高中數(shù)學(xué) 空間向量及其運(yùn)算 教案

空間向量及其運(yùn)算【高考導(dǎo)航】本節(jié)內(nèi)容是高中教材新增加的內(nèi)容，在近兩年的高考考查中多作為解題的方法進(jìn)行考查，主要是解題的方法上因引入向量得以擴(kuò)展.例如2001上海5分，2002上海5分.【學(xué)法點(diǎn)撥】本節(jié)共有4個(gè)知識(shí)點(diǎn)：空間向量及其線性運(yùn)算、共線向量與共面向量、空間向量的分解定理、兩個(gè)向量的數(shù)量積.這一節(jié)是空間向量的重點(diǎn)，在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)要與平面向量的知識(shí)結(jié)合起來，認(rèn)識(shí)到研究的范圍已由平面擴(kuò)大到空間.一個(gè)向量是空間的一個(gè)平移，兩個(gè)不平行向量確定的是一個(gè)平行平面集，在此基礎(chǔ)上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推廣到空間，得出空間直線與平面的表達(dá)式，有了這兩個(gè)表達(dá)式，我們可以很方便地解決空間的共線和共面問題.空間向量基本定理是空間幾何研究代數(shù)化的基礎(chǔ)，有了這個(gè)定理，整個(gè)空間被3個(gè)不共面的基向量所確定，空間一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)向量和實(shí)數(shù)組Xy,z)建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，空間向量的數(shù)量積一節(jié)中，由于空間任一向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個(gè)向量的夾角的定義、取值范圍、兩個(gè)向量垂直的定義和表示符號(hào)及向量的模的概念和表示符號(hào)等，都與平面向量相同.【基礎(chǔ)知識(shí)必備】一、必記知識(shí)精選空間向量的定義向量：在空間中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量.1卜向量的表示有三種形式：a,AB，有向線段.空間向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算.空間向量的加法.滿足三角形法則和平行四邊形法則，可簡(jiǎn)記為:首尾相連，由首到

尾.求空間若干個(gè)向量之和時(shí)，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量.首尾相接的若干個(gè)向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為0,即AA+AA+…AA=0.1223n1空間向量的減法.減法滿足三角形法則,讓減數(shù)向量與被減數(shù)向量的起點(diǎn)相同,差向

