高考數(shù)學(xué)高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中考試卷（概率）(解析版)

高考數(shù)學(xué)高三上學(xué)期期中考試卷(概率)

一'小題部分

1.某個(gè)班級(jí)有55名學(xué)生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名團(tuán)員，女生中有12名團(tuán)員.在該

班中隨機(jī)選取一名學(xué)生，如果選到的是團(tuán)員，那么選到的是男生的概率為

45—43

A-ITB,8C,55D,7

【答案】B

【考點(diǎn)】條件概率的求解

【解析】由題意，在該班中選取一名學(xué)生，選到的是團(tuán)員的概率為P(A)=312f,則在該班中選取一名學(xué)生，

選到的是團(tuán)員且為男生的概率為尸(A3)=賓20，所以如果選到的是團(tuán)員，那么選到的是男生的概率為：

20

P(5[A)=行=0,故答案選B.

/yZX)Sy?J

52

2.已知(1—2x嚴(yán)2]=ao+a]xH-Fa202ix2021,則1+,+多斗----卜

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】B

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】由題意可知，當(dāng)x=0時(shí)，解得“0=1,當(dāng)x=；時(shí)，解得0=如+4+與+黑H---H筆畀，則

Z乙ooo

3+苫+爭(zhēng)---^黑■=~。=一1，故答案選B.

3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Ml。，1。2),則

A.隨機(jī)變量X的均值為10B.隨機(jī)變量X的方差為10

C.尸(X>10)=5D.P(X》O)+尸(X<2O)>1

【答案】ACD

【考點(diǎn)】正態(tài)分布的應(yīng)用

【解析】由題意可知，隨機(jī)變量X的對(duì)稱軸為x=10,均值。=10,所以選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由均值

為10,可得P(X>I0)=P(X>〃)=3,所以選項(xiàng)C正確；因?yàn)镻(X<20)=P(X>10)>3,P(X20)=P(X>〃-o)

>1,所以P(X1O)+P(X<2O)>1,故選項(xiàng)D正確；綜上，答案選ACD.

4.高三(1)班某天安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物各一節(jié)課.若要求語(yǔ)文課比外語(yǔ)課先上，數(shù)學(xué)

課與物理課不相鄰，則編排方案共有▲種.

【答案】240

【考點(diǎn)】排列組合問題

【解析】由題意可得，因?yàn)閿?shù)學(xué)課與物理課不相鄰，所以先排除數(shù)學(xué)、物理課之外的其他課程，則有父，

而有5個(gè)空，需要讓數(shù)學(xué)、物理課插空，則有耳，又語(yǔ)文課比外語(yǔ)課先上，且語(yǔ)文、外語(yǔ)課的前后順序共

A4A5

兩類，則最后編排方案共有%=240種

5.在二項(xiàng)式(x+；)”的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為128,把展開式中各項(xiàng)重新排列，則有理項(xiàng)都互不相鄰的

概率為()

A—n-r--r\—

a.354J]4u.14

【答案】D

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理展開式與概率的應(yīng)用

3r

【解析】由題意可知，2"=128,解得〃=7,則二項(xiàng)式展開式的通式可設(shè)為7；+i=Gr一彳，所以當(dāng)，=0,2,

1

4,6時(shí)，為有理項(xiàng)，所以所求概率0=卡=言，故答案選D.

6.已知(1—2%)”的二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)與第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中含/的系數(shù)為()

A.-312B.312C.-220D.220

【答案】D

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用

【解析】由題意可知，二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)與第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以《=或，解得"=2+9=11,

則展開式的通項(xiàng)公式m+1=《(-2x)(令人=2,則展開式中含/的系數(shù)為。><4=220,即展開式中含W

的系數(shù)為220,故答案選D.

7.集合M={1,2,3,4,5},N={4,5,6},以M為定義域，N為值域的函數(shù)的個(gè)數(shù)為

()

A.60B.150C.540D.35

【答案】B

【考點(diǎn)】函數(shù)情境下排列組合中的分組分配問題

【解析】由題意，可轉(zhuǎn)化為將編號(hào)為1,2,3,4,5小球，分到編號(hào)為4,5,6的箱子里,

且每一個(gè)箱子里至少一個(gè)球，則將1,2,3,4,5小球分為2組(1,1,3)或(2,2,1),再分配得到3個(gè)箱

《康：1

子里，則有(《3下一)用=150種,故以M為定義域，N為值域的函數(shù)的個(gè)數(shù)為150個(gè)，故答案選B.

