2018屆數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)第五章數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE19-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度1。了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）；2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).1.以考查Sn與an的關(guān)系為主，簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系也是考查的熱點(diǎn)；2.題型以選擇題、填空題為主，要求相對(duì)較低,但內(nèi)容很重要，特別是Sn與an的關(guān)系，對(duì)以后研究數(shù)列的通項(xiàng)有很重要的作用。2015，全國(guó)卷Ⅰ，17,12分（遞推通項(xiàng)、求和）2014，全國(guó)卷Ⅰ,17，12分（遞推、通項(xiàng)、等差）2014，全國(guó)卷Ⅱ，17，12分(遞推、等比、求和)2016，浙江卷，13,6分（an與Sn的關(guān)系）微知識(shí)小題練自｜主｜排｜查1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念(1）數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。(2）數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an＋1〉an其中n∈N＊遞減數(shù)列an＋1<an常數(shù)列an＋1＝an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an｜≤M擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列(3）數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析式法.2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an｝的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表達(dá)，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2）已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn,則an＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（S1，n＝1,,Sn－Sn－1,n≥2。））微點(diǎn)提醒1．?dāng)?shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，數(shù)列｛an}為a1，a2，a3，…，an。而集合{a1，a2，a3,…，an}的元素沒有順序。2．?dāng)?shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào).求數(shù)列的通項(xiàng)公式就是找出數(shù)列的項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式。根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求出的數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一.3．?dāng)?shù)列不僅有遞增數(shù)列、遞減數(shù)列，還有常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列。4．已知Sn求an,要對(duì)n＝1和n≥2兩種情況進(jìn)行討論。小|題｜快|練一、走進(jìn)教材1．（必修5P31例3改編)在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，an＝1＋eq\f（－1n,an－1)(n≥2)，則a5＝()A。eq\f(3，2) B.eq\f（5，3)C。eq\f（8,5） D。eq\f（2，3）【解析】由已知得，a2＝1＋eq\f（1,a1）＝1＋eq\f(1，1)＝2，a3＝1－eq\f（1，a2)＝1－eq\f(1，2)＝eq\f(1，2）,a4＝1＋eq\f(1，a3)＝1＋eq\f(1，\f（1，2）)＝3,a5＝1－eq\f（1,a4)＝1－eq\f(1,3）＝eq\f(2，3)。故選D?！敬鸢浮緿2．(必修5P33A組T5【解析】依題意,設(shè){an}為n條直線相交最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，則a2＝1，an＝an－1＋(n－1)，n≥3，而an－an－1＝n－1，由累加法求得an＝1＋2＋…＋(n－1)＝eq\f(nn－1,2)，所以a10＝eq\f（10×9，2）＝45?！敬鸢浮?5二、雙基查驗(yàn)1．?dāng)?shù)列－3,7，－11,15，…的通項(xiàng)公式可能是(）A．a(chǎn)n＝4n－7 B．a(chǎn)n＝（－1)n(4n＋1）C．a(chǎn)n＝（－1)n(4n－1) D．a(chǎn)n＝(－1)n＋1(4n－1）【答案】C2．設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為(）A．15 B．16C．49 D．64【解析】∵Sn＝n2,∴a1＝S1＝1。當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1.當(dāng)n＝1時(shí)符合上式，∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15.故選A?！敬鸢浮緼3．（2016·赤峰模擬)已知數(shù)列｛an｝滿足a1＝0，an＋1＝eq\f(an－\r（3）,\r(3）an＋1），n∈N*，則a2015等于（)A．0 B．－eq\r（3)C。eq\r(3） D.eq\f（\r（3),2）【解析】根據(jù)題意,由于數(shù)列｛an｝滿足a1＝0，an＋1＝eq\f(an－\r（3),\r（3）an＋1），那么可知a1＝0,a2＝－eq\r(3），a3＝eq\r(3），a4＝0，a5＝－eq\r(3）,a6＝eq\r（3)，…故可知數(shù)列的周期為3，那么可知a2015＝a2＝－eq\r(3）.故選B.【答案】B4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，則an＝________?！窘馕觥慨?dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí),an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－［(n－1)2＋1］＝2n－1，故an＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2，n＝1，,2n－1，n≥2。))【答案】eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2，n＝1，,2n－1，n≥2)）5．已知數(shù)列{an｝滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2，則an＝________?！窘馕觥恳?yàn)閍n＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1）,所以eq\f（an＋1＋1,an＋1)＝3，所以數(shù)列｛an＋1｝為等比數(shù)列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1,所以an＝2·3n－1－1。【答案】2·3n－1－1微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式【典例1】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。（1）－1，7，－13，19，…；(2)0.8，0。88，0.888，…；(3)eq\f(1，2）,eq\f（1，4)，－eq\f(5,8)，eq\f(13，16），－eq\f（29，32），eq\f（61，64)，…?！窘馕觥浚?）數(shù)列中各項(xiàng)的符號(hào)可通過（－1)n表示，從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它的前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6，故通項(xiàng)公式為an＝（－1)n（6n－5）.