2021北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)（教師版）

14/142021北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共40分.每題只有一個(gè)正確答案，將正確答案的序號(hào)填在答題卡上）1.下列說法正確的是（）（均指在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊在軸正半軸上）A.第一象限角一定是銳角 B.終邊相同的角一定相等；C.小于90°的角一定是銳角 D.鈍角的終邊在第二象限2.時(shí)間經(jīng)過4小時(shí)，分針轉(zhuǎn)的弧度數(shù)為（）A. B. C. D.3.如果且，則所在的象限是（）A.第一象限角 B.第二象限C.第三象限角 D.第四象限4.已知角的終邊在直線上，則的值為（）A. B. C. D.5.已知，則的值為（）A. B.18 C. D.6.化簡的結(jié)果為（）A. B. C. D.7.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.8.已知△ABC的內(nèi)角A滿足，則A等于（）A. B. C.或 D.或9.在函數(shù)①，②，③，④中，最小正周期為的所有函數(shù)為（）A.②④ B.①③④ C.①②③ D.②③④10.設(shè)函數(shù)，下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為（）①是奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，；③是周期函數(shù)；④存在無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；⑤，，使得且A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、填空題（本大題6小題，每小題5分，共30分，將正確答案填在答題紙上）11.已知?jiǎng)t的最大值是____________.12.函數(shù)的最小正周期是_________.13.函數(shù)的最大值為_____________，此時(shí)_________.14.已知點(diǎn)，向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后等于，求點(diǎn)的坐標(biāo)為_____.15.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象至少向右平移_____個(gè)單位長度得到．16.已知正方形的邊長為1，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是________；最小值是________.三.解答題（本大題共3小題，共30分，寫出必要的解答過程，將答案寫在答題紙上）17.如圖，已知函數(shù)的圖象(部分).（1）分別求出函數(shù)的最小正周期和的值；（2）直接寫出函數(shù)值域；（3）直接寫出函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)和一條對(duì)稱軸方程.18.已知向量，.（1）求；（2）求向量與夾角.19.已知函數(shù).（1）求的值；（2）求當(dāng)何值時(shí)，函數(shù)取到最大值，最大值為多少？20.設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和最大值，并指出取得最大值時(shí)的值；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求表達(dá)式和單調(diào)遞增區(qū)間.21.在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知，，．（1）求角的大??；（2）求的面積．22.定義向量的“伴隨函數(shù)”為；函數(shù)的“伴隨向量”為.（1）寫出的“伴隨函數(shù)”，并直接寫出的最大值；（2）寫出函數(shù)的“伴隨向量”為，并求；（3）已知，的“伴隨函數(shù)”為，的“伴隨函數(shù)”為，設(shè)，且的伴隨函數(shù)為，其最大值為，①若，，求值；②求證：向量的充要條件是.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共40分.每題只有一個(gè)正確答案，將正確答案的序號(hào)填在答題卡上）1.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)象限角、銳角、終邊相同的角的概念即可區(qū)分出答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，不正確，如，都是第一象限角，但它們不是銳角；對(duì)于選項(xiàng)B，不正確，如與的終邊相同，但它們不相等；對(duì)于選項(xiàng)C，不正確，如不是銳角(銳角的取值范圍是到)；對(duì)于選項(xiàng)D，正確．(鈍角的取值范圍是到)．故選：D2.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分針按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)了4圈，求出分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)即可【詳解】根據(jù)分針經(jīng)過4小時(shí)，分針按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)了4圈，所以分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為故選：D3.【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)的符號(hào)法則判斷即可【詳解】由，可知所在第三或第四象限或者軸非正半軸上由，可知所在第二或第三象限或者軸非正半軸上所以在第三象限故選：C4.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)得定義求解即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)直線上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2m）（）則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）根據(jù)正弦函數(shù)的定義得：時(shí)，；時(shí)，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)A，B，D錯(cuò)誤故選：C5.【答案】A【解析】【分析】先進(jìn)行切化弦，然后直接把代入即可求解.【詳解】,因?yàn)椋栽?故選：A6.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡整理即可求出結(jié)果.【詳解】,故選：C7.【答案】C【解析】【分析】由題意，即求的減區(qū)間，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．【詳解】函數(shù)的增區(qū)間，即的減區(qū)間，為，，．結(jié)合，，可得的減區(qū)間為，，故選：．8.【答案】D【解析】【分析】直接由正弦值與角范圍求解即可【詳解】，則A等于或故選：D9.