精選模糊層次分析法講義

（優(yōu)選）模糊層次分析法第一頁，共六十二頁。關(guān)于部分現(xiàn)實世界為一定目的而做的抽象、簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁怎樣構(gòu)架這座橋梁？數(shù)學(xué)模型(E.A.Bendar定義)：第二頁，共六十二頁。現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)世界建立數(shù)學(xué)模型推理演繹求解翻譯為實際解答實際解答：如對現(xiàn)實對象的分析、預(yù)報、決策、控制等結(jié)果。始于現(xiàn)實世界并終于現(xiàn)實世界第三頁，共六十二頁。求解數(shù)學(xué)模型

實際問題分析建立數(shù)學(xué)模型提交論文與報告

模型與模型解的分析及檢驗

數(shù)學(xué)建模的各階段工作第四頁，共六十二頁。遇到難題第五頁，共六十二頁。苦思冥想第六頁，共六十二頁。問題的前期分析包括：明確問題、分析條件、分析數(shù)據(jù)等為什么問題前期分析至關(guān)重要？數(shù)學(xué)建模問題往往含混不清,可能的原因有:*提出問題的人未能清楚地表述問題。*不同領(lǐng)域的人交流出現(xiàn)故障。*各領(lǐng)域的應(yīng)用者提出問題時,未給出恰當(dāng)?shù)臈l件。

第七頁，共六十二頁。數(shù)學(xué)建模常用的方法類比法量綱分析法差分法變分法圖論法層次分析法數(shù)據(jù)擬合法回歸分析法數(shù)學(xué)規(guī)劃（線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，動態(tài)規(guī)劃，目標(biāo)規(guī)劃）第八頁，共六十二頁。數(shù)學(xué)建模常用的方法機理分析法排隊方法對策方法決策方法模糊評判方法時間序列方法灰色理論方法現(xiàn)代優(yōu)化算法（禁忌搜索算法，模擬退火算法，遺傳算法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）第九頁，共六十二頁。層次分析模型背景日常工作、生活中的決策問題涉及經(jīng)濟、社會等方面的因素作比較判斷時人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化

Saaty于1970年代提出層次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)

AHP——一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法第十頁，共六十二頁。國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻(xiàn)收入發(fā)展聲譽關(guān)系位置供選擇的崗位例1

國家實力分析例2

工作選擇第十一頁，共六十二頁。待評價的科技成果直接經(jīng)濟效益

C11間接經(jīng)濟效益

C12社會效益

C13學(xué)識水平

C21學(xué)術(shù)創(chuàng)新

C22技術(shù)水平

C23技術(shù)創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例3科技成果的綜合評價第十二頁，共六十二頁。目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1小龍山P3天柱山準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.第十三頁，共六十二頁。“選擇旅游地”思維過程的歸納將決策問題分為3個層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重。將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對目標(biāo)的權(quán)重，給出決策問題的定量結(jié)果。第十四頁，共六十二頁。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。第十五頁，共六十二頁。層次分析法的基本步驟2.構(gòu)造成對比較陣設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對目標(biāo)O的重要性A稱為成對比較陣An×n為正互反陣表示Ci與Cj對目標(biāo)O的影響之比。就是說1.建立層次分析結(jié)構(gòu)模型第十六頁，共六十二頁。2468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強強明顯強絕對強aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：第十七頁，共六十二頁。層次分析法的基本步驟C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途O(選擇旅游地)第十八頁，共六十二頁。特別地，成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍第十九頁，共六十二頁。考察完全一致的情況------表示在O中的比重。第二十頁，共六十二頁。滿足的正互反陣A稱一致陣。

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對應(yīng)于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)第二十一頁，共六十二頁。已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n

階正互反陣最大特征根

n,且

=n時為一致陣定義一致性指標(biāo):CI越大，不一致越嚴(yán)重為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標(biāo)RI3.計算權(quán)向量并作一致性檢驗第二十二頁，共六十二頁。RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110定義一致性比率CR=CI/RI

當(dāng)CR<0.1時，通過一致性檢驗Saaty的結(jié)果如下3.計算權(quán)向量并作一致性檢驗第二十三頁，共六十二頁?！斑x擇旅游地”中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗準(zhǔn)則層對目標(biāo)的成對比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1第二十四頁，共六十二頁。通過一致性檢驗第二十五頁，共六十二頁。記第2層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)4.計算組合權(quán)向量

=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T第二十六頁，共六十二頁。第3層對第2層的計算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗

w(2)