量由減數(shù)向量的終點(diǎn)指向被減數(shù)向量的終點(diǎn),可簡(jiǎn)記為“起點(diǎn)相同,指向一定”,另外要注意OA-OA-OB=BA的逆應(yīng)用.空間向量的數(shù)量積.注意其結(jié)果仍為一向量.共線向量與共面向量的定義.如果表示空間向量的有向線段在直線互相平行或重合,那么這些向量叫做共線向量或平行向量?對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,b(bH0),a〃boa=九b,若A、B、P三點(diǎn)共線，則對(duì)空間]]]1任意一點(diǎn)O,存在實(shí)數(shù)t,使得OP=(1-1)OA+tOB,當(dāng)七=時(shí),P是線段AB的中點(diǎn)，則中點(diǎn)公式2為OP=一(OA+OB).2如果向量a所在直線OA平行于平面a或a在a內(nèi)，則記為a〃a,平行于同一個(gè)平面的向量,叫作共面向量，空間任意兩個(gè)向量，總是共面的?如果兩個(gè)向量a、b不共線?則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y.使p=xa+yb?對(duì)于空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C,A、B、C、P共面的充要條件是OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=l）.共面向量定理是共線向量定理在空間中的推廣，共線向量定理證三點(diǎn)共線，共面向量定理證四點(diǎn)共面.空間向量基本定理如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在一個(gè)惟一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z,使p=xa+yb+zc.特別的，若a、b、c不共面，且xa+yb+zc=O，則x=y=z=0.常以此列方程、求值.由于0可視為與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以三個(gè)向量不共面，隱含著三向量都不是0.空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底.要注意，一個(gè)基底是一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一向量?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積.a?b=|a|?|b|?cos（a,b），性質(zhì)如下:（1）a?e=|a|?cos〈a,e〉；（2）a±ba?b=0.（3）|a|2=a?a；（4）|a|?|b|三a?b.二、重點(diǎn)難點(diǎn)突破（一）重點(diǎn)空間向量的加法、減法運(yùn)算法則和運(yùn)算律；空間直線、平面向量參數(shù)方程及線段中點(diǎn)的向量公式?空間向量基本定理及其推論，兩個(gè)向量的數(shù)量積的計(jì)算方法及其應(yīng)用.（二）難點(diǎn)空間作圖，運(yùn)用運(yùn)算法則及運(yùn)算律解決立體幾何問題，兩個(gè)向量數(shù)量積的幾何意義以及把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量計(jì)算問題.對(duì)于重點(diǎn)知識(shí)的學(xué)習(xí)要挖掘其內(nèi)涵，如從向量等式的學(xué)習(xí)中可以挖掘出：（1）向量等式也有傳遞性；（2）向量等式兩邊加（減）相同的量，仍得等式.即“移項(xiàng)法則”仍成立；（3）向量等式兩邊同乘以相等的數(shù)或點(diǎn)乘相等的向量，仍是等式這樣知識(shí)掌握更加深刻?用空間向量解決立體幾何問題?一般可以按以下過程進(jìn)行思考：（1）要解決的問題可用什么向量知識(shí)來解決?需要用到哪些向量？（2）所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？（3）所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化為向量表示，則它們分別易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與已知條件轉(zhuǎn)化而來的向量有何關(guān)系？（4）怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到所需要的結(jié)論？三、易錯(cuò)點(diǎn)和易忽略點(diǎn)導(dǎo)析兩個(gè)向量的夾角應(yīng)注意的問題：①（a,b）=（b，a）；②（a,b）與表示點(diǎn)的符號(hào)（a,b）不同;③如圖9-5T（a）中的ZAOB=<OA,OB〉?圖⑹中的ZAOB=n-（AO，OB）,〈-OA,OB〉=<OA，—OB>=n-（AO，OB）?【綜合應(yīng)用創(chuàng)新思維點(diǎn)撥】一、學(xué)科內(nèi)綜合思維點(diǎn)撥【例1】已知兩個(gè)非零向量e、e不共線，如果AB=e+e,AC=2e+8e,AD=3e-3e.12121212求證：A、B、C、D共面.思維入門指導(dǎo)：要證A、B、C、D四點(diǎn)共面，只要能證明三向量AB、AC、AD共面，于是只要證明存在三個(gè)非零實(shí)數(shù)九、卩、u使九AB+UAC+uAD=0即可.證明：設(shè)九(e+e)+u(2e+8e)+u(3e-3e)=0.121212則(九+2u+3u)e+(九+8u—3u)e=0.12Te、e不共線，12.JX+2卩+3u=0,九+8卩-3u=0.上述方程組有無(wú)數(shù)多組解而九=-5,U=1,u=1就是其中的一組于是可知-5AB+AC+AD=0.故AB、AC、AD共面，所以A、B、C、D四點(diǎn)共面.點(diǎn)撥：尋找到三個(gè)非零實(shí)數(shù)九=-5,U=1,u=1使三向量符合共面向量基本定理的方法是待定系數(shù)法.二、應(yīng)用思維點(diǎn)撥【例2】某人騎車以每小時(shí)a公里的速度向東行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來，而當(dāng)速度為2a時(shí)，感到風(fēng)從東北方向吹來.試求實(shí)際風(fēng)速和風(fēng)向.思維入門指導(dǎo)：速度是矢量即為向量?因而本題先轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)行求解，求風(fēng)速和風(fēng)向?qū)嵸|(zhì)是求一向量.解:設(shè)a表示此人以每小時(shí)a公里的速度向東行駛的向量在無(wú)風(fēng)時(shí)，此人感到風(fēng)速為-a,設(shè)實(shí)際風(fēng)速為v,那么此人感到的風(fēng)速向量為v-a.如圖9-5-2.設(shè)OA=-a,OB=-2a.由于PO+OA=PA,從而PA=v-a.這就是感受到的由正北方向吹來的風(fēng).其次，由于PO+OB=PB，從而v-2=PB.于是，當(dāng)此人的速度是原來的2倍時(shí)感受到由東北方向吹來的風(fēng)就是PB.由題意，得ZPBO=45°,PA丄BO，BA=AO，從而△PBO為等腰直角三角形?故PO=PBf；2答：實(shí)際吹來的風(fēng)是風(fēng)速為y2a的西北風(fēng).

