2023年高考數(shù)學二輪復習專題03函數(shù)的應用講學案文

專題03函數(shù)的應用求方程的根、函數(shù)的零點的個數(shù)問題以及由零點存在性定理判斷零點是否存在，利用函數(shù)模型解決實際問題是高考的熱點；備考時應理解函數(shù)的零點，方程的根和函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標的等價性；掌握零點存在性定理．增強根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型的意識，提高綜合分析、解決問題的能力．1．函數(shù)的零點與方程的根(1)函數(shù)的零點對于函數(shù)f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點．(2)函數(shù)的零點與方程根的關系函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點的橫坐標．(3)零點存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0,這個c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下兩點：①滿足條件的零點可能不唯一；②不滿足條件時，也可能有零點．(4)二分法求函數(shù)零點的近似值，二分法求方程的近似解．2．應用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序eq\f(讀題,文字語言)?eq\f(建模,數(shù)學語言)?eq\f(求解,數(shù)學應用)?eq\f(反應,檢驗作答)與函數(shù)有關的應用題，經(jīng)常涉及到物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題．解答這類問題的關鍵是確切的建立相關函數(shù)解析式，然后應用函數(shù)、方程、不等式和導數(shù)的有關知識加以綜合解答．3．在求方程解的個數(shù)或者根據(jù)解的個數(shù)求方程中的字母參數(shù)的范圍的問題時，數(shù)形結(jié)合是根本的解題方法，即把方程分拆為一個等式，使兩端都轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函數(shù)的解析式，然后構造兩個函數(shù)f(x)，g(x)，即把方程寫成f(x)＝g(x)的形式，這時方程根的個數(shù)就是兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)，可以根據(jù)圖象的變化趨勢找到方程中字母參數(shù)所滿足的各種關系.考點一函數(shù)的零點判斷例1、(1)函數(shù)f(x)＝ex＋eq\f(1,2)x－2的零點所在的區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1,2)D．(2,3)(2)偶函數(shù)y＝f(x)，x∈R滿足：f(x)＝x2－3x(x≥0)，假設函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,－\f(1,x)，x<0，))那么y＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)為()A．1B．3C．2D．4【答案】(1)B(2)B【方法技巧】函數(shù)零點的求法(1)判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點，要根據(jù)具體題目靈活處理．當能直接求出零點時，就直接求出進行判斷；當不能直接求出時，可根據(jù)零點存在性定理判斷；當用零點存在性定理也無法判斷時可畫出圖象判斷．(2)函數(shù)的零點個數(shù)求解參數(shù)范圍，可以利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點個數(shù)；也可以利用函數(shù)方程思想，構造關于參數(shù)的方程或不等式進行求解．(3)對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會通過分解轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合，看其交點的個數(shù)有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．【變式探究】設f(x)＝lnx＋x－2，那么函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【解析】選B法一：∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函數(shù)f(x)＝lnx＋x－2的圖象是連續(xù)的，∴函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間是(1,2)．法二：函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2圖象交點的橫坐標所在的范圍，如下圖，可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)．考點二、二次函數(shù)的零點例2、函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.(1)假設不等式f(x)≤0的解集為[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；(2)假設函數(shù)g(x)＝f(x)＋x2＋1在區(qū)間(1,2)上有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋5>0，,2a＋11>0，,－8<a<－4，,a<－2\r(6)或a>2\r(6)，))解得－5<a<－2eq\r(6).所以實數(shù)a的取值范圍是(－5，－2eq\r(6))．【方法技巧】解決二次函數(shù)的零點問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組．【變式探究】f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數(shù)a的取值范圍．解：設方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的兩根分別為x1，x2(x1<x2)，那么(x1－1)(x2－1)<0，即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根與系數(shù)的關系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.故實數(shù)a的取值范圍為(－2,1)．考點三、函數(shù)的實際應用例3、【2023高考四川文科】某公司為鼓勵創(chuàng)新，方案逐年加大研發(fā)獎金投入.假設該公司2023年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此根底上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12％，那么該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2023年(B)2023年(C)2023年(D)2023年【答案】B【方法技巧】解決函數(shù)實際應用題的兩個關鍵點(1)認真讀題，縝密審題，準確理解題意，明確問題的實際背景，然后進行科學地抽象概括，將實際問題歸納為相應的數(shù)學問題．(2)要合理選取參變量，設定變量之后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關系，建立相應的函數(shù)模型，最終求解數(shù)學模型使實際問題獲解．