8.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布M2，J).若P(X>0)=0.9,則P(2<X<4)=

【答案】0.4

【考點(diǎn)】正態(tài)分布的應(yīng)用

【解析】由題意，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布M2,/)，所以該正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為x=2,即P(X(2)

=P(X>2)=0.5,又因?yàn)镻(X>0)=0.9,所以P(2<X<4)=P(0<X<2)=P(X>0)-P(X>2)=0.9-0.5=0.4,

故答案為0.4.

9.甲乙兩位同學(xué)玩游戲，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)G,按下列方法操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù)：由甲、乙同時(shí)各擲

一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上，則把⑶乘以2后再減去6；如果出現(xiàn)一個(gè)正面

朝上，一個(gè)反面朝上，則把⑶除以2后再加上6,這樣就可得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)"2,對(duì)實(shí)數(shù)42仍按上述方法

3

進(jìn)行一次操作，又得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)。3,當(dāng)?shù)?gt;0時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，若甲勝的概率為一則G的取

值范圍是▲.

【答案】(-00,61U[12,+oo)

【考點(diǎn)】古典概型的概率、不等式組的解法

【解析】由題意可知，43的結(jié)果有四種，分別為：4(/1-18,“1+3,曲+6和，Z1+9,每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概

13

率都是力由題意，甲勝的概率為:，所以43的4種結(jié)果中有3種比0大，1個(gè)比切小，又因?yàn)閍i+3,0

401—18>tZ|'4。]—18Ws

+6一定比ai大，故4〃]—18和卻+9中一個(gè)大于ai，另一個(gè)不大于ai，即｛1或’1,>

解得"1W6,或ai212.

10.某學(xué)校社會(huì)實(shí)踐小組共有5名成員，該小組計(jì)劃前往三個(gè)紅色教育基地進(jìn)行“學(xué)黨史，頌黨恩，跟黨

走”的主題宣講志愿服務(wù).若每名成員只去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少有一名成員前往，且甲，乙兩名成員

前往同一基地，丙，丁兩名成員前往不同基地，則不同的分配方案總數(shù)

A.86種B.64種C.42種D.30種

【答案】D

【考點(diǎn)】排列組合

【解析】由題意可知，分2步進(jìn)行分析：

①將5名成員分成3組，要求甲乙在同一組，丙丁不在同一組，

若分為3、1、1的三組，甲乙必須同在三人組，有C；=3種分組方法,

若分為1、2、2的三組，甲乙必須同在二人組，丙、丁各在一組，戊有2種情況，此時(shí)有2種分組方法，

則一共有3+2=5種分組方法；

②將分好的三組全排列，分配到三個(gè)基地，有A：=6種情況，

則有5X6=30種分配方法；和故答案選D.

11.(多選題)已知(1-2x嚴(yán)ziuao+aix+gx2"]---t-^oziJC202',貝

A.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為一1B.展開式中二項(xiàng)系數(shù)最大項(xiàng)為第1010項(xiàng)

C.3+長(zhǎng)+:+…+翁=-1D.0+2他+343+…+2021“202尸2021

【答案】AC

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用

【解析】由題意，在所給的等式中，令x=l,可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為(1-2)2岡=-1,故選項(xiàng)A正

確；展開式中第『+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Go2i，則GOZGGM，且GM2GK，解得1010WrW1011,所以

展開式中二項(xiàng)系數(shù)最大項(xiàng)為第1011和1012項(xiàng)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

在所給的等式中，令x=0,可得ao=l，令x==可得ao+?+號(hào)+條---嗤器=。，

所以卜矍+患+…+翁=-1,故選項(xiàng)C正確，對(duì)已知關(guān)系式兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：2021(1—2x)2020x(一

2)=ai+2a嘉+…+2021a202if°2°,令x—1,則2021(1—2)2020X(—2)=ai+2a2+…+202142021，所以a\

+2宵+3的+…+2021“2021=—4042,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；綜上，答案選AC.

12.某同學(xué)高考后參加國(guó)內(nèi)3所名牌大學(xué)A,B,C的“強(qiáng)基計(jì)劃”招生考試，已知該同學(xué)能通過這3所大

學(xué)A,B,C招生考試的概率分別為x,y,該同學(xué)能否通過這3所大學(xué)的招生考試相互獨(dú)立，且該同學(xué)

恰好能通過其中2所大學(xué)招生考試的概率為得，則該同學(xué)至少通過1所大學(xué)招生考試的概率為________；

1O

該同學(xué)恰好通過A,B兩所大學(xué)招生考試的概率最大值為.