（2)數(shù)列變?yōu)閑q\f(8,9）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1,10）))，eq\f(8，9）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，102））），eq\f（8，9）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f（1,103)))，…，故an＝eq\f(8,9）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(1，10n））)。(3）各項(xiàng)的分母分別為21，22，23,24，…,易看出第2，3,4項(xiàng)的分子分別比分母小3。因此把第1項(xiàng)變?yōu)椋璭q\f(2－3，2），原數(shù)列化為－eq\f（21－3,21），eq\f(22－3,22)，－eq\f(23－3，23），eq\f（24－3，24），…，故an＝(－1）neq\f（2n－3,2n)?！敬鸢浮?1）an＝（－1)n（6n－5)(2）an＝eq\f（8，9）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，10n）))(3）an＝（－1)neq\f(2n－3，2n)反思?xì)w納求數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)關(guān)注的四個(gè)特征（1)分式中分子、分母的特征；(2）相鄰項(xiàng)的變化特征;（3)拆項(xiàng)后的特征;（4)各項(xiàng)符號(hào)特征等,并對(duì)此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想?！咀兪接?xùn)練】(1）(2016·長(zhǎng)沙一模)已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2，0,2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項(xiàng)不可能是()A．a(chǎn)n＝(－1）n－1＋1 B．a(chǎn)n＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2，n為奇數(shù),0，n為偶數(shù))）C．a(chǎn)n＝2sineq\f（nπ，2） D．a(chǎn)n＝cos(n－1)π＋1（2)（2017·沈陽模擬）已知數(shù)列eq\f(\r（3),2），eq\f(\r（5),4),eq\f（\r(7)，6）,eq\f（\r(9），a－b），eq\f(\r(a＋b),10)，…,根據(jù)前三項(xiàng)給出的規(guī)律，則實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）可能是()A．（19,3) B．(19,－3)C.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（19，2），\f(3，2）)) D。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19，2)，－\f(3，2)）)【解析】（1）對(duì)n＝1，2，3,4進(jìn)行驗(yàn)證，an＝2sineq\f（nπ,2）不合題意，故選C.(2）由前三項(xiàng)可知，該數(shù)列的通項(xiàng)公式可能為an＝eq\f（\r（2n＋1），2n），所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a－b＝8，,a＋b＝11，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\f（19,2)，,b＝\f(3，2）。））故選C?！敬鸢浮?1)C（2）C考點(diǎn)二由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式【典例2】(1)(2016·益陽調(diào)研）已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn＋1，其中n∈N*，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是an＝________。(2)（2016·浙江高考）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn。若S2＝4,an＋1＝2Sn＋1，n∈N＊，則a1＝______，S5＝________。【解析】（1）當(dāng)n≥2時(shí)，由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(an＋1＝Sn＋1,，an＝Sn－1＋1，））得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an，又因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，a2＝1＋1＝2，所以數(shù)列｛an｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是an＝2n－1。（2）由于eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1)），解得a1＝1。由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋eq\f（1，2)＝3eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(Sn＋\f（1,2))），所以eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1，2)))是以eq\f(3,2）為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以Sn＋eq\f（1，2)＝eq\f（3，2)×3n－1，即Sn＝eq\f(3n－1,2),所以S5＝121.【答案】（1）2n－1(2)1121反思?xì)w納Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求,將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化。①利用an＝Sn－Sn－1（n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，②利用Sn－Sn－1＝an（n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an,an－1的關(guān)系式,再求解?！咀兪接?xùn)練】（2016·丹東模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝(）A．2n－1 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3,2)))n－1C。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2,3)）)n－1 D。eq\f(1，2n－1)【解析】解法一：因?yàn)镾n＝2an＋1,所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an,所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，即eq\f（an＋1，an）＝eq\f(3,2）（n≥2)，又a2＝eq\f(1，2），所以an＝eq\f（1，2）×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3，2)))n－2（n≥2)。當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1≠eq\f（1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3，2))）－1＝eq\f（1,3)，所以an＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（1,n＝1,，\f（1,2)×\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3，2）)）n－2，n≥2，）)所以Sn＝2an＋1＝2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3,2)))n－1＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3,2）)）n－1.故選B。