【變式探究】某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，假設該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，那么能獲得的最大利潤是()A．10.5萬元B．11萬元C．43萬元D．43.025萬元【解析】選C設公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，那么在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,2)))2＋0.1×eq\f(212,4)＋32.因為x∈[0,16]且x∈N，所以當x＝10或11時，總利潤取得最大值43萬元．【舉一反三】(2023·四川卷)某公司為鼓勵創(chuàng)新，方案逐年加大研發(fā)資金投入．假設該公司2023年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此根底上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，那么該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2023年B．2023年C．2023年D．2023年【答案】B1.【2023北京，文8】根據(jù)有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080．那么以下各數(shù)中與最接近的是〔參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48〕〔A〕1033〔B〕1053〔C〕1073〔D〕1093【答案】D【解析】設，兩邊取對數(shù)，，所以，即最接近，應選D.2.【2023江蘇，14】設是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上,其中集合，那么方程的解的個數(shù)是▲.【答案】8【解析】由于，那么需考慮的情況，在此范圍內(nèi)，且時，設，且互質(zhì)，假設，那么由，可設，且互質(zhì)，因此，那么，此時左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此，3.【2023江蘇，11】函數(shù),其中e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù).假設,那么實數(shù)的取值范圍是▲.【答案】【解析】因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，因為，所以數(shù)在上單調(diào)遞增，又，即，所以，即，解得，故實數(shù)的取值范圍為．1.【2023高考山東文數(shù)】假設函數(shù)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，那么稱具有T性質(zhì).以下函數(shù)中具有T性質(zhì)的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】當時，，，所以在函數(shù)圖象存在兩點使條件成立，故A正確；函數(shù)的導數(shù)值均非負，不符合題意，應選A.2.【2023高考山東文數(shù)】函數(shù)f(x)的定義域為R.當x＜0時，f(x)=x3-1；當-1≤x≤1時，f(-x)=—f(x)；當x＞時，f(x+)=f(x—).那么f(6)=〔〕〔A〕-2〔B〕-1〔C〕0〔D〕2【答案】D3.【2023高考四川文科】某公司為鼓勵創(chuàng)新，方案逐年加大研發(fā)獎金投入.假設該公司2023年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此根底上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12％，那么該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2023年(B)2023年(C)2023年(D)2023年【答案】B【解析】設從2023年開始第年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由得，兩邊取常用對數(shù)得應選B.20.【2023高考北京文數(shù)】函數(shù)的最大值為_________.【答案】2【解析】，即最大值為2.21.【2023高考天津文數(shù)】函數(shù)在R上單調(diào)遞減，且關于x的方程恰有兩個不相等的實數(shù)解，那么的取值范圍是_________.【答案】【解析】由函數(shù)在R上單調(diào)遞減得，又方程恰有兩個不相等的實數(shù)解，所以，因此的取值范圍是.22.【2023高考上海文科】R，函數(shù)=.〔1〕當 時，解不等式>1；〔2〕假設關于的方程+=0的解集中恰有一個元素，求的值；〔3〕設>0，假設對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.【答案】〔1〕．〔2〕或．〔3〕．【解析】即，對任意成立．因為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以時，有最小值，由，得．故的取值范圍為．1.【2023高考安徽，文14】在平面直角坐標系中，假設直線與函數(shù)的圖像只有一個交點，那么的值為.【答案】【解析】在同一直角坐標系內(nèi)，作出的大致圖像，如以下圖：由題意，可知2.【2023高考湖北，文13】函數(shù)的零點個數(shù)為_________.【答案】2.3.【2023高考湖南，文14】假設函數(shù)有兩個零點，那么實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】4.【2023高考山東，文10】設函數(shù)，假設，那么()〔A〕〔B〕〔C〕(D)【答案】D【解析】由題意，由得，或，解得，應選D.5.【2023高考上海，文21】〔本小題14分〕此題共2小題，第1小題6分，第2小題8分.如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時，他們之間的距離為〔單位：千米〕.甲的路線是，速度為5千米/小時，乙的路線是，速度為8千米/小時.乙到達地后原地等待.設時乙到達地.〔1〕求與的值；〔2〕警員的對講機的有效通話距離是3千米.當時，求的表達式，并判斷在上得最大值是否超過3？說明理由.【答案】〔1〕，千米；〔2〕超過了3千米.所以.所以當時,，故的最大值超過了3千米.6.【2023高考四川，文8】某食品的保鮮時間(單位：小時)與儲藏溫度(單位：℃)滿足函數(shù)關系(為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)).假設該食品在℃的保鮮時間是小時，在℃的保鮮時間是小時，那么該食品在℃的保鮮時間是()(A)16小時(B)20小時(C)24小時(D)21小時【答案】C【解析】由題意，得，于是當x＝33時，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24(小時)1．〔2023·湖南卷〕函數(shù)f(x)＝x2＋ex－eq\f(1,2)(x<0)與g(x)＝x2＋ln(x＋a)的圖像上存在關于y軸對稱的點，那么a的取值范圍是()A．(－∞，eq\f(1,\r(e)))B．(－∞，eq\r(e))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(e))，\r(e)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(e)，\f(1,\r(e))))【答案】B2．〔2023·天津卷〕函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.假設方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個互異的實數(shù)根，那么實數(shù)a的取值范圍為________．