2023年全國4月高等教育自學考試概率論與數(shù)理統(tǒng)計經(jīng)管類試題課程代碼：04183

2023年4月《概率論與數(shù)理記錄》(經(jīng)管類)答案解析課程代碼:04１8３?1.【答案】D?【解析】“命中目的”=“甲命中目的”或“乙命中目的”或“甲、乙同時命中目的”，所以可表達為“Ａ∪B”,故選擇D.?【提醒】注意事件運算的實際意義及性質(zhì)：

(１)事件的和:稱事件“A，B至少有一個發(fā)生”為事件A與B的和事件，也稱為A與B的并A∪B或Ａ＋B．?性質(zhì):①,;②若,則Ａ∪Ｂ＝Ｂ.

（2）事件的積：稱事件“A，B同時發(fā)生”為事件A與B的積事件，也稱為Ａ與Ｂ的交,記做F=A∩B或F＝ＡB.

性質(zhì):①，;②若,則AB=A.?（3)事件的差:稱事件“A發(fā)生而事件Ｂ不發(fā)生”為事件Ａ與Ｂ的差事件,記做A－B.

性質(zhì):①;②若，則;③.（4）事件運算的性質(zhì)?(ｉ）互換律:Ａ∪B＝B∪A,AＢ＝BA；?(ii)結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪Ｃ),（AB)Ｃ=A（BC）;?（iiｉ)分派律:（A∪B）∩Ｃ=（A∩C）∪(B∩C)?(A∩B）∪C=（A∪C)∩（B∪C)．

（iv）摩根律（對偶律),2.【答案】A?【解析】,，?故選擇A．

【提醒】見1題【提醒】（3）.３.【答案】D

【解析】根據(jù)分布函數(shù)的定義及分布函數(shù)的性質(zhì)，選擇D.詳見【提醒】．?【提醒】1.分布函數(shù)定義：設(shè)X為隨機變量,稱函數(shù)

，?為的分布函數(shù).2．分布函數(shù)的性質(zhì):?①０≤Ｆ（ｘ)≤1；?②對任意x1,ｘ2(x１<x2），都有；?③Ｆ（x)是單調(diào)非減函數(shù);?④，;?⑤F(x）右連續(xù)；?⑥設(shè)x為f(x)的連續(xù)點，則f′（ｘ）存在，且Ｆ′（x）=f(x)．3．已知Ｘ的分布函數(shù)F（x），可以求出下列三個常用事件的概率：

①；

②，其中a＜b;?③.?4.設(shè)二維隨機變量(X，Y）的分布律為0120?100．10.2?0.4０．30則(）

A.0B.0．1C.0．2Ｄ.0.3【答案】D?【解析】由于事件,?所以，

=0+0.1＋0.２=0.3

故選擇D

【提醒】1．本題考察二維離散型隨機變量的邊沿分布律的求法;?2.要清楚本題的三個事件的概率為什么相加：由于三事件是互不相容事件，而互不相容事件的概率為各事件概率之和.5．Ａ.0.２5Ｂ.0．５C.０.７5D.1【答案】A?【解析】積分區(qū)域D：0＜X≤0.5,０＜Y≤１,所以??故選擇A.

【提醒】1.二維連續(xù)型隨機變量的概率密度f（x,y)性質(zhì)：

①f（ｘ,y)≥０；

②;

③若f(x,y）在(ｘ,y）處連續(xù),則有

,?因而在ｆ(x，y）的連續(xù)點(x，y）處，可由分布函數(shù)F(x,y）求出概率密度ｆ(x,y)；?④(X,Ｙ）在平面區(qū)域D內(nèi)取值的概率為

.2.二重積分的計算：本題的二重積分的被積函數(shù)為常數(shù)，根據(jù)二重積分的幾何意義可用簡樸方法計算:積分值=被積函數(shù)0．5×積分區(qū)域面積0.５.6.A.﹣０.８B.﹣0．2C.0Ｄ．0．４【答案】Ｂ

【解析】E(X）=（﹣2）×0.4+0×0.3+2×0．３=﹣0．2?故選擇B.【提醒】１．離散型一維隨機變量數(shù)學盼望的定義：設(shè)隨機變量的分布律為?,1,2，….?若級數(shù)絕對收斂，則定義的數(shù)學盼望為