點(diǎn)撥：向量與物理中的矢量是同樣的概念，因而物理中的有關(guān)矢量的求解計(jì)算在數(shù)學(xué)上可化歸到平面向量或空間向量進(jìn)行計(jì)算求解.知識(shí)的交叉點(diǎn)正是高考考查的重點(diǎn)，也能體現(xiàn)以能力立意的高考方向.已知E、F、G已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中八、、?圖9"3圖9"3用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面；用向量法證明BD〃平面EFGH.思維入門指導(dǎo)：(1)要證E、F、G、H四點(diǎn)共面，根據(jù)共面向量定理的推論，只要能找到實(shí)數(shù)x,y,使EG=xEF+yEH即可；(2)要證BD〃平面EFGH,只需證向量BD與EH共線即可.證明:(1)如圖9-5-3(2),連結(jié)BG,則1EG=EB+BG=EB+-(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH.2由共面向量定理推論知，E、F、G、H四點(diǎn)共面.1111(2)VEH=AH-AE=AD——AB=_(AD-AB)=BD,2222???EH〃BD.又EHu面EFGH,BDg面EFGH,?：BD〃平面EFGH.點(diǎn)撥：利用向量證明平行、共面是創(chuàng)新之處，比較以前純幾何的證明，顯而易見用向量證明比較簡(jiǎn)單明快.這也正是幾何問題研究代數(shù)化的特點(diǎn).S95-4試求A1CS95-4試求A1C1與DE所成角.思維入門指導(dǎo)：在正方體AC中，要求AC與DE所成角，只需求AC與DE所成角即可?要ii求AC與DE所成角，則可利用向量的數(shù)量積，只要求出AC?DE及丨AC丨和丨DE|即可.111111解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為m,AB=a,AD=b,AA=c.1貝川a|=|b|=|c|二m,a?b=b?c=c?a=0.又VAC=AB+BC=AB+AD=a+b,1111111DE=DD+DE=DD+—DC=c+—a,1112112