【答案】[;白

V10

【考點(diǎn)】雙空題：隨機(jī)事件的概率求解

【解析】???該同學(xué)能否通過這3所大學(xué)的招生考試相互獨(dú)立，.?.該同學(xué)恰好能通過其中2所大學(xué)招生考試

的概率尸=5+%（0+5（1—》）=5+2—5=*.，.該同學(xué)至少通過1所大學(xué)招生考試的概率為T

（1—X）（l—y）=；+5+$—5），=；+1=專由5+5—為/得,x+y-xy=l，：.x+y=l+xy^2^,即

xy—2y[xy+^^0,解得工戶上或?qū)W又,.,0＜尤＜1，0＜y＜l,，0＜封＜1,...孫母，.,.該同學(xué)恰好通過

A,8兩所大學(xué)招生考試的概率超孫，最大值為表.

13.某校開設(shè)A類選修課4門，8類選修課3門.若某同學(xué)從中選3門，要求兩類課程中都至少選一門，

則不同的選法種數(shù)共有

A.18種B.24種C.30種D.36種

【答案】C

【考點(diǎn)】排列組合問題

【解析】由題意可知，選課的方式有兩類：A類課程選1門，8類課程選2門；A類課程選2門，B類課程

選1門，則選法為C：《+《C；=12+18=30,故答案選C.

14.若（x—$8的二項(xiàng)展開式中f的系數(shù)是一16,則實(shí)數(shù)a的值是

A.-2B.-1C.ID.2

【答案】D

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】由題意可知，二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)為77+1=@Ar（—$r=C（-a）rJ-2r,則由8—2r=6,解得

r=l,所以/的系數(shù)為C；（一口=一16,解得a=2,故答案選D.

15.某單位招聘員工，先對(duì)應(yīng)聘者的簡(jiǎn)歷進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試環(huán)節(jié).現(xiàn)有1000人應(yīng)聘，他們的

簡(jiǎn)歷評(píng)分X服從正態(tài)分布M60,10,若80分及以上為達(dá)標(biāo)，則估計(jì)進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)約為

(附：若隨機(jī)變量x~N(u,/),則Pg-aVX<〃+0)~0.6827,P(/，-2(7<X<〃+2。)心0.9545,P(u-3a<X

<〃+3。)處0.9973)

A.12B.23C.46D.159

【答案】B

【考點(diǎn)】正態(tài)分布的應(yīng)用

【解析】由題意可知，〃=60,<7=10,所以P(XN80)=P(X2〃+2o)=’—,9—R,X4+2g)=!=?545=

0.02275,則進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)約為0.02275X1000=22.75^23,故答案選B.

16.2021年初，某市因新冠疫情面臨醫(yī)務(wù)人員不足和醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，全國(guó)各地志愿者紛紛馳

援.現(xiàn)有5名醫(yī)生志愿者需要分配到兩家醫(yī)院(每人去一家醫(yī)院，每家醫(yī)院至少去1人)，則共有()

A.12利1B.30種C.18利?D.15種

【答案】B

【解析】?jī)煞N方案①4+1，②3+2；

①有點(diǎn)以4；=10個(gè)結(jié)果，②有C；《A；=20個(gè)結(jié)果.共有30個(gè)結(jié)果.

17.某地區(qū)為了解高中畢業(yè)年級(jí)男同學(xué)身體發(fā)育情況，從全地區(qū)高三年級(jí)男同學(xué)中隨機(jī)抽取了10000名同

學(xué)為樣本，分別測(cè)量樣本中每名同學(xué)的體重X(單位：kg),己知X~N(60,標(biāo))，則P(58<XV62)=0.7,則樣

本中體重不低于62kg的人數(shù)為.

【答案】150

l-P(58<X<60)

【解析】P(X>62)=----七-------i=0.15,10000X0.15=1500.

18.(多選題)為了解目前全市高一學(xué)生身體素質(zhì)狀況，對(duì)某校高一學(xué)生進(jìn)行了體能抽測(cè)，得到學(xué)生的體育

成績(jī)X~N(70,100),其中60分及以上為及格，90分及以上為優(yōu)秀，則下列說法正確的是()

附：若X~N(〃,b2),則P(〃—crWX<〃+cr)=0.6826,WX<〃+2CT)=0.9544.