方案P1對目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標(biāo)的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T第二十七頁，共六十二頁。組合權(quán)向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第1層的權(quán)向量第3層對第2層各元素的權(quán)向量構(gòu)造矩陣則第3層對第1層的組合權(quán)向量第二十八頁，共六十二頁。第s層對第1層的組合權(quán)向量其中W(p)是由第p層對第p-1層權(quán)向量組成的矩陣第二十九頁，共六十二頁。層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)—準(zhǔn)則或指標(biāo)—方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對獨立。2）構(gòu)造成對比較陣用成對比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。3）計算權(quán)向量并作一致性檢驗對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權(quán)向量。4）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。第三十頁，共六十二頁。層次分析法的優(yōu)點

系統(tǒng)性——將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策——系統(tǒng)分析（與機理分析、測試分析并列）；

實用性——定性與定量相結(jié)合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題；

簡潔性——計算簡便，結(jié)果明確，便于決策者直接了解和掌握。第三十一頁，共六十二頁。層次分析法的局限

囿舊——只能從原方案中選優(yōu)，不能產(chǎn)生新方案；粗略——定性化為定量，結(jié)果粗糙；主觀——主觀因素作用大，結(jié)果可能難以服人。第三十二頁，共六十二頁。模糊層次分析法第三十三頁，共六十二頁。從禿頭悖論中體會模糊邏輯公設(shè):(1)存在禿頭的人和非禿頭的人。(2)若有n根頭發(fā)的人禿,則有n+1根頭發(fā)的人亦禿。由此便會導(dǎo)致禿頭悖論：所有人都禿。證明對n用數(shù)學(xué)歸納法。(i)n=0的人顯然是禿頭。(ii)假定n=k的人是禿頭。(iii)由公設(shè)(2),n=k+1的人也是禿頭。于是由數(shù)學(xué)歸納法原理知,對于任意的n≥0,有n根頭發(fā)的人都是禿頭。從而所有人都禿。第三十四頁，共六十二頁。下面的例子中說明隨機性和模糊性的區(qū)別：假如你不幸在沙漠迷了路,而且?guī)滋鞗]喝過水,這時你見到兩瓶水,其中一瓶貼有標(biāo)簽：“純凈水概率是0.81”,

另一瓶標(biāo)著“純凈水的程度是0.81”。你選哪一瓶呢？相信會是后者。因為后者的水雖然不太干凈,但肯定沒毒,這里的0.81表現(xiàn)的是水的純凈程度而非“是不是純凈水”,而前者則表明有19％的可能不是純凈水(換句話說就是:可能有毒)。第三十五頁，共六十二頁。什么是"模糊數(shù)學(xué)"

模糊概念的外延是不明確的,其邊界是不清晰的,因而相應(yīng)的集合也是“模糊”的。就是說一個對象是否屬于這個集合,不能簡單地用“是”或“否”來回答。比如,對于“年輕人”這個概念,若要判斷20歲的張三或80歲的李四是否是“年輕人”,答案自然是明確的！但要判斷28歲~35歲左右的人是否屬于“年輕人”的集合,就不那么好確定了。第三十六頁，共六十二頁。什么是"模糊數(shù)學(xué)"

為了克服Cantor集的不足,1965年美國控制論專家L.A.Zadeh(1921~)發(fā)表了著名論文FuzzySets,這標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生。第三十七頁，共六十二頁。從名人那里了解模糊數(shù)學(xué)Zadeh于1921年出生在前蘇聯(lián)的阿塞拜疆(Azerbaijian)共和國,母親是俄羅斯人,父親是伊朗人,從事進(jìn)出口生意,家境富裕。Zadeh在前蘇聯(lián)上小學(xué),接受十月革命后的共產(chǎn)主義教育。后來由于政局動蕩,Zadeh的父母把他送到伊朗的美國學(xué)校,并在伊朗UniversityofTeheran完成了大學(xué)教育。第三十八頁，共六十二頁。1944年Zadeh到了美國,就讀MIT,1946年獲得碩士學(xué)位后轉(zhuǎn)到Columbia大學(xué)繼續(xù)深造,于1949年獲博士學(xué)位,并留校任教。Zadeh是現(xiàn)代控制理論的開創(chuàng)者之一,他首先提出了狀態(tài)空間的概念,并是系統(tǒng)理論(systemtheory)這個名詞的發(fā)明者。1959年Zadeh離開Columbia轉(zhuǎn)去Berkeley,一直工作到現(xiàn)在。從名人那里了解模糊數(shù)學(xué)第三十九頁，共六十二頁。說話炒菜都在玩"模糊數(shù)學(xué)"