.?2.數(shù)學盼望的性質(zhì)：?①E（c)＝c,c為常數(shù)；?②E(ａＸ）=aＥ（x）,a為常數(shù);

③E（X+b)=E（X+b）=Ｅ(Ｘ）+b,b為常數(shù);?④E（aＸ+b)＝aE（X)+b，a，b為常數(shù).?7.【答案】C?【解析】根據(jù)連續(xù)型一維隨機變量分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系得?,?所以，=，故選擇C．?【提醒】1.連續(xù)型一維隨機變量概率密度的性質(zhì)

①;

②；

③;

④；?⑤設(shè)ｘ為的連續(xù)點，則存在,且.2.一維連續(xù)型隨機變量數(shù)學盼望的定義:設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為，假如廣義積分絕對收斂,則隨機變量的數(shù)學盼望為

．

8.【答案】C?【解析】，，

而均勻分布的盼望為，故選擇C.【提醒】1.常用的六種分布

(1)常用離散型隨機變量的分布(三種)：X01概率qpA.兩點分布

①分布列

②數(shù)學盼望：E(X)=P?③方差：D（X)=pq．?B.二項分布:X～B(ｎ,ｐ)

①分布列:,k=0，１，2，…，n；

②數(shù)學盼望：Ｅ(Ｘ）＝ｎP

③方差：D（X）=npｑ．?C.泊松分布：Ｘ～?①分布列:,０,1，2，…?②數(shù)學盼望：

③方差：＝

（2）常用連續(xù)型隨機變量的分布(三種）：?Ａ.均勻分布：Ｘ～

①密度函數(shù):,

②分布函數(shù)：,

③數(shù)學盼望:E(X)＝,

④方差:Ｄ（Ｘ)=.?B.指數(shù)分布:Ｘ～

①密度函數(shù)：,?②分布函數(shù)：，?③數(shù)學盼望:E(X）＝,

④方差:D(X)=.?C.正態(tài)分布

(A）正態(tài)分布:Ｘ~?①密度函數(shù):,-∞＋∞?②分布函數(shù):?③數(shù)學盼望：=,?④方差：=，?⑤標準化代換：若X~,,則~．

（Ｂ)標準正態(tài)分布:X～

①密度函數(shù)：，－∞＋∞

②分布函數(shù):,－∞＋∞?③數(shù)學盼望:Ｅ(Ｘ）＝０，

④方差：D（X）=1.2.注意:“樣本”指“簡樸隨機樣本”，具有性質(zhì):“獨立”、“同分布”.

９.【答案】Ａ

【解析】易知，，故選擇A.【提醒】點估計的評價標準：?(１）相合性(一致性）：設(shè)為未知參數(shù),是的一個估計量，是樣本容量，若對于任意，有?,?則稱為的相合（一致性）估計.?(2）無偏性:設(shè)是的一個估計，若對任意，有?

則稱為的無偏估計量；否則稱為有偏估計.?（3)有效性

設(shè)，是未知參數(shù)的兩個無偏估計量,若對任意有樣本方差,則稱為比有效的估計量.若的一切無偏估計量中，的方差最小,則稱為的有效估計量.

10.【答案】A?【解析】查表得答案．

【提醒】關(guān)于“課本p162，表7－１：正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計表”記憶的建議：?①表格共5行，前3行是“單正態(tài)總體”，后２行是“雙正態(tài)總體”；

②對均值的估計,分“方差已知”和“方差未知”兩種情況，對方差的估計“均值未知”;?③記錄量順序:，t,ｘ2，t,F.

?二、填空題（本大題共15小題,每小題2分,共30分)

11.【答案】0.1?【解析】由加法公式P（A∪B）=P（Ａ）+P(B)-Ｐ(AＢ)，則?P（AB)=P(A)+Ｐ(B）-Ｐ（A∪B)＝0.1?故填寫０.1.12.【答案】?【解析】設(shè)第三次取到0的概率為，則?

故填寫.【提醒】古典概型:(1)特點:①樣本空間是有限的;②基本領(lǐng)件發(fā)生是等也許的；?（2)計算公式.