【答案】(0，1)∪(9，＋∞)【解析】在同一坐標系內(nèi)分別作出y＝f(x)與y＝a|x－1|的圖像如下圖．當y＝a|x－1|與y＝f(x)的圖像相切時，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－ax＋a＝－x2－3x，,a>0，))整理得x2＋(3－a)x＋a＝0，那么Δ＝(3－a)2－4a＝a2－10a＋9＝0，解得a＝1或a＝9.故當y＝a|x－1|與y＝f(x)的圖像有四個交點時，0<a<1或a>9.3．〔2023·浙江卷〕函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，那么()A．c≤3B．3<c≤6C．6<c≤9D．c>9【答案】C4．〔2023·全國卷〕假設函數(shù)f(x)＝cos2x＋asinx在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))是減函數(shù)，那么a的取值范圍是________．【答案】(－∞，2]【解析】f(x)＝cos2x＋asinx＝－2sin2x＋asinx＋1，令sinx＝t，那么f(x)＝－2t2＋at＋1.因為x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，所以t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所以f(x)＝－2t2＋at＋1，t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).因為f(x)＝cos2x＋asinx在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))是減函數(shù)，所以f(x)＝－2t2＋at＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是減函數(shù)，又對稱軸為x＝eq\f(a,4)，∴eq\f(a,4)≤eq\f(1,2)，所以a∈(－∞，2]．5．〔2023·福建卷〕假設函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖像如圖1-1所示，那么以下函數(shù)圖像正確的選項是()圖1-1ABCD【答案】B6．〔2023·江西卷〕函數(shù)f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．假設f[g(1)]＝1，那么a＝()A．1B．2C．3D．－1【答案】A【解析】g(1)＝a－1，由f[g(1)]＝1，得5|a－1|＝1，所以|a－1|＝0，故a＝1.7．〔2023·遼寧卷〕a＝2－eq\f(1,3)，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，那么()A．a(chǎn)>b>cB．a(chǎn)>c>bC．c>a>bD．c>b>a【答案】C【解析】因為0<a＝2－eq\f(1,3)<1，b＝log2eq\f(1,3)<0，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)>logeq\f(1,2)eq\f(1,2)＝1，所以c>a>b.8．〔2023·山東卷〕設集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，那么A∩B＝()A．[0，2]B．(1，3)C．[1，3)D．(1，4)【答案】C【解析】根據(jù)得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．應選C.9．〔2023·山東卷〕實數(shù)x，y滿足ax＜ay(0＜a＜1)，那么以下關系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sinx＞sinyD.x3＞y3【答案】D【解析】因為ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sinx＞siny，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)都不一定正確，應選D.10．〔2023·陜西卷〕以下函數(shù)中，滿足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)〞的單調(diào)遞增函數(shù)是()A．f(x)＝xeq\f(1,2)B．f(x)＝x3C．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)D．f(x)＝3x【答案】B【解析】由于f(x＋y)＝f(x)f(y)，故排除選項A，C.又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以排除選項D.11．〔2023·山東卷〕實數(shù)x，y滿足ax＜ay(0＜a＜1)，那么以下關系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sinx＞sinyD.x3＞y3【答案】D【解析】因為ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sinx＞siny，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)都不一定正確，應選D.12．〔2023·山東卷〕函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(〔log2x〕2－1))的定義域為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)【答案】C【解析】根據(jù)題意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,〔log2〕2－1＞0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,x＞2或x＜\f(1,2).))應選C.13．〔2023·福建卷〕假設函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖像如圖1-1所示，那么以下函數(shù)圖像正確的選項是()圖1-1ABCD【答案】B【解析】由函數(shù)y＝logax的圖像過點(3，1)，得a＝3.選項A中的函數(shù)為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，那么其函數(shù)圖像不正確；選項B中的函數(shù)為y＝x3，那么其函數(shù)圖像正確；選項C中的函數(shù)為y＝(－x)3，那么其函數(shù)圖像不正確；選項D中的函數(shù)為y＝log3(－x)，那么其函數(shù)圖像不正確．14．〔2023·廣東卷〕假設等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，那么lna1＋lna2＋…＋lna【答案】5015．〔2023·遼寧卷〕a＝2－eq\f(1,3)，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，那么()A．a(chǎn)>b>cB．a(chǎn)>c>bC．c>a>bD．c>b>a【答案】C【解析】因為0<a＝2－eq\f(1,3)<1，b＝log2eq\f(1,3)<0，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)>logeq\f(1,2)eq\f(1,2)＝1，所以c>a>b.16．〔2023·天津卷〕函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)【答案】D【解析】要使f(x)單調(diào)遞增，需有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4>0