劉應(yīng)明(1940-)福建福州市人,數(shù)學(xué)家,1995年當(dāng)選為中國科學(xué)院院士。主要從事拓?fù)鋵W(xué)與不確定性(主要是模糊性)數(shù)學(xué)處理等方面的教學(xué)與科學(xué)研究,并取得多項重要成果。完成了與模糊信息處理有關(guān)的國家“863”課題及國家基金重大項目,推動了我國模糊技術(shù)產(chǎn)業(yè)化。已發(fā)表研究論文100余篇,并獲國家自然科學(xué)獎等多種獎勵。第四十頁，共六十二頁。青年人的學(xué)習(xí)榜樣應(yīng)明生,1964年5月出生,清華大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)系智能技術(shù)與系統(tǒng)國家重點實驗室教授、博士生導(dǎo)師、教育部“長江學(xué)者獎勵計劃”特聘教授。中國系統(tǒng)工程學(xué)會模糊系統(tǒng)與模糊數(shù)學(xué)學(xué)會理事長(專業(yè)委員會主任)。主要從事形式化方法、人工智能基礎(chǔ)理論、量子計算、模糊邏輯等方面的研究工作,在國際權(quán)威刊物上發(fā)表一系列有重要影響的論文。曾先后在巴黎第六(居里夫婦)大學(xué)，意大利Salerno大學(xué)、Napoli大學(xué),德國慕尼黑大學(xué)、Mannheim大學(xué)，香港城市大學(xué),芬蘭Turku計算機科學(xué)中心訪問研究。第四十一頁，共六十二頁。王國俊,1935年11月5日生于北京,1958年畢業(yè)于西安師范學(xué)院(今陜西師范大學(xué))數(shù)學(xué)系。大學(xué)畢業(yè)后在中學(xué)任教,1978年調(diào)回母校,1983年任教授。1986年被國務(wù)院專家組評為博士生導(dǎo)師,1988年被人事部評為國家級有突出貢獻(xiàn)的專家。1987年元月至1994年10月?lián)侮兾鲙煼洞髮W(xué)校長?，F(xiàn)任陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長,兼任中國模糊系統(tǒng)學(xué)會副理事長,中國計算機學(xué)會多值邏輯專業(yè)委員會副主任。曾任陜西省數(shù)學(xué)會理事長。

第四十二頁，共六十二頁。第四十三頁，共六十二頁。第四十四頁，共六十二頁。第四十五頁，共六十二頁。模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用診斷病情、開處方給出治療方案換藥、填寫護(hù)士值班記錄配藥、發(fā)藥第四十六頁，共六十二頁。模糊數(shù)學(xué)（FuzzyMathematics）其基本思想是：把經(jīng)典集合中的隸屬關(guān)系加以擴充，使元素對“集合”的隸屬程度由只能取0與1這兩個值推廣到可以取單位區(qū)間[0,1]中的任意一數(shù)值。第四十七頁，共六十二頁。表示Ci與Cj對目標(biāo)O的影響之比。A稱為成對比較陣Ann為正互反陣就是說第四十八頁，共六十二頁。模糊層次分析法的關(guān)鍵是模糊一致矩陣模糊矩陣模糊互補陣模糊一致陣模糊互補陣第四十九頁，共六十二頁。模糊一致矩陣性質(zhì)構(gòu)造模糊一致矩陣對模糊互補陣按行求和，記實施如下變換：第五十頁，共六十二頁。模糊一致矩陣中元素的意義模糊一致矩陣當(dāng)表示元素i與元j同樣重要；當(dāng)表示元素j比元素i重要；當(dāng)表示元素i比元素j重要；第五十一頁，共六十二頁。例港址的選擇A效益B1經(jīng)濟B2人文B5環(huán)境B4技術(shù)B3區(qū)域B6方案組C11,C12C13,C14方案組C21,C22C23,C24方案組C31,C32C33,C34方案組C41,C42C43,C44方案組C51,C52C53,C54方案組C61,C62C63,C64第五十二頁，共六十二頁。1.列出層次結(jié)構(gòu)：最高層為最優(yōu)目標(biāo)，中間層是最優(yōu)方案相關(guān)的元素，最低層是專家評價。2.寫出A-B優(yōu)先關(guān)系矩陣，方法如下：其中當(dāng)因素Bi比因素Bj重要時，rij=1；當(dāng)因素Bi與因素Bj同樣重要時，rij=0.5；當(dāng)因素Bi不如因素Bj重要時，rij=0。第五十三頁，共六十二頁。AB1B2B3B4B5B6B10.511111B200.50.5111B30