13.【答案】0.８?【解析】由于隨機事件A與B互相獨立,所以P(AB）=Ｐ(A）Ｐ（B)

再由條件概率公式有=?所以，故填寫０.８.【提醒】二隨機事件的關(guān)系?（1）包含關(guān)系:假如事件Ａ發(fā)生必然導致事件B發(fā)生,則事件B包含事件Ａ，記做;對任何事件C,都有,且;?(2)相等關(guān)系:若且,則事件A與B相等，記做A＝B,且Ｐ（A）＝P(Ｂ）;?（3)互不相容關(guān)系:若事件A與B不能同時發(fā)生,稱事件Ａ與Ｂ互不相容或互斥，可表達為＝，且P(AB）=0;?(4）對立事件：稱事件“Ａ不發(fā)生”為事件A的對立事件或逆事件，記做;滿足且.

顯然：①;②,.

(5)二事件的互相獨立性:若,則稱事件A,Ｂ互相獨立；

性質(zhì)1：四對事件A與B，與B，A與,與其一互相獨立,則其余三對也互相獨立；

性質(zhì)２:若A，Ｂ互相獨立，且Ｐ(A)>０，則．

14.【答案】

【解析】參數(shù)為泊松分布的分布律為

,0，1，2，3，…

由于，所以,０，1,2，3，…,

所以=，

故填寫.

15.【答案】?【解析】由于，則~,

所以,故填寫.

【提醒】注意審題,準確鑒定概率分布的類型.?１６.【答案】?【解析】由于二維隨機變量（X,Ｙ）服從圓域D:上的均勻分布,則?,所以

故填寫.【提醒】課本介紹了兩種重要的二維連續(xù)型隨機變量的分布:

(1）均勻分布:設(shè)D為平面上的有界區(qū)域，其面積為S且S＞0，假如二維隨機變量(X,Ｙ）的概率密度為?,

則稱(Ｘ，Y)服從區(qū)域Ｄ上的均勻分布,記為（X，Y)~.（2）正態(tài)分布：若二維隨機變量（X，Y）的概率密度為?

(，）,

其中,，,,都是常數(shù)，且?，,,

則稱(X，Ｙ)服從二維正態(tài)分布,記為（X,Y)～.

1７.【答案】0?【解析】根據(jù)方差的性質(zhì)，常數(shù)的方差為0.

【提醒】1.方差的性質(zhì)

①D(c)=０,c為常數(shù)；?②D(ａX)=ａ２D(X)，ａ為常數(shù);

③D(X+ｂ)=D(X），ｂ為常數(shù);?④D(aX+b）＝a2D(X），ａ，b為常數(shù)．?２.方差的計算公式:D(X）=E（X２）－E2(Ｘ).

１8.【答案】?【解析】由于隨機變量Ｘ服從參數(shù)1的指數(shù)分布,則

，

則

?故填寫.?【提醒】連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學盼望：設(shè)X為連續(xù)性隨機變量,其概率密度為，又隨機變量，則當收斂時，有?

１9.【答案】?【解析】由已知得,,所以?.?【提醒】切比雪夫不等式：隨機變量具有有限盼望和,則對任意給定的，總有?或.?故填寫.?2０.【答案】1?【解析】根據(jù)x2定義得Ｃ=1,故填寫１.

【提醒】１.應(yīng)用于“小樣本”的三種分布:?①x2－分布：設(shè)隨機變量Ｘ１，X２，…,Xn互相獨立,且均服從標準正態(tài)分布,則?服從自由度為n的x2-分布，記為x２~x2(n).

②Ｆ－分布:設(shè)X，Y互相獨立，分別服從自由度為m和n的ｘ2分布,則服從自由度為ｍ與ｎ的F－分布，記為F~Ｆ（ｍ,ｎ)，其中稱ｍ為分子自由度，n為分母自由度.?③ｔ-分布:設(shè)X~N（０，1)，Y~ｘ2（n)，且X，Y互相獨立,則服從自由度為n的t－分布，記為ｔ~t(n).?２.對于“大樣本”，課本p1３4,定理6-１:?設(shè)x1，x2,…,xｎ為來自總體X的樣本,為樣本均值，

(1)若總體分布為,則的精確分布為;

（2)若總體X的分布未知或非正態(tài)分布，但,,則的漸近分布為.

21.【答案】?【解析】課本P15３,例７－１４給出結(jié)論：,而，

所以,

故填寫.