2又AC|=<2m,|DEI=m,112AC?DE=(a+b)(c+a)=a?c+b?c+丄a：+a?b二丄a2又AC|=<2m,|DEI=m,112U10AC?DEU10..cos〈AC,DE>=r==1IACI?IDEI510112m?—m2<AC,DE〉=arccos.即AC與DE所成角為arccos--101110點(diǎn)撥：A1C]與DE為一對(duì)異面直線?在以前的解法中求異面直線所成角要先找(作)，后求.而應(yīng)用向量可以不作或不找直接求簡(jiǎn)化了解題過程，降低了解題的難度解題過程中先把AC及DE用同一組基底表示出來，再去求有關(guān)的量是空間向量運(yùn)算常用的手段.11四、高考思維點(diǎn)撥【例5】(2000,全國(guó)，12分)如圖9-5-5，已知平行六面體ABCD—A^qD]的底面ABCD是菱形，且ZCCB=ZCCD=ZBCD.求證:C]C丄BD；當(dāng)-CD的值為多少時(shí)，能使AC丄平面CBD?請(qǐng)給出證明.CC]11思維入門指導(dǎo)：根據(jù)兩向量的數(shù)量積公式a?b=|a|?|b|cos〈a,b〉知，兩個(gè)向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0,即alboa?b=0,所以要證明兩直線垂直,只要證明兩直線對(duì)應(yīng)的向量數(shù)量積為零即可.⑴證明：設(shè)CD=a,CB=b,CC=c.由題可知|a|=|b|.設(shè)CD、CB、CC中兩兩所成夾11角為0,于是BD=CD-CB=a-b,FCC?BD=c?(a-b)=c?a-c?b=|c|?|a|cos0-|c|?|b|cos0=0,1.CC丄BD.1Ic丨2=|ah+|b⑵解:若使A1C丄平面C1BD,只須證A1CIc丨2=|ah+|bCA?CD=(CA+AA)?(CD-CC)=(a+b+c)?(a-c)=|ah+a?b-b?c-1111I?|a|?cos0-|b|?|c|cos0-|c12=0,得當(dāng)|a|=|c|時(shí)AR丄DC].同理可證當(dāng)|a|=|c|時(shí),A1C丄BD....CD=1時(shí),Ac丄平面CBD.CC11—AGP1—AGP=CD,QH=一CD.2，F(xiàn)-4]]1+11-???0P+0Q=0G+0H+GP+HQ=0+CD——CD=0.2A0P=-0Q?APQ經(jīng)過0點(diǎn)，且0為PQ的中點(diǎn).點(diǎn)撥:本例也可以用共線定理的推論來證明,事實(shí)上，設(shè)EF的中點(diǎn)為0.連接0P、0Q,則11■FQ=EQ-EF，而EQ=一AC=-FP,EF=-2F0，則FQ=-FP+2F0,AF0=一（FQ+FP），22從而看出0、P、Q三點(diǎn)共線且0為PQ的中點(diǎn)，同理可得GH邊經(jīng)過0點(diǎn)且0為GH的中點(diǎn)，從而原命題得證.六、探究性學(xué)習(xí)點(diǎn)撥【例7】如圖9-5-7所示，對(duì)于空間某一點(diǎn)0,空間四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D（無(wú)三點(diǎn)共線）分別對(duì)應(yīng)著向量玄=0A,b=0B,c=0C,d=0D.求證：A、B、C、D四點(diǎn)共面的充要條件是存在四個(gè)非零實(shí)數(shù)a、B、Y、§，使aa+Bb+Yc+5d=0,且a+B+Y+§=0.點(diǎn)撥：對(duì)于向量數(shù)量積的運(yùn)算一些結(jié)論仍是成立的.（a-b）?（a+b）=a2-b?；（a土b）2=a2±2a?b+b?.五、經(jīng)典類型題思維點(diǎn)撥【例6】證明：四面體中連接對(duì)棱中點(diǎn)的三條直線交于一點(diǎn)，且互相平分（此點(diǎn)稱為四面體的重心）思維入門指導(dǎo)：如圖9-5-6所示四面體ABCD中，E、F、G、H、P、Q分別為各棱中點(diǎn)?要證明EF、GH、PQ相交于一點(diǎn)0,且O為它們的中點(diǎn)?可以先證明兩條直線EF、GH相交于一點(diǎn)O,然后證明P、0、Q三點(diǎn)共線，即OP、0Q共線?從而說明PQ直線也過0點(diǎn).證明：TE、G分別為AB、AC的中點(diǎn)，AEG#-BC.同理HF〃-BC.?：EG〃HF.—2—2—從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對(duì)角線EF、GH相交于一點(diǎn)0,且0為它們的中點(diǎn),連接OP、0Q.T0P=0G+GP,0Q=0H+HQ，而0為GH的中點(diǎn),A0G+0H=0,GP#-CD，QH#丄CD.22

B95-7B95-7思維入門指導(dǎo)：分清充分性和必要性，應(yīng)用共面向量定理證明：(必要性)假設(shè)A、B、C、D共面，因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)不共線，故AB，AC兩向量不共線，因而存在實(shí)數(shù)x、y,使AD=xAB+yAC,即d-a=x(b-a)+y(c-a),.°.(x+y-l)a-xb-yc+d=O.令a=x+y-1,B=-x,Y=-y,S=1.貝Jaa+^b+Yc+Sd=0,且a+B+Y+§=0.(充分性)如果條件成立，貝M=-(a+B+Y),代入得aa+Bb+Yc+Sd=aa+Bb+Yc-(a+B+Y)d=0.即a(a-d)+B(b-d)+Y(c-d)=O.又*/a-d=OA-OD=DA,b-d=DB,c-d=DC,??.?.aDA+BDB+YDC=0.Ta、B、Y為非零實(shí)數(shù),不妨設(shè)Y^O.則DC=-—DA-—DB.YY/.DC與DA、DB共面，即A、B、C、D共面.點(diǎn)撥：在討論向量共線或共面時(shí)，必須注意零向量與任意向量平行，并且向量可以平移，因而不能完全按照它們所在直線的平行性、共面關(guān)系來確定向量關(guān)系本周強(qiáng)代隊(duì)習(xí)本周強(qiáng)代隊(duì)習(xí)【同步達(dá)綱訓(xùn)練】A卷:教材跟蹤練習(xí)題(60分45分鐘)一、選擇題(每小題5分，共30分)點(diǎn)O、A、B、C為空間四個(gè)點(diǎn)，又OA、OB、OC為空間一個(gè)基底，則下列結(jié)論不正確的是()O、A、B、C四點(diǎn)不共線B.O、A、B、C四點(diǎn)共面，但不共線C.O、A、B、C四點(diǎn)中任三點(diǎn)不共線D.O、A、B、C四點(diǎn)不共面在正方體ABCD-A1B1C1D］中，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為的共有()?(AB+BC)+CC?(AA+AD)+DC111111@(AB+BB)+BC?(AA+AB)+BC11111111