A.該校學(xué)生體育成績(jī)的方差為10

B.該校學(xué)生體育成績(jī)的期望為70

C.該校學(xué)生體育成績(jī)的及格率不到85%

D.該校學(xué)生體育成績(jī)的優(yōu)秀率超過4%

【答案】BC

【解析】

【分析】由正態(tài)分布的期望、方差判斷A、B正誤，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性，結(jié)合特殊區(qū)間概率的求法求

P(X>60),P(X290)即可判斷C、D的正誤.

【詳解】A：由題設(shè)知=100,所以該校學(xué)生體育成績(jī)的方差100,錯(cuò)誤；

B：由題設(shè)知〃=70,即該校學(xué)生體育成績(jī)的期望為70,正確；

C：C(X260)=P(XN〃_o~)=]_P(X<〃_cr)=l+P(M_b；X<4+or)=08413,所以該校學(xué)生

體育成績(jī)的及格率不到85%,正確；

D：尸(X?90)=尸(X2〃+2cr)=().()228,故該校學(xué)生體育成績(jī)的優(yōu)秀率為2.28%,故錯(cuò)誤；

故選：BC.

19.在I『J的展開式中，若含獷2項(xiàng)的系數(shù)為TO,則正實(shí)數(shù)。=

【答案】2

【解析】

(?y

【分析】利用二項(xiàng)式定理寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令x的基指數(shù)為-2,求出「的值，利

用其系數(shù)為T0得到關(guān)于。的方程，解方程即可求解.

【詳解】fox2-4>1的展開式的通項(xiàng)為2r'（—J]=C,5f

Ix，1x，

令10-4廠=一2,貝ijr=3,所以《。5-3（一]）3=TO,解得。=2或。=一2（舍）.

故答案為：2.

20.“冰墩墩”是2022年北京冬奧會(huì)吉祥物，在冬奧特許商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包裝上標(biāo)

注隱藏款抽中的概率為/出廠時(shí)每箱裝有6個(gè)盲盒.小明買了一箱該款盲盒，他抽中k（0WkW6,%eN）個(gè)

隱藏款的概率最大，則人的值為

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得小明抽中々fe個(gè)隱藏款的概率為,、k,、6-kk進(jìn)而可得

戲）（14）卡

Ck.56-k>.57-k，解不等式組即可求出結(jié)果.

C和56-M>C^+1-5s-k

【詳解】由題意可得小明抽中叱個(gè)隱臧款的概率為、6-k端5i'其中0=々=6/6拉，要使

洸）

得cJs-i最大,只需要C,?最大,則.S6-X>.$7-々'即小,三，則：&J'又因?yàn)?/p>

66］梟56*2啜+工.55T)k-7-k6--6

16-注-k+1

0<A<6,AeW,貝酩=1'

故選：B.

21.已知某校高三女生的身高X（單位：cm）近似地服從正態(tài)分布M163,52）.若隨機(jī)選擇一名該校的女生,

則P（XW168）=.

注：若X~NQi,a2),貝ijPa—<7WXW"+Q=0.6827

【答案】0.84135

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性先求出P(163WXW168)的概率，由

P(X<168)=<163)+P(163<X<168M可得答案?

【詳解】由題意可得正態(tài)分布M163,5?)中ji=163,o=5,

Pa-。￡X匕幺+。)=P(158<X<168)=0.6827

所以P。<X</x+0-)=P(163<X<168)=0.34135

P(X<(i)=P(X<163)=O.S

所以汽X<168)=P(X<163)+P(163<X<168)=0.5+0.341B5i=頓勒如黛

故答案為：0.84135

二、解答題部分

1.(2022?江蘇常州期中)

(12分)全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽活動(dòng)旨在通過競(jìng)賽的方式，培養(yǎng)中學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生喜愛數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)

學(xué)，激發(fā)學(xué)生的鉆研精神，獨(dú)立思考精神以及合作精神.現(xiàn)有同學(xué)甲、乙二人積極準(zhǔn)備參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔，

在5次模擬訓(xùn)練中，這兩位同學(xué)的成績(jī)?nèi)缦卤?，假設(shè)甲、乙二人每次訓(xùn)練成績(jī)相互獨(dú)立.

