2017年考研數(shù)學二試題及答案解析

2017年入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題解一、選擇題：1～8小題，每小4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求1（1）

x,x

在x0處連續(xù)，則 ab2

ab2

ab

【答案】

11 lim 11

f(xx0處連續(xù)1bab1

x0

（2）設二階可導函數(shù)f(x)滿足f(1)f(1)1,f(0)1且f''(x)0，則 (A)1f(x)dx B1f(x)dx (C)1f(x)dx0f【答案】

D1f(x)dx0f f(x為偶函數(shù)時滿足題設條件，此時1f(x)dx0f(x)dx3 3f(x)2x21滿足條件，則

f(x)dx12x1dx 0設數(shù)列xn收斂，則 當limsinxn0時limxn

當lim(xn )0時，limxn 當lim(xx20時limx

當lim(xsinx0時limx

n

n【答案】（A）xn，有l(wèi)imsinxn0limxn，Axn1B,C.

Ae2xe2x(Bcos2xCsin （B）Axe2xe2x(Bcos2xCsinAe2xxe2x(Bcos2xCsin （D）Axe2xe2x(Bcos2xCsin【答案】2480

2 f(x)e2x(1cos2x)e2xe2xcos2xy*Ae2x,y*xe2x(Bcos2xCsin 故特解為y*y*y*Ae2xxe2x(Bcos2xCsin2x f(x,y具有一階偏導數(shù)，且對任意的x,y，都有f(xy)0f(xy)0 （A）f(0,0)

f

f(0,0)

f

【答案】f(xy)0f(xy)0,f(xyxy 單位：m/s虛線表示乙的速度曲線vv2t)，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10,20,3，計時開始后乙追上甲的時刻記為t0（單位：s，則（） （A）t0

（B）15t0

（C）t0

（D）t0【答案】t0到t這段時間內甲乙的位移分別為0v

v(t)dt 0

0v2(tv1(t)dt10，當t025A為三階矩陣，P(

,)為可逆矩陣使得P1AP

A(

,)

2（A）1

（B）2

（C）2

1【答案】

P1AP APP A(,,)(,,)

2

3 2 2 2 B 設矩陣A 1,B 0,C

【答案】EA0A 0 因為3r(2EA)1，∴A可相似對角化，即A~ 0 2 EB0B因為3r(2EB2，∴BCA~CB二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在指定位置上yx1arcsin2 x yxlimyxlim(1arcsin2)1,limyxlimxarcsinlimyxyx

xt

yy(x由參數(shù)方程ysin

d2d28dycost,dx1etdycos 1costd2d2 1et sint(1et)cosd2

ln(1x)dx

1et

t 【答案】

(1

ln(1 (1x)2dxln(1x)d1 ln(1x)

1

0(1x)2 0 0設函數(shù)

(1x)2dxf(x,y)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，且df(xy)yeydxx(1y)eydy

f(00)0，則f(x,y) 【解析】fyey,fx(1y)ey,f(xy

yeydxxyeycyyfxeyxyeycyxeyxyey，因此cy0，即cyC，再由f(00)0，可得f(xyxyey.y1dy1tanxdx 【答案】1dy1tanxdx1dxxtanxdy1tanxdxln

1設矩陣A a的一個特征向量為1，則a 2 21【解析】設1A22 21 1 a1132a

12 2

2 axx0（15（0

x23xx

x00

dtxtuxxtetdtx

uexudu0

x exx

原式lim x

xx xlim limxe2 x

x03 x2（16（10分）f(uv2yf(excosxd2d2

d2d2

【答案 f1

yf(ex,cosx) f'exf' d2y

''2ff

f''d2

11

f'd2d2

n（17（n

kln1k

n14

k n nnk1 （18（10分）y(xx3y33x3y20y(xy(1)1y(13x23y2y'33y'y0x對（1）x

6x6yy'23y2y''3y''

x1代入原題給的等式中，得x1orxy y x1y0代入（2）y''(12x1y(11x1y(1（19（

f(x)0x(f(x)0在區(qū)間(0,1()f(x)f'(x)f'(x))20在區(qū)間(0,1f(xf(10

f(x)x解：1）

f(x)0x0x(0,

f(x)0f(x)x進而x0(0,)有ff(xf(x在[0,1f(x在[,1f(0f(10至少存在一點(,1f(0由（1）f(0)0(0,1),使f(0F(x

f(xf'(xf(0)

f()由定理(0,),使f'()0，則F(0)F()F()0，對F(x)在(0,),(,)分別使用定理：F'(x)f(xf''(xf'(x)20在(0,1至少有兩個不同實根。（20（D42

【解析】x1dxdyx21dxdy2x2dxdy

dxdy22

r2cos2d4 （21（

yy(x 2 意一點，L在點P處的切線與y軸相交于點0,Yp，法線與x軸相交于點Xp,0，若XpYp，求L上點的坐標x,y滿足的方程?！窘馕觥吭O

pxy(x)的切線為Yy(x)y(x)Xx，令X0Ypy(xy(x)x，法線Yy(x)

Xx,令Y0X

xy(xy(x)

p

yxy(xxyy(x，y1y(x)y1。令y

，則y

1ln(u21)arctanuln|x|Cx（22（(rA

2

33個不同的特征值，且3122(123Ax1 （II） （I）證明：由3122可得12230，即1,2,3線性相關A12

0A0A10且由于A必可相似對角化，則可設其對角矩陣為

, 0 ∴r(A)r()（II）由（1）rA)2，知3rA1Ax011 1 1由12230可得,

2A20Ax0的基礎解系為2

123，即,

1A1Ax的一個特解為1

1 1 Axk

1,k （23）（11分）

f(x,x,x)2x2x2ax22x

8x

2x

在正交變換 1 1 2XQY下的y2y2，求a的值及一個正交矩陣Q1 2131216 131216 1326 1326 a

,fx

3y26131216131216 f(x,x,x)XTAX，其中A 1 a f(xxx)XTAX經(jīng)正交變換后，得到的標準形為y2

1 2221rA2|A|01，1a 將21rA2|A|01，1a

2 |EA

1由(3EA)x0A的屬于特征值-3的特