2023年高考數(shù)學(xué)專題46用正難則反思想求互斥事件的概率黃金解題模板

專題46用正難那么反思想求互斥事件的概率【高考地位】互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，求對(duì)立事件的概率是“正難那么反〞思想的具體應(yīng)用，在高考中時(shí)有考查。在高考中多以選擇題、填空題的形式考查，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題中，屬容易題。【方法點(diǎn)評(píng)】方法用正難那么反思想求互斥事件的概率使用情景：求互斥事件的概率．解題模板：第一步首先要準(zhǔn)確理解題意，善于從圖表信息中提煉數(shù)據(jù)關(guān)系，明確數(shù)字特征含義；第二步然后正確判定事件間的關(guān)系，善于將A轉(zhuǎn)化為互斥事件的和或?qū)α⑹录?，切忌盲目代入概率加法公式；第三步得出結(jié)論.例1.袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球．從中一次隨機(jī)摸出2只球，那么這2只球顏色不同的概率為________．【答案】【解析】所求概率為1－＝.例2、黃種人人群中各種血型的人數(shù)所占的比例見下表：血型ABABO該血型的人數(shù)所占的比例28%29%8%35%同種血型的人可以互相輸血，O型血的人可以給任一種血型的人輸血，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血．小明是B型血，假設(shè)他因病需要輸血，問：(1)任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是多少？(2)任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是多少？解法二：“任找一個(gè)人，其血不能輸給小明〞的對(duì)立事件是“任找一個(gè)人，其血可以輸給小明〞，由對(duì)立事件概率公式結(jié)合(1)知所求概率為1－0.64＝0.36.例3、一個(gè)袋中裝有1紅、2白和2黑共5個(gè)小球，這5個(gè)球除顏色外其它都相同，現(xiàn)從袋中任取2個(gè)球，那么至少取到1個(gè)白球的概率為__________．【答案】【解析】“至少一個(gè)白球〞的對(duì)立事件為“沒有白球〞，所以【變式演練1】甲、乙二人玩數(shù)字游戲，先由甲任想一數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛剛想的數(shù)字，把乙猜出的數(shù)字記為b，且a，b∈{1,2,3}，假設(shè)|a－b|≤1，那么稱甲、乙“心有靈犀〞．現(xiàn)任意找兩個(gè)人玩這個(gè)游戲，那么他們“心有靈犀〞的概率為()A.B.C.D.【答案】D考點(diǎn)：互斥事件.【變式演練2】甲、乙兩名射擊運(yùn)發(fā)動(dòng)分別對(duì)一個(gè)目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為，乙射中的概率為，求：〔1〕2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率；〔2〕2人至少有1人射中目標(biāo)的概率.【解析】記“甲射擊1次，擊中目標(biāo)〞為事件A，“乙射擊1次，擊中目標(biāo)〞為事件B，那么A與B，與B，A與，與為相互獨(dú)立事件，(1)“2人各射擊1次，恰有1人射中目標(biāo)〞包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中(事件發(fā)生)，另一種是甲未擊中、乙擊中(事件發(fā)生)根據(jù)題意，事件與互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的概率為：.∴2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率是0.26．6分(2)(法1)：2人至少有1人射中包括“2人都中〞和“2人有1人不中〞2種情況，其概率為.(法2)：“2人至少有一個(gè)擊中〞與“2人都未擊中〞為對(duì)立事件，2個(gè)都未擊中目標(biāo)的概率是，∴“兩人至少有1人擊中目標(biāo)〞的概率為．【變式演練3】有5張大小相同的卡片分別寫著數(shù)字1、2、3、4、5，甲，乙二人依次從中各抽取一張卡片〔不放回〕，試求：〔1〕甲抽到寫有奇數(shù)數(shù)字卡片，且乙抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片的概率；〔2〕甲、乙二人至少抽到一張偶數(shù)數(shù)字卡片的概率?！敬鸢浮俊?〕甲抽到奇數(shù)，乙抽到偶數(shù)的抽法共有6種，所求概率為〔2〕甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的概率【高考再現(xiàn)】1.【2023年高考北京理數(shù)】袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個(gè)空盒.每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否那么就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，那么〔〕A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【答案】C考點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)分析.【名師點(diǎn)睛】此題將小球與概率知識(shí)結(jié)合，創(chuàng)新味十足，是能力立意的好題.如果所求事件對(duì)應(yīng)的根本領(lǐng)件有多種可能，那么一般我們通過逐一列舉計(jì)數(shù)，再求概率，此題即是如此.列舉的關(guān)鍵是要有序(有規(guī)律)，從而確保不重不漏.另外注意對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用.2.【2023年高考北京理數(shù)】〔本小題13分〕A、B、C三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了局部學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表〔單位：小時(shí)〕；A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5〔1〕試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù)；〔2〕從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對(duì)獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率；〔3〕再從A、B、C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7，9，8.25〔單位：小時(shí)〕，這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，試判斷和的大小，〔結(jié)論不要求證明〕【答案】〔1〕40；〔2〕；〔3〕.【解析】試題分析：〔Ⅰ〕根據(jù)圖表判斷C班人數(shù)，由分層抽樣的抽樣比計(jì)算C班的學(xué)生人數(shù)；〔Ⅱ〕根據(jù)題意列出“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)〞的所有事件，由獨(dú)立事件概率公式求概率.