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)3?設(shè)命題p：a、b、c是三個(gè)非零向量;命題q：｛a,b,c｝為空間的一個(gè)基底，則命題p是命題口的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足AB?AC=0,AC?AD=0,AB?AD=0,則厶BCD是（）A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.不確定TOC\o"1-5"\h\z下列命題中，正確的是（）若a與b共線，貝呃與b所在直線平行若a〃平面B,a所在直線為a,貝9a〃B若｛a,b,c｝為空間的一個(gè)基底，貝9｛a-b,b-c,c-a｝構(gòu)成空間的另一個(gè)基底?11h若OP=OA+OB，貝9P、A、B三點(diǎn)共線226.若a=e+e+e，b=e-e-e，c=e+e，d=e+2e+3e，且d=xa+yb+zc，貝收、y、z分另ij為12312312123（）A.2,A.2,-2,-1B.452piD.52C.-3九=D.523九=.三、解答題（每小題7分，共14分）如圖9-5-9,已知點(diǎn)O是平行六面體ABCD—A1B1C1D1體對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P是空間任意一占1111八、、?1&■■b求證：PA+PB+PC+PD+PA+PB+PC+PD=8PO.11112二、填空題（每小題4分，共16分）7?設(shè)向量a與b互相垂直，向量c與它們構(gòu)成的角都是60°，且|a|=5,|b|=3,|c|=8，那么（a+3c）?（3b-2么（a+3c）?（3b-2a）&已知向量AA=2a,a與b的夾角為30°,且|a|=^3，則AA+AA+???+AA在向1n1223n-1n量b的方向上的射影的模為.如圖9-5-8,已知空間四邊形0ABC，其對(duì)角線為OB、AC,M是邊0A的中點(diǎn),6是厶ABC的重心，則用基向量OA、OB、OC表示向量MG的表達(dá)式為33罔9-5F圖罔9-5F圖9-5-LO如圖9-5-10,已知線段AB在平面a內(nèi)，線段AC丄a,線段BD丄AB,且與a所成角是30如果AB=a,AC=BD=b,求C、D間的距離.B卷:綜合應(yīng)用創(chuàng)新練習(xí)題（90分90分鐘）一、學(xué)科內(nèi)綜合題（10分）如圖9-5-11所示，已知DABCD,O是平面AC外一點(diǎn),OA=2OA,OB=2OB,OC=2OC,111OD=2OD.求證：A、B、C、D四點(diǎn)共面.1111199-599-511二、應(yīng)用題（10分）在△ABC中，ZC=60°,CD為ZC的平分線,AC=4,BC=2,過B作BN丄CD于N延長(zhǎng)交CA于E,將厶BDC沿CD折起，使ZBNE=120。，求折起后線段AB的長(zhǎng)度.三、創(chuàng)新題（60分）（一）教材變型題（10分）（P練習(xí)2變型）如圖9-5-12已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a,求35AB與CD的夾角.（二）一題多解（15分）已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA丄平面ABCD,M、N分別為PC、PD上的點(diǎn)，且M分PC成定比2,N分PD成定比1,求滿足MN=xAB+yAD+zAP的實(shí)數(shù)x、y、z的值.（三）一題多變（15分）設(shè)a丄b,〈a,c〉二，〈b,c〉二，且|a|=1,|b|=2,|c|=3，求|a+b+c|.6（1）一變：設(shè)alb,<a,c>=,<b,c>=，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+2b-c|.6（2）二變：設(shè)alb,<a,c>=，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,|a+b+c|=￡17+6t3，求-b與c的夾角.（四）新解法題（10分）如圖9-5-13，正方形ABCD和正方形ABEF交于AB,M、N分別是BD、AE上的點(diǎn)，且AN=DM,試用向量證明MN〃平面EBC.圏S-5-I3O為空間任意一點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+九（摯+絲）,IABIIACI九G[0,+8）,貝陀的軌跡一定通過AABC的（）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心四、高考題（10分）&（2002,上海,5分）若a、b、c為任意向量，mWR，則下列等式不一定成立的是（）A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）?c=a?c+b?cC.m（a+b）=ma+mbD.（a?b）?c=a?（b?c）加試題：競(jìng)賽趣味題（10分）rtj1I]/、『[,、寸〃、證明：Ia2+b2一ab+ta2+c2一ac>b2+c2一be（a，b，c為正實(shí)數(shù)）.【課外閱讀】用向量表示三角形的四心由高中數(shù)學(xué)新教材中的向量知識(shí)出發(fā)，利用定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式，可以簡(jiǎn)捷地導(dǎo)出三角形的重心、內(nèi)心、垂心、外心這四心的向量表達(dá)式【例】如圖9-5-14，在厶ABC中，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn),E是AC上的一點(diǎn)，且AF=m,AE=n（通分總可以使兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)化為同分母分?jǐn)?shù)），連結(jié)CF、BE交于點(diǎn)D.求FBlEClD點(diǎn)的坐標(biāo).僭9-5-14解：在平面上任取一點(diǎn)O,連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE、OF，由定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式，得：OF=(OA+&?OB"(1+&)l?OA+m?OBl+mOE=l?OA+OE=l?OA+n?OCl+n又OD=OF+九?OC1+九OB+u?OE1+u③(其中D=入，DE=u)?nOA+—?OC