第1次第2次第3次第4次第5次

甲8692878986

乙9086898887

(1)從5次訓(xùn)練中隨機(jī)選取1次，求甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)的概率;

(2)從5次訓(xùn)練中隨機(jī)選取2次，用X表示甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(3)根據(jù)數(shù)據(jù)信息，你認(rèn)為誰(shuí)在選拔中更具競(jìng)爭(zhēng)力，并說明理由.

(注：樣本數(shù)據(jù)XI，X2，…，X"的方差$2=[52(毛一元丫，其中工

i=\i=l

【考點(diǎn)】隨機(jī)變量的概率、分布列與期望

【解析】

(1)記“甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)”為事件A,從5次訓(xùn)練中隨機(jī)選取1次，有5個(gè)等可能基本事件，其中甲

的成績(jī)高于乙的成績(jī)的有2個(gè)，所以P(A)=21

答：“甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)”的概率轉(zhuǎn)2.........................3分

(2)X的可能取值為0,1,2.

3392312224

P(X=0)=7X-=T7,P(X=l)=2XmXw，P(X=2)=TX-=—,

JJJJ乙。JJ4J

所以，X的分布列為

X012

9124

P

252525

答:X的數(shù)學(xué)期望E(X)=OX9^+1X裝I7+2X裝4=14..............6分

⑶同學(xué)甲5次訓(xùn)練成績(jī)的均值為焉=3(86+92+87+89+86)=88,

19n026

方差為S甲2=那86—88)+(92—88)+(87—88)~+(89—88)2+(86—88)2]=5.......8分

同學(xué)乙5次訓(xùn)練成績(jī)的均值為丘=々90+86+89+87+86)=88,

222222

方差為sZ,=|(90-88)+(86-88)+(89-88)+(88-88)+(87-88)]=2.........10分

因?yàn)樽?與，s甲2>sJ,所以同學(xué)乙在選拔中更具競(jìng)爭(zhēng)力.....................12分

2.(2022?江蘇連云港期中)

(本小題滿分12分)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4

個(gè)紅球，6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，

若都是紅球，則可獲得現(xiàn)金50元；若只有1個(gè)紅球，則可獲得20元購(gòu)物券；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng).

(1)若某顧客有1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求亥顧客獲得現(xiàn)金或購(gòu)物券的概率；

(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲得現(xiàn)金為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【考點(diǎn)】隨機(jī)變量的概率與期望

【解析】

(1)記“某顧客抽獎(jiǎng)1次獲得現(xiàn)金或獲得購(gòu)物券”為事件A.........1分

2121317

貝炳4)=卒5+/4+.5=而..................3分

J4JJJ乙L

317

另解：P(A)=l_gX/=m...................3分

答：某顧客抽獎(jiǎng)1次獲得現(xiàn)金或獲得購(gòu)物券的概率為古7...................4分

(2)由題知某顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲得現(xiàn)金為X元依次為0元、50元100元、150元，分別記為事件B、C、D、

E：..........................5分

P(8)=嘿/=備P(0=C4￥=覆；

P(￡))=《(5)；=而；尸(￡)=《($=叵；

X050100150

6448121

p(x)

T25T25V25V25

9分

E(X)=OX償+50X黑+100X羔+150X*=30.........................11分

答：某顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲得現(xiàn)金X的數(shù)學(xué)期望為30.........................12分

3.(2022?江蘇南京市第一中學(xué)期中)

某大學(xué)學(xué)生發(fā)展中心對(duì)大一的400名男生做了單次引體向上的測(cè)試，得到了如圖所示的頻率分布直方圖(號(hào)|

體向上個(gè)數(shù)只記整數(shù)).學(xué)生發(fā)展中心為進(jìn)一步了解情況，組織了兩個(gè)研究小組.