〔Ⅲ〕根據(jù)平均數(shù)公式進(jìn)行判斷即可.試題解析：〔1〕由題意知，抽出的名學(xué)生中，來自班的學(xué)生有名，根據(jù)分層抽樣方法，班的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為；〔2〕設(shè)事件為“甲是現(xiàn)有樣本中班的第個(gè)人〞，，事件為“乙是現(xiàn)有樣本中班的第個(gè)人〞，，由題意可知，，；，，，,.設(shè)事件為“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)〞，由題意知，因此〔3〕根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式即可知，.考點(diǎn)：1.分層抽樣；2.獨(dú)立事件的概率；3.平均數(shù)3.【2023高考山東理數(shù)】〔本小題總分值12分〕甲、乙兩人組成“星隊(duì)〞參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，那么“星隊(duì)〞得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，那么“星隊(duì)〞得1分；如果兩人都沒猜對(duì)，那么“星隊(duì)〞得0分.甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)〞參加兩輪活動(dòng)，求：〔I〕“星隊(duì)〞至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率；〔Ⅱ〕“星隊(duì)〞兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕分布列見解析，【解析】試題分析：〔Ⅰ〕找出“星隊(duì)〞至少猜對(duì)3個(gè)成語所包含的根本領(lǐng)件，由獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；〔Ⅱ〕由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得到X的分布列，根據(jù)期望公式求解.(Ⅱ)由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得,,,,,.可得隨機(jī)變量X的分布列為X012346P所以數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)：1.獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【名師點(diǎn)睛】此題主要考查獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答此題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的根本領(lǐng)件空間、根本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，利用獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.此題較難，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、根本運(yùn)算求解能力等.【反應(yīng)練習(xí)】1.口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色卡片各2張，一次取出2張卡片，那么與事件“2張卡片都為紅色〞互斥而非對(duì)立的事件是以下事件“①2張卡片都不是紅色；②2張卡片恰有一張紅色；③2張卡片至少有一張紅色；④2張卡片恰有兩張綠色〞中的哪幾個(gè)？〔〕A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③④【答案】A2.袋中有形狀、大小都相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅球、2個(gè)白球.從中隨機(jī)一次摸出2個(gè)球，那么這2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率為〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】袋中有形狀、大小都相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅球，2個(gè)白球。從中隨機(jī)一次摸出2個(gè)球，根本領(lǐng)件總數(shù)，這2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的對(duì)立事件是這2個(gè)球中都是紅球，∴這2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率.應(yīng)選：D.3.甲、乙兩人下象棋，甲獲勝的概率為30%，兩人下成和棋的概率為50%，那么乙獲勝的概率為____，甲不輸?shù)母怕蕿開___.【答案】20%80%4.口袋中有假設(shè)干紅球、黃球與藍(lán)球，摸出紅球的概率為0.45，摸出紅球或黃球的概率為0.65，那么摸出紅球或藍(lán)球的概率為___．【答案】0.8【解析】由題意，摸出紅球的概率為，摸出紅球或黃球的概率為，故摸出藍(lán)色球的概率為，故摸出紅球或藍(lán)球的概率為，故答案為.5.甲、乙兩人玩一種游戲：在裝有質(zhì)地、大小完全相同，編號(hào)分別為1，2，3，4，5五個(gè)球的口袋中，甲先摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，放回后乙再摸一個(gè)球，記下編號(hào)，如果兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)算甲贏，否那么算乙贏.〔1〕求甲贏且編號(hào)和為6的事件發(fā)生的概率；〔2〕這種游戲規(guī)那么公平嗎？試說明理由.【答案】〔1〕；〔2〕不公平.理由參考解析【解析】試題分析：〔1〕因?yàn)橛螒蛞?guī)那么是編號(hào)分別為1，2，3，4，5五個(gè)球的口袋中，甲先摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，放回后乙再摸一個(gè)球，記下編號(hào)如果兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)算甲贏，否那么算乙贏.該游戲是有放回的，所以總共的根本領(lǐng)件有25種，再列出符合條件的根本領(lǐng)件數(shù)即可得到結(jié)論.〔2〕由于題意可知甲獲勝的根本領(lǐng)件共有13個(gè)，所以甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率所以這個(gè)游戲不公平.試題解析：〔1〕設(shè)“兩個(gè)編號(hào)和為6”〔3，3〕，〔4，2〕，〔5，1〕共5個(gè)，又甲、乙兩人取出的數(shù)字共有5×5＝25〔個(gè)〕等可能的結(jié)果，故.〔2〕設(shè)甲勝為事件B,乙勝為事件C，那么甲勝即兩編號(hào)和為偶數(shù)所包含的根本領(lǐng)件數(shù)有13個(gè)：(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)。所以甲勝的概率,乙勝的概率(可省略)所以這種游戲規(guī)那么是不公平的.考點(diǎn)：1.概率的問題.2.列舉分類的思想.3.事件的互斥的概念.6.某超市為了了解顧客的購物量及結(jié)算