l整理①、②、③式得九=-^m+1OC所以O(shè)D=-OA+mOB+n—OCl+m+nl+m+nl+m+n由④式出發(fā)，可得三角形四心的向量表達(dá)式：(1)若BE、。卩是4ABC兩邊上的中線，交點(diǎn)G為重心?由④式可得重心G的向量表達(dá)式:I1■?■OG=-（OA+OB+OC）.3(2)若BE、。卩是4ABC兩內(nèi)角的平分線，交點(diǎn)I是內(nèi)心.AFbAEc因?yàn)?一，=,FBaECa由④式可得內(nèi)心I的向量表達(dá)式：OI=aa+b+OI=aa+b+cOA+ba+b+cOB+ca+b+cOC.若BE、。卩是4ABC兩邊上的高，交點(diǎn)H是垂心.cAE=c?cosA=cosCECa?cosCacosAb同理竺=cosA.FBacosA由④式可得垂心H的向量表達(dá)式:OH=cosC

abc++—cosAcosBcosCOAOH=cosC

abc++—cosAcosBcosCOA+cosC

abc++cosAcosBcosCOB+cosC

abc++cosAcosBcosCOC.若BE、CF的交點(diǎn)O'是厶ABC的外心，即三邊中垂線交點(diǎn)，則O'A=O'B=O'C.根據(jù)正弦定理：TOC\o"1-5"\h\zBE1?sinZEBAsinC?sin（冗—ZAO'B）AE二sinA二2EC?sinZCBEsinA?sin-（冗-ZBO'C）sinC2sinC?cosC=sin2CsinA?cosAsin2A

