半徑無(wú)關(guān)。第一百零三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)和時(shí)，即

是駐點(diǎn)當(dāng)時(shí)，柱面上的速度以x軸y和軸對(duì)稱(chēng)。3、環(huán)量在流場(chǎng)中圍繞圓柱體任取一封閉周線(xiàn)做環(huán)量：第一百零四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日故稱(chēng)平行流繞圓柱的流動(dòng)為無(wú)環(huán)流。4、壓力分布在圓柱面上任取一點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)寫(xiě)能量方程：式中故第一百零五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日用壓力系數(shù)來(lái)表示壓力分布與r無(wú)關(guān)在柱面上，當(dāng)和時(shí)，當(dāng)時(shí)，壓力按正弦函數(shù)分布，上下對(duì)稱(chēng)（x軸）第一百零六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日左右對(duì)稱(chēng)