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的解析式，求出各個(gè)函數(shù)的最小正周期，從而得出結(jié)論．【詳解】∵=，∴==；圖象是將=在軸下方的圖像對(duì)稱翻折到軸上方得到，所以周期為，由周期公式知，為，為，故選：C.10.【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)性質(zhì)，周期性單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系判斷①②③④⑤的結(jié)論.【詳解】函數(shù)，對(duì)于①：函數(shù)故函數(shù)f(x)是奇函數(shù),故①正確；對(duì)于②：令，所以由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)x→0時(shí),→0,當(dāng)x→時(shí),即→+故當(dāng)時(shí),使得即時(shí),時(shí),故g(x)在上單調(diào)遞增,g(x)在上單調(diào)遞減,而x→0和時(shí),→0,所以g(x)>0,由于中，x取時(shí)，，故，，所以，所以，故②正確；對(duì)于③,假設(shè)函數(shù)的周期為T，則對(duì)一切x都成立，取x=0時(shí),則得到，再取時(shí),則故，所以明顯T無解，故假設(shè)錯(cuò)誤，故不是周期函數(shù).故③錯(cuò)誤；對(duì)于④,令解得，取時(shí)，，整理得，故存在無數(shù)個(gè)零點(diǎn).故④正確；對(duì)于⑤,令，則所以,所以，由于k和x1和x2相對(duì)應(yīng),故x1-x2不能取任意值,故并不總成立,故⑤錯(cuò)誤.故選:C.【點(diǎn)睛】（1）函數(shù)奇偶性、周期性的判斷通常用定義進(jìn)行驗(yàn)證；（2）要證明一個(gè)命題為真命題，需要嚴(yán)格的證明；要判斷一個(gè)命題為假命題，舉一個(gè)反例就可以了.二、填空題（本大題6小題，每小題5分，共30分，將正確答案填在答題紙上）11.【答案】【解析】【分析】用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為，利用正弦函數(shù)的有界性即可求出的最大值.【詳解】由，可得：因?yàn)?，所以，所以，所以即的最大值?2.故答案為：-212.【答案】【解析】【分析】利用降冪公式化簡再求最小正周期即可.【詳解】,故最小正周期是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了降冪公式與三角函數(shù)最小正周期,屬于基礎(chǔ)題型.13.【答案】①.3②.【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合的范圍求解最大值即可．【詳解】函數(shù)是增函數(shù)，所以時(shí)，函數(shù)取得最大值：3．故答案為：3；．14.【答案】【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)特點(diǎn)可知兩向量模長相等且互相垂直，由此可構(gòu)造方程組求得，根據(jù)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，又，由題意得：，即，解得或(舍去)所以.故答案為：15.【答案】【解析】【詳解】試題分析：,故應(yīng)至少向右平移個(gè)單位.考點(diǎn)：1、三角恒等變換；2、圖象的平移.16.【答案】①.1②.【解析】【分析】如圖，建立坐標(biāo)系，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出【詳解】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值，，因?yàn)?，所以最大值?，故答案為：1，三.解答題（本大題共3小題，共30分，寫出必要的解答過程，將答案寫在答題紙上）17.【答案】（1）；（2）[―2，2]；（3）對(duì)稱中心，對(duì)稱軸方程.【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象中的最大值求出，求出周期，進(jìn)而求得，帶入點(diǎn)，即可求出；（2）根據(jù)圖象求出函數(shù)的最大值和最小值，即可求出函數(shù)的值域；（3）根據(jù)對(duì)稱軸和對(duì)稱中心概念結(jié)合函數(shù)圖象即可直接寫出結(jié)果.【詳解】（1）由圖象可知，，又因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以，則，且，所以，所以；（2）由圖象知，；所以函數(shù)值域?yàn)椋唬?）由圖象知是函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程，是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心.18.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的加法運(yùn)算求出，根據(jù)利用坐標(biāo)即可計(jì)算出向量的模長；（2）利用向量的夾角公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橄蛄浚裕?（2）因?yàn)?，所以，所以向量與的夾角為.19.【答案】（1）；（2），最大值6.【解析】【分析】（1）令代入即可求解；（2）化簡函數(shù)的解析式，令，將函數(shù)化簡為，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，進(jìn)而可以求解．【詳解】（1）（2）令，，則，，，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，此時(shí)，時(shí)，，故當(dāng)，時(shí)，的最大值為6．20.【答案】（1），，；（2），.【解析】【分析】(1)將函數(shù)化為的形式，再求函數(shù)的最小正周期和最大值，及此時(shí)取得最大值時(shí)的值即可；(2)根據(jù)圖象變換求出的解析式，再求其單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】(1)所以周期；當(dāng)，即時(shí)，.(2)由題意知，，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.21.【答案】（1）；（2）．【解析】【詳解】試題分析：（1）先由正弦定理求得與的關(guān)系，然后結(jié)合已知等式求得的值，從而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，從而由的范圍取舍的值，進(jìn)而由面積公式求解．試題解析：（1）在中，由正弦定理，得，即.又因?yàn)?，所?因?yàn)闉殇J角三角形，所以.（2）在中，由余弦定理，得，即.解得或.當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋越菫殁g角，不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，又，所以為銳角三角形，符合題意.所以的面積.考點(diǎn)：1、正余弦定理；2、三角形面積公式．22.【答案】（1）；最大值為；（2）,；（3）①；②證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)伴隨函數(shù)的定義寫出函數(shù)結(jié)合輔助角公式化簡整理，即可求出最值；（2