新教材高中數(shù)學(xué)立體幾何初步.4.1直線與平面垂直課時分層作業(yè)含解析新人教B版必修

06/707/7/課時分層作業(yè)(十九)直線與平面垂直(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．m，n是空間兩條不同直線，α，β是空間兩個不同平面，下面有四種說法：①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.其中正確說法的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4B[①正確，因為n∥β，α∥β，所以在α內(nèi)有與n平行的直線，又m⊥α，則m⊥n；②錯誤，α∥β，m⊥α?m⊥β，因為m⊥n，則還可能n?β；③錯誤，因為m⊥n，α∥β，m∥α，則還可能n?β，n∥β或n與β相交；④正確，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因為m∥n，則n⊥β.]2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是C1C的中點，則直線BE與平面B1A．－eq\f(\r(10),5)B．eq\f(\r(10),5)C．－eq\f(\r(15),5)D．eq\f(\r(15),5)B[取B1D的中點O，連接EO(圖略)，則EO∥AC，因為AC⊥平面B1BD，所以EO⊥平面B1BD，則∠EBO就是直線BE與平面B1BD所成角的平面角，所以sin∠EBO＝eq\f(EO,EB)＝eq\f(\r(10),5)，故選B．]3．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P為邊AB的中點，現(xiàn)將△DAP繞直線DP翻轉(zhuǎn)至△DA′P處，如圖所示，若M為線段A′C的中點，則異面直線BM與PA′所成角的正切值為()A．eq\f(1,2)B．2C．eq\f(1,4)D．4A[取A′D的中點N，連接PN，MN.因為M是A′C的中點，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四邊形PBMN為平行四邊形，所以MB∥PN，所以∠A′PN為異面直線BM與PA′所成的角．在Rt△NA′P中，tan∠A′PN＝eq\f(A′N,A′P)＝eq\f(1,2)，故選A．]4．已知ABCD-A1B1C1D1A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1D[正方體中由BD∥B1D1，易知A正確；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，從而BD⊥AC1，即B正確；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C因此AC1⊥平面CB1D1，即C正確；由于四邊形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正確．故選D．]5．如圖，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是()A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FHB[因為EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG與EF為相交直線，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B．]二、填空題6．如圖所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)有________．4[eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC，,BC?平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC，,AC⊥BC，,PA∩AC＝A))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC．]7．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝1，則點C到平面ABC1eq\f(\r(21),7)[取AB的中點E，連接CE，C1E，過點C作CF⊥C1E于點F.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB?平面ABC，則AB⊥CC1，∵△ABC是等邊三角形，∴AB⊥CE.又CE∩CC1＝C，CE?平面CC1E，CC1?平面CC1E，∴AB⊥平面CC1E.∵CF?平面CC1E，∴