【說明】本題是根據(jù)例7-14改編.由于的證明過程比較復雜，在２023年課本改版時將證明過程刪掉,即本次串講所用課本(也是學員朋友們使用的課本）中沒有這個結(jié)論的證明過程，只給出了結(jié)果.感愛好的學員可查閱舊版課本《高等數(shù)學（二）第二分冊概率記錄》P164,例５．８.?2２.【答案】?【解析】由矩估計方法,根據(jù):在參數(shù)為的泊松分布中,，且的無偏估計為樣本均值,所以填寫．

【提醒】點估計的兩種方法

（1)矩法（數(shù)字特性法)估計:

A.基本思想：

①用樣本矩作為總體矩的估計值；

②用樣本矩的函數(shù)作為總體矩的函數(shù)的估計值．

Ｂ.估計方法：同A.

（２）極大似然估計法

Ａ．基本思想：把一次實驗所出現(xiàn)的結(jié)果視為所有也許結(jié)果中概率最大的結(jié)果，用它來求出參數(shù)的最大值作為估計值.

B．定義:設(shè)總體的概率函數(shù)為,，其中為未知參數(shù)或未知參數(shù)向量，為也許取值的空間,x1,x2，…,ｘn是來自該總體的一個樣本,函數(shù)稱為樣本的似然函數(shù);若某記錄量滿足，則稱為的極大似然估計.

C.估計方法

①運用偏導數(shù)求極大值

i）對似然函數(shù)求對數(shù)?ii)對求偏導數(shù)并令其等于零，得似然方程或方程組?ｉｉi)解方程或方程組得即為的極大似然估計.

②對于似然方程(組）無解時，運用定義:見教材p150例7-10;

（3)間接估計：?①理論根據(jù):若是的極大似然估計，則即為的極大似然估計;?②方法：用矩法或極大似然估計方法得到的估計,從而求出的估計值.?２3.【答案】?【解析】已知總體服從參數(shù)為的指數(shù)分布，所以

，

從而…,=，

故填寫.?24.【答案】

【解析】課本p1７6，8.3.１.

25.【答案】?【解析】由一元線性回歸模型中,其中～，１，２,…,，且,,…，互相獨立，得一元線性回歸方程

，

所以，，則?~?由20題【提醒】（3）得

,

故填寫.?【說明】課本p186,

三、計算題(本大題共2小題,每小題8分,共16分)?26.(1)設(shè)甲取到黑球的概率為p，則

.（2）設(shè)乙取到的都是黑球的概率為p,則

．27.（附:）【分析】本題考察假設(shè)檢查的操作過程,屬于“單正態(tài)總體,方差未知，對均值的檢查”類型.【解析】

設(shè)欲檢查假設(shè)Ｈ0:,H1:，

選擇檢查記錄量，

根據(jù)顯著水平=0.05及n=16,查t分布表，得臨界值ｔ0.02５（１5）＝2.1３15,從而得到拒絕域?,?根據(jù)已知數(shù)據(jù)得記錄量的觀測值??由于,拒絕，可以認為用新工藝生產(chǎn)的零件平均直徑與以往有顯著差異．?【提醒】1.假設(shè)檢查的基本環(huán)節(jié):?（１）提出記錄假設(shè)：根據(jù)理論或經(jīng)驗對所要檢查的量作出原假設(shè)(零假設(shè)）Ｈ０和備擇假設(shè)H1,規(guī)定只有其一為真.?如對總體均值檢查，原假設(shè)為H0：,備擇假設(shè)為下列三種情況之一:

:，其中i)為雙側(cè)檢查,iｉ），iｉi）為單側(cè)檢查.

（2）選擇適當?shù)臋z查記錄量,滿足：①必須與假設(shè)檢查中待檢查的“量”有關(guān)；②在原假設(shè)成立的條件下，記錄量的分布或漸近分布已知.

(3)求拒絕域：按問題的規(guī)定，根據(jù)給定顯著水平查表擬定相應(yīng)于的臨界值,從而得到對原假設(shè)Ｈ0的拒絕域W．?（4)求記錄量的樣本值觀測值并決策：根據(jù)樣本值計算記錄量的值,若該值落入拒絕域W內(nèi)，則拒絕H0,接受H1,否則,接受Ｈ0.

2.關(guān)于課本ｐ１8１，表8-４的記憶的建議:與區(qū)間估計對照分類記憶．?

四、綜合題(本大題共2小題,每小題12分,共２4分)?28．【分析】本題考察二維連續(xù)型隨機變量及隨機變量函數(shù)的概率密度.

【解析】