FBsin2A由④式可得外心O'的向量表達(dá)式:sin2Asin2BOO=FBsin2A由④式可得外心O'的向量表達(dá)式:sin2Asin2BOO=OA+OBsin2A+sin2B+sin2Csin2A+sin2B+sin2Csin2C+OC.sin2A+sin2B+sin2C這四個(gè)向量表達(dá)式，都由④式推出，都有著各自輪換對(duì)稱的性質(zhì)?好記，好用!新教材的優(yōu)越性，由此可見.請(qǐng)做空年業(yè)后甫盲答梟！參考答案一、1.B點(diǎn)撥：空間向量的一組基底是不共面的.2.D點(diǎn)撥：AB+BC+CC=AC+CC=AC，同理根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算法則可知(2)、⑶、(4)的計(jì)算結(jié)果也為AC.B點(diǎn)撥：當(dāng)三個(gè)非零向量a、b、c共面時(shí)，a、b、c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，但是{a,b,c}為空間的一個(gè)基底時(shí)，必有a、b、c都是非零向量?因此由P推不出q,而由q可推出P.B點(diǎn)撥：AC?AB=0nAC丄AB.同理可得AC丄AD,AB丄AD.設(shè)AB=a，AC=b，AD=c.則BC=i：a2+b2,CD=2+c2,BD二*a2+c2.2BC?CDVcosZBCD=BC2+52-BD2>°,故厶2BC?CD同理ZCBD.ZBDC亦為銳角.則△BCD為銳角三角形.D點(diǎn)撥：向量共線則其所在直線平行或重合，故A錯(cuò)誤；向量平行于平面，則向量在面內(nèi)或所在直線與面平行，故B錯(cuò)誤;取九=九=九=1,則九(a-b)+九(b-c)+九(c-a)=0,即123123a-b,b-c,c-a是共面向量,不能構(gòu)成空間的基底，故C錯(cuò).x+y+z=lx=—x+y+z=lx=—A點(diǎn)撥:A點(diǎn)撥:x-y+z=2nx-y=3Lz=-1.x-y=3Lz=-1.、7.-62,373點(diǎn)撥：(a+3c)(3b-2a)=3a4D-2a2+9c*b-6a*c=3|a|?|b|*cos90°-2|a|2+9|c|?|b|?cos60°-6|a|?|c|?cos60°=-62.&3點(diǎn)撥：AA+AA+…+AA=AA,1223n-1n1n?:在b方向投影為|AA|?cos<AA,b〉=2|a|?cos30°=3.TOC\o"1-5"\h\z1n1n■1p1p1—9.MG=--OA+丄OB+丄OC點(diǎn)撥：如答圖9-5-1所示，連AG延長(zhǎng)交BC于E,6331C1?.C1b1■[■&[EMG=MA+AG=一OA+AE=OA+—?(AB+AC)=OA+-(OB-OA)+—(OC-OA23232233111?-)=-OA+—OB+—OC.633'I10.九=--點(diǎn)撥：根據(jù)共面向量定理知，P、A、B、C四點(diǎn)共面，則OP=xOA+yOB+zOC,3且x+y+z=1.三、11.證明：設(shè)E、&分別是平行六面體的面ABCD與A^qD］的中心，于是有PA+PB+PC+PD=(PA+PC)+(PB+PD)=2PE+2PE=4PE,同理可證PA+PB+PC+PD=4PE.11111又???平行六面體對(duì)角線的交點(diǎn)O是EE的中點(diǎn)，???PE+PE=2PO,11b-?&■to-■-irirr■irb-t?>PA+PB+PC+PD+PA+PB+PC+PD=4PE+4PE=4(PE+PE)=8PO.11111112.解：由AC丄a,可知AC丄AB.過D作DD'丄a,D‘為垂足，則ZDBDZ=30°,<CA,BD>=120°,|CD丨2=CD?CD=(CA+AB+BD”=|CA12+|AB12+|BD12+2CA?AB+2CA?BD+AB?BD二b2+a2+b2+2b2?cos120°=a2+b2.?.CD=i：a2+b2.B卷■]]ilF■■1811一、1.證明：TAC=OC-OA=2OC-2OA=2(OC-OA)=2AC=2(AB+AD)1111=2[(OB-OA)+(OD-OA)]=2OB-2OA+2OD-2OA=(OB-OA)+(OD-OA)=AB+AD,11111111???,b「q、D］四點(diǎn)共面.二、2.解：如答圖9-5-2.解：過A作AM丄CD的延長(zhǎng)線于M,則CM=4cos30°=2f3.CN=2cos30°=^3,??MN=CM-CN=u3.又AM=AC?sin30°=2,BN=BC?sing30°=l,且〈NB,NE>=120°,/.<NB,AM>=60°.TAM丄MN，則AM?MN=0.同理MN?NB=0.*/AB=AM+MN+NB,??AB2=AM2+MN2+NB2+2AM?MN+2AM?NB+2MN?NB=4+3+1+2|AM|?|NB|?cos60°=10.即|AM|=<10,所以線段AB長(zhǎng)度為"10.三、（一）3.解：取AB、CD的中點(diǎn)分別記為M、N,連結(jié)AN、BN.???空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a,.??BN丄C