解法二：由Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)得Sn＋1＝eq\f（3，2）Sn，又S1＝a1＝1，∴Sn＝S1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3，2）))n－1＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3，2))）n－1.故選B?！敬鸢浮緽考點(diǎn)三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式……母題發(fā)散【典例3】設(shè)數(shù)列｛an｝中,a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則an＝________?！窘馕觥坑蓷l件知an＋1－an＝n＋1，則an＝（a2－a1)＋(a3－a2)＋（a4－a3）＋…＋(an－an－1)＋a1＝（2＋3＋4＋…＋n)＋2＝eq\f(n2＋n＋2,2)?！敬鸢浮縠q\f(n2＋n＋2，2)【母題變式】1.若將本典例“an＋1＝an＋n＋1"改為“an＋1＝eq\f（n，n＋1）an”，如何求解?【解析】∵an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，∴eq\f（an＋1,an）＝eq\f（n,n＋1）∴an＝eq\f（an,an－1）·eq\f（an－1，an－2)·eq\f（an－2，an－3)·…·eq\f(a3,a2)·eq\f(a2,a1）·a1,＝eq\f（n－1,n）·eq\f（n－2,n－1）·eq\f（n－3，n－2)·…·eq\f(1,2)·2＝eq\f(2,n)?！敬鸢浮縜n＝eq\f（2,n)2．若將本典例“an＋1＝an＋n＋1"改為“an＋1＝eq\f（2an，an＋2)”，如何求解？【解析】∵an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，a1＝2，∴an≠0，∴eq\f(1,an＋1）＝eq\f（1,an)＋eq\f(1，2)，即eq\f（1,an＋1)－eq\f(1，an）＝eq\f（1，2），又a1＝2，則eq\f（1，a1）＝eq\f（1,2),∴eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（\f（1,an)）)是以eq\f（1，2）為首項(xiàng)，eq\f(1，2）為公差的等差數(shù)列。∴eq\f（1,an）＝eq\f（1,a1)＋(n－1）×eq\f(1,2)＝eq\f（n，2)，∴an＝eq\f(2，n）.【答案】an＝eq\f(2，n)3．若將本典例條件換為“a1＝1，an＋1＋an＝2n”，如何求解?【解析】∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2，即數(shù)列｛an}是奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是公差為2的等差數(shù)列.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),a2＝1，故an＝a2＋2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（n,2）－1）)＝n－1。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n（n＋1為偶數(shù)),故an＝n。綜上所述，an＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（n，n為奇數(shù)，,n－1，n為偶數(shù)，))n≥1，n∈N*.【答案】an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n,n為奇數(shù),，n－1，n為偶數(shù)，））n≥1，n∈N＊反思?xì)w納由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式的常用方法1．已知a1且an－an－1＝f(n），可用“累加法”求an。2．已知a1且eq\f（an，an－1）＝f(n),可用“累乘法”求an。3．已知a1且an＋1＝qan＋b,則an＋1＋k＝q(an＋k)（其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{an＋k}?？键c(diǎn)四數(shù)列的性質(zhì)…………多維探究角度一：數(shù)列的周期性【典例4】（1)在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*），則a2015等于________。（2）（2016·大興一中模擬)數(shù)列｛an}滿足an＋1＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2an，0≤an≤\f（1，2)，,2an－1，\f(1，2)<an<1,)）a1＝eq\f（3,5），則數(shù)列的第2017項(xiàng)為________?！窘馕觥浚?)解法一：由a1＝1,a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)可得該數(shù)列為1,5,4，－1，－5，－4,1,5，4,….由此可得a2015＝a335×6＋5＝a5＝－5。解法二：an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1，兩式相加可得an＋3＝－an,an＋6＝an?！郺2015＝a335×6＋5＝a5＝－5。（2）∵a1＝eq\f(3，5），∴a2＝2a1－1＝eq\f（1，5）。∴a3＝2a2＝eq\f（2,5)?！郺4＝2a3＝eq\f（4,5).∴a5＝2a4－1＝eq\f(3,5），a6＝2a5－1＝eq\f（1，5)，….∴該數(shù)列周期為T＝4?！郺2017＝a1＝eq\f（3，5）?！敬鸢浮浚?)－5(2）eq\f（3,5)角度二：數(shù)列的單調(diào)性【典例5】已知數(shù)列{an｝的通項(xiàng)an＝（n＋1）·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(10，11）)）n(n∈N*），試問該數(shù)列｛an｝有沒有最大項(xiàng)？若有,求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，說明理由?！窘馕觥俊遖n＋1－an＝(n＋2）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（10，11))）n＋1－(n＋1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(10,11)）)n＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(10,11）)）n·eq\f（9－n,11）,∴當(dāng)n〈9時(shí)，an＋1－an〉0，即an＋1>an;當(dāng)n＝9時(shí)，an＋1－an＝0,即an＋1＝an；當(dāng)n>9時(shí)，an＋1－an〈0，即an＋1〈an。故a1〈a2〈a3〈…<a9＝a10〉a11〉a12>…，∴數(shù)列｛an｝有最大項(xiàng)a9或a10,其值為10·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(10，11）)）9，其項(xiàng)數(shù)為9或10?！敬鸢浮繑?shù)列{an}中有最大項(xiàng)a9或a10,其值為10·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（10，11)）)9，其項(xiàng)數(shù)為9或10。反思?xì)w納1.解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下兩種方法(1)作差比較法：根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列.(2）作商比較法:根據(jù)eq\f（an＋1，an）（an〉0或an<0）與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.2．解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值。微考場(chǎng)新提升1．若數(shù)列an＝eq\f（1,n＋1）＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，則a5－a4＝()A.eq\f（1,10) B．－eq\f（1，10)C.eq\f（1,90) D。eq\f(19，90）解析∵a5＝eq\f(1,6)＋eq\f(1，7）＋eq\f（1，8)＋eq\f（1，9）＋eq\f(1,10）,a4＝eq\f(1，5)