(1)第一小組決定從單次完成1―15個(gè)的引體向上男生中，按照分層抽樣抽取11人進(jìn)行全面的體能測(cè)試，

①單次完成11—15個(gè)引體向上的男生甲被抽到的概率是多少？

②該小組又從這II人中抽取3人進(jìn)行個(gè)別訪談，記抽到“單次完成引體向上1一5個(gè)”

的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)第二小組從學(xué)校學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)與體育鍛煉相關(guān)性角度進(jìn)行研究，得到了這400人的學(xué)業(yè)成績(jī)與體育成

績(jī)之間的2X2列聯(lián)表：

學(xué)業(yè)優(yōu)秀學(xué)業(yè)不優(yōu)秀合計(jì)

體育成績(jī)不優(yōu)秀100200300

體育成績(jī)優(yōu)秀5050100

合計(jì)159250400

請(qǐng)你根據(jù)聯(lián)表判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績(jī)有關(guān)？

參考公式及數(shù)據(jù)：渭蹤T)S+4其中〃="葉'+4

P(心》xo)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

XO0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

【考點(diǎn)】隨機(jī)事件的概率、分布列與期望、獨(dú)立性檢驗(yàn)

【解析】

(1)①0.02：0.03：0.06=2：3：6

236

所以言Xll=2,77xH=3,_X11=6,

1111n

即從1―5中選2個(gè)，6—10個(gè)中選3個(gè)，11-15個(gè)中選6個(gè)，

又因?yàn)閱未瓮瓿?1-15個(gè)引體向上的人共有0.06X5X400=120人,

記”單次完成11-15個(gè)引體向上的甲被抽中”為事件A,

則缶=玄，

②X的分布列如下:

X012

_4_28C抬243

P「55『55

所以E(X)=OX||+1X||+2X*=$

22

九_(tái)________400(5000-10000)

(2)因?yàn)槠?(ad-be)

3+b)(c+J)3+c)S+J)=300X100X150X25077=8.889>7.879,

所以有99.5%的把握認(rèn)為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績(jī)有關(guān).

4.(2022?江蘇南京市中華中學(xué)期中)

一只不透明的口袋中有形狀、大小完全相同的10個(gè)球，其中有兩個(gè)球的編號(hào)為1,三個(gè)球的編號(hào)為2,三

個(gè)球編號(hào)為3,兩個(gè)球編號(hào)為4.

(1)甲有放回地從袋子中取3次，每次取一個(gè)球，求恰有兩次取到2號(hào)球的概率；

(2)甲從袋子口一次取出三個(gè)球，以X表示取出的三個(gè)球中的最小號(hào)碼，寫出X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列

【解析】

3

(1)由題意可得，每次取一個(gè)球，取到編號(hào)為2的概率為尸=%，

故恰有兩次取到2號(hào)球的概率為《(1一冬忌六蕊.

J1U1U1UUU

(2)由題意可得，X=\,2,3,

c'd+dc'8

則P(x=l)=^^^==,

c?+c^c!+c!c?23

P(X=2)=-一睛二=高,

尸(X=3)=￡=商

故X的分布列為:

X123

P8231

1560n

±31

3X12=-20,

5.(2022?江蘇南通如東縣期中)

(本小題滿分12分)已知￡,+沅2廣的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為京1

(1)求m的值;

(2)求展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和；

(3)將展開式中所有項(xiàng)重新排列，求有理項(xiàng)不相鄰的概率.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用、概率求解

2M-"

【解析】(1)展開式的通項(xiàng)為TE=C?2：X2,

...展開式中第4項(xiàng)的系數(shù)為C；23,倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)為

???C2：二斗即加=3,???加=7?

(2)令x=l,可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為37=2187,

展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為27=128.

(3)展開式共有8項(xiàng)，由(1)可得當(dāng)2〃?一學(xué)為整數(shù)，即r=0,2,4,6時(shí)為有理項(xiàng)，共4項(xiàng),

由插空法可得有理項(xiàng)不相鄰的概率為齊

6.(2022?江蘇南通如皋市期中)

(本題滿分12分)為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某校舉行了乒乓球比賽，其

中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來(lái)自高一年級(jí)3人，高二年級(jí)4人，高三年級(jí)5人.本次決賽的比賽賽

制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽(每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制)，最后根據(jù)積分選出最后的冠

軍，亞軍和季軍積分規(guī)則如下：每場(chǎng)比賽5局中以3：0或3：1獲勝的隊(duì)員積3分，落敗的隊(duì)員積0分；

而每場(chǎng)比賽5局中以3：2獲勝的隊(duì)員積2分，落敗的隊(duì)員積1分.

(1)比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來(lái)自不同年級(jí)的概率是多少？

(2)已知最后一輪比賽兩位選手是甲和乙，假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率均為多2記這輪比賽甲所得積分為X,

求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望E(X).

