高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點

高中數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)知識點匯總1?①與(0°<<360°)終邊相同的角的集合(角與角的終邊重合)：|k360,kZ②終邊在x軸上的角的集合:180,kZ③終邊在y軸上的角的集合:18090,kZcosx3〔sin」42Isin」cosx'④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：90,kZcosxcosx⑤終邊在y=x軸上的角的集合:/sin」1?①與(0°<<360°)終邊相同的角的集合(角與角的終邊重合)：|k360,kZ②終邊在x軸上的角的集合:180,kZ③終邊在y軸上的角的集合:18090,kZcosx3〔sin」42Isin」cosx'④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：90,kZcosxcosx⑤終邊在y=x軸上的角的集合:/sin」2〔sinJ\3⑥終邊在yx軸上的角的集合：Ik18045,kZ⑦若角與角的終邊關(guān)于x軸對稱，則角與角的關(guān)系：360⑧若角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，則角與角的關(guān)系：360⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：180|kkk180k⑩角與角的終邊互相垂直，則角k18045,kZ的關(guān)系：360SIN\COS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域與角90°=0.017451=57.30°=572.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2180°=1注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù),負角的弧度數(shù)為負數(shù),零角的弧度數(shù)為零.°18’、弧度與角度互換公式：1rad=180°Q57.30°=57°18'.1°=一%0.01745(rad)1803、弧長公式：4、三角函數(shù)：>八曰設(shè)是11r?扇形面積公式：slrIIr2扇形22個任意角，在的終邊上任取(異于原點的)一點P(x,y)P與原點的距離為r,則x3、弧長公式：4、三角函數(shù)：>八曰設(shè)是11r?扇形面積公式：slrIIr2扇形22個任意角，在的終邊上任取(異于原點的)一點P(x,y)P與原點的距離為r,則x；r?seccscyx5、三角函數(shù)在各象限的符號：(一全二正弦,三切四余弦)sin-；cosr—；tan~；cotrx6、三角函數(shù)線正弦線：MP;余弦線：0M;正切線：AT.7?三角函數(shù)的定義域:sinx〉cossx〉sinxco16.幾個重要結(jié)論(1)yP(x,y)|sinxa的終邊⑵yi|sinx三角函數(shù)定義域f(x)sine(3)若o〈x〈9,則sinx〈x〈tanx2f(x)=cosxf(x)=tanxf(x)=cotxf(x)=secxf(x)=cscx8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：_Sina=tanacosacosasina9、誘導(dǎo)公式：哼a的三角函數(shù)化為。的三角函數(shù)，概括為:“奇變偶不變，符號看象限，a當(dāng)成銳角看！”k-Z）公式組二公式組三三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系公式組二公式組三公式組四公式組五公式組六■62■62”tan15。=cot75。=2—、、3，tan75。=cot15。=2+*34(A、w>0)定義域RRR值域RR周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)0,非奇非偶當(dāng)屮=0,奇函數(shù)單調(diào)性兀[——+2kK,2?！?2kK]2上為增函數(shù)；[—+2k冗,23—“—+2k—]2上為減函數(shù)(keZ)［（2k—1—,2k—］'上為增函數(shù)［2k—,（2k+1L］上為減函數(shù)（keZ）——+k—,—+k—]I22丿上為增函數(shù)(keZ)Q—,Q+1—）上為減函數(shù)（keZ）c,—]2k————甲2(A)(A),w“12k—+_——甲2(A)(一A)_w」上為增函數(shù)；“—]2k—+——甲2(八(A),w2k—+———rn2(j)（―A）_w」上為減函數(shù)（keZ）sin15。=cos75。sin75。=cosl5。=「6+2410.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：注意：①y=—sinx與y=sinx的單調(diào)性正好相反；y=—cosx與y=cosx的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若y=f（x）在［a,b］上遞增（減），則y=—f（x）在［a,b］上遞減（增）?②y=sinx與y=Icosxl的周期是兀.、2兀③y=sin@x+*)或y=cos@x+屮)(?工0)的周期T=.?l（T=匹二T=2k，如圖，翻折無效）.

兀④y=sin@x+*)的對稱軸方程是x=kn+—(keZ)，對稱中心(kn,0)；y=cos@x+屮)的對稱軸方程是2knx=kn(keZ)，對稱中心(kn+1n0)；y=tan(Ox+9)的對稱中心(——,0).—'—ntanntana?tanB=-1,a-卩=kn+(keZ).—⑤當(dāng)tana?tanB=1,a+卩=kn+—(keZ)；—⑥y=cosx⑥y=cosx與y==sinx++—kn是同一函數(shù)，而y=+9)是偶函數(shù)'則I—丿y=驅(qū)+9)=血亦+kn+—n)=±C°S(WX)-⑦函數(shù)y=tanx在R上為增函數(shù).（x）［只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增?若在整個定義域，y=tanx為增函數(shù),同樣也是錯誤的］.⑧定義域關(guān)于原點對稱是f（x）具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關(guān)于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：f（-x）=f（x），奇函數(shù)：f（-x）=-f（x））奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反?例如：y=tanx是奇函數(shù)，y=tan（x+3n）是非奇非偶?（定義域不關(guān)于原點對稱）▲yj/xy=lcos—x+1/21圖象奇函數(shù)特有性質(zhì)：若0ex的定義域，則f（x）一定有f（0）=0.（y=lcos—x+1/21圖象⑨y=Sinlxl不是周期函數(shù)；y=|sinx|為周期函數(shù)（T=n）；y=cosIxl圖象n（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如:y=coslxl是周期函數(shù)（如圖）；y=|cosy=cosIxl圖象n（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如:y=cos—x+1的周期為—y=f(x)=5=f(x+k),keR.⑩y=acosa+bsinB=ta—+b—sin(a+9)+cos9=—有Ya—+b—>|y|.a11、三角函數(shù)圖象的作法：1）幾何法：2）描點法及其特例——五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線）.3）利用圖象變換作三角函數(shù)圖象.三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．函數(shù)y=Asin（⑴x+9）的振幅|A|，周期T=互，頻率.=丄=型，相位?x+9;初相9（即當(dāng)x=0時Io|T—n的相位）?（當(dāng)A>0,W>0時以上公式可去絕對值符號），由y=sinx的圖象上的點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)IAI>1）或縮短（當(dāng)0VIAIV1）到原來的IAI倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換?（用y/A替換y）由y=sinx的圖象上的點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長（0<IwIV1）或縮短（3I>1）到原來的〔丄〔倍,o得到y(tǒng)=sinwx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換.（用⑴x替換x）

由y=sinx的圖象上所有的點向左（當(dāng)申>0）或向右（當(dāng)申<0）平行移動丨9丨個單位，得到y(tǒng)=sin（x+（p）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移.（用x+q替換x）由y=sinx的圖象上所有的點向上（當(dāng)b>0）或向下（當(dāng)b<0）平行移動丨b丨個單位，得到y(tǒng)=sinx+b的圖象叫做沿y軸方向的平移?（用y+（-b）替換y）由y=sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y=Asin（⑴x+q）（A>0,w>0）（xWR）的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。n?競賽知識要點一、反三角函數(shù).1?反三角函數(shù)：（1）反正弦函數(shù)y=arcsinx是奇函數(shù)，故arcsin（-x）=-arcsinx,xwL1,1]（—定要注明定義域，若xw（-8,+J，沒有x與y一一對應(yīng)，故y-sinx無反函數(shù)）注：sin（arcsinx）=x,xeI-1,1],.冗冗arcsinxe-—，—?_22」⑵反余弦函數(shù)y=arccosx非奇非偶，但有arccos(-x)+arccos(x)=冗+2kn,xe1-1,1].注：①cos(arccosx)=x,xeI-1,1]，arccosxeb,兀]?②y=cosx是偶函數(shù)，y=arccosx非奇非偶，而y=sinx和y=arcsinx為奇函數(shù)?⑶反正切函數(shù)：y=arctanx，定義域(一^+^)，值域(—匚,),y=arctanx是奇函數(shù)，22arctan(—x)=—arctanx，xe(-?,+?)?注：tan(arctanx)=x,xe(-?,+?)?兀兀丄⑷反余切函數(shù)：y=arccotx，定義域(-也+Q，值域(-),y=arccotx是非奇非偶.arccot(—x)+arccot(x)=兀+2k兀,xe(一8,+8).注：①cot(arccotx)=x,xe(一3,+3).②y=arcsinx與y=arcsin(1—x)互為奇函數(shù)，y=arctanx同理為奇而y=arccosx與y=arccotx非奇非偶但滿足arccos(—x)+arccosx=k+2k兀,xe[—1,1]arccotx+arccot(—x)=k+2kK,xe[—1,1]?⑵正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集：a的取值范圍解集a的取值范圍解集①sinx=a的解集②cosx=a的解集I』>10I*>10a=1仁ix=2kk+arcsina,keZlaI=1Ix=2kK+arccosa,keZ}laiV1\Ix=kK+(-1)karcsina,keZ%V1x=kK±arccosa,keZ}③tanx=a的解集：(xix=kK+arctana,keZ@cotx=a的解集：kIx=kK+arccota,keZ}二、三角恒等式?組一