【考點(diǎn)】隨機(jī)變量的概率、概率分布與期望

c￡+cC+c￡47

【解析】（1）比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來(lái)自不同年級(jí)的概率「=

66;

（2）依題意可知X的可能取值為：0,1,2,3；

所以X的分布列為:

X0123

81616

P

8?8?27

；.E(X)=0xJ+lX^+2X苔+3X*=^.

yo1o1Z/o1

7.（2022?江蘇徐州期中）

（本小題滿分12分）全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題設(shè)置如下：聯(lián)賽分為一試、加試（即俗稱的“二試”）.一試包括

8道填空題（每題8分）和3道解答題（分別為16分、20分、20分），滿分120分.二試包括4道解答題，涉

及平面幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四個(gè)方面.前兩道題每題40分，后兩道題每題50分，滿分180分.

已知某一數(shù)學(xué)競(jìng)賽選手在一試中每道填空題能夠正確解答的概率均轉(zhuǎn)，每道解答題能夠正確解答的概率均

為3輸在二試中前兩道每題能夠正確解答的概率均為3*后兩道每題能夠正確解答的概率均為§2假設(shè)每道題

答對(duì)得滿分，答錯(cuò)得0分.

⑴記該選手在二試中的成績(jī)?yōu)閄,求P（X2100）；

(2)根據(jù)該選手所在省份歷年的競(jìng)賽成績(jī)分布可知，若一試成績(jī)?cè)?00分(含100分)以上的選手，最終獲得省

一等獎(jiǎng)的可能性端9，一試成績(jī)低于100分，最終獲得省一等獎(jiǎng)的可能性為名2問該選手最終獲得省一等獎(jiǎng)

的可能性能否達(dá)到!，并說明理由.

(參考數(shù)據(jù)：q)餐0.168,(g)^0.21,q)七0.262)

【考點(diǎn)】隨機(jī)事件的概率分布與應(yīng)用

【解析】

(1)X的所有可能取值為100,130,140,180,

."(x=ioo)=(|)2xq)2=患，P(X=130)=(|)2X4|X|=|§,

%X=140)=?|x|x(|)2=急P(X=180)=&X(|)2=券

”-100)=4+黑+黑+惡=黑

(2)一試成績(jī)大于等于100分的情況包括：

①前面填空題對(duì)6道，后面全對(duì)，其概率為尸產(chǎn)或&xq)2x&=67墨,

②前面填空題對(duì)7道，后面全對(duì),其概率為尸2=或

③前面填空題全對(duì)，后面也全對(duì)，其概率為P3=(4$8.(3$3,

④前面填空題全對(duì)，后面錯(cuò)一道題，其概率為幾=&4.《、.3(/X7：=(4$85親4,

JJJJJD'

JP(X210°)=弓聲掇+/聲｛1|20-245,

JP(X<100)=1—P(X2100)=1—0.245=0.755,

921

???該選手最終獲得一等獎(jiǎng)的可能性為P=0.245X—+0.755X-=0.5225>2，則可以達(dá)到.

8.(2022?江蘇揚(yáng)州期中)

(本小題滿分12分)某種疾病可分為1、II兩種類型.為了解該疾病類型與性別是否有關(guān)，在某地區(qū)隨機(jī)抽

取了男女患者各200名，每位患者患I型或II型病中的一種，得到下面的列聯(lián)表：

I型病H型病

男15050

女12575

(1)根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為所患疾病類型與性別有關(guān).

(2)某藥品公司欲研發(fā)此疾病的治療藥物，現(xiàn)有兩種試驗(yàn)方案，每種方案至多安排2個(gè)接種周期，且該藥物

每次接種后出現(xiàn)抗體的概率為p(0<p<l),每人每次接種的費(fèi)用為，“元(機(jī)為大于零的常數(shù)).

方案一：每個(gè)周期必須接種3次，若在第一個(gè)周期內(nèi)3次出現(xiàn)抗體，則終止試驗(yàn)：否則進(jìn)入第二個(gè)接種周

期.

方案二：每個(gè)周期至多接種3次，若第一個(gè)周期前兩次接種后均出現(xiàn)抗體，則終止本周期的接種，進(jìn)入第

二個(gè)接種周期，否則需依次接種完3次，再進(jìn)入第二個(gè)接種周期；若第二個(gè)接種周期第1次接種后出現(xiàn)抗

體，且連同第一個(gè)接種周期共3次出現(xiàn)抗體，則終止試驗(yàn)，否則需依次接種完3次.

假設(shè)每次接種后出現(xiàn)抗體與否相互獨(dú)立.用隨機(jī)變量X和丫分別表示按方案一一和方案二進(jìn)行一次試驗(yàn)的

費(fèi)用.

①求E(X)和￡(r)；

②從平均費(fèi)用的角度考慮，哪種方案較好？

2

參考公式：*=工卷八，其中n=a+b+c+d.

參考數(shù)據(jù)：

P(72%o)0.100.050.0250.0100.0050.001

Xo2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)、隨機(jī)變量的分布列與期望

【解析】

2

、400(150X75-50X125)

(1)200X200X275X125=7272>6.635,

故有99%的把握認(rèn)為所患疾病類型與性別有關(guān).

(2)①設(shè)方案一接種次數(shù)為蜃E的所有可能取值為3或6,

PC=3)=/,P^=6)=\-p,則X的分布列為

X3m6m

pP3]-p3

Q-1R

:.E(X)=,〃(3p+6—6p)=皿6-3p)

設(shè)方案二接種次數(shù)為〃，〃的所有可能取值為3,4,6,

P(〃=3)=p2p=p3,P(〃=4)=2(l—p>p2-p=2(/『一p4),

P(〃=6)=1—p—2p+2p=1+2p4-3/A

y的分布列為

X3m4/H5m6m

Pp32(p3—p4)〃2—.31+2p4-2p3—p2

E(Y)=m(3p"+8p3—8p4+5p2-5p3+12p4-12p3-6pl+6)=m(4p4-6p3—p1+6).

Y)—￡(X)=w(4/74—6P*—p+6—6+3pb=—~p~)

99

=pm(4p—3p—1)=p~m(4p—l)(p+l)<0

：.E(X)>E(Y),

故從平均費(fèi)用考慮選方案二.

9.(2022?江蘇南師附中期中)

某牛奶店每天以每盒3元的價(jià)格從牛奶廠購(gòu)進(jìn)若干盒鮮牛奶，然后以每盒5元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不

完，剩下的牛奶作為垃圾處理.

(1)若牛奶店一天購(gòu)進(jìn)50盒鮮牛奶，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量"(單位：盒)的函數(shù)解析式;

(2)牛奶店老板記錄了某100天鮮牛奶的日需求量(單位：盒)，整理得下表:

日需求量48495051525354

頻數(shù)10201616151310

以這100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

①若牛奶店一天購(gòu)進(jìn)50盒鮮牛奶，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，求X的分布列及期望：

②若牛奶店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)50盒或51盒鮮牛奶，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度分析，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)50盒還是51盒?請(qǐng)說明

理由.

【考點(diǎn)】隨機(jī)變量的概率分布與期望

【解析】

(1)當(dāng)0—V50時(shí)，利潤(rùn)y=(5-3>-3(50-n)=5n-150,

當(dāng)〃>50時(shí)，利潤(rùn)y=(5—3)<50=100,

a,[5/2-150,0W〃V50

綜上：尸ilOO,q50

⑵①〃=48時(shí)，y=90,"=49時(shí)，y=95,〃250時(shí)，y=100,

的所有可能取值為90,95,100,

117

P(X=90)=m，P(X=95)=§,P(X=100)=正，

.?.X的分布列如下：

X9095100

17

P

To5To

117

E（X）=90X—+95X-+100X—=9+19+70=98.

②若購(gòu)進(jìn)51盒，X2的所有可能取值為87,92,97,102,

此時(shí)X2的分布列如下：

879297102

X2

12427

P

W52550

11427

.\E（X）=87X—+92XT+97X—+102X—=97.7<98,故應(yīng)購(gòu)進(jìn)50盒.

10.移動(dòng)支付（支付寶及微信支付）己經(jīng)漸漸成為人們購(gòu)物消費(fèi)的一種支付方式，為調(diào)查市民使用移動(dòng)支

付的年齡結(jié)構(gòu)，隨機(jī)對(duì)100位市民做問卷調(diào)查得到2X2列聯(lián)表如下：

35歲以下（含35歲）35歲以上合計(jì)

使用移動(dòng)支付4050

不使用移動(dòng)支付40

合計(jì)100

（1）將上2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并請(qǐng)說明在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下，認(rèn)為支付方式與年齡是否

有關(guān)？

（2）在使用移動(dòng)支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查，從這10人隨機(jī)中選出

3人頒發(fā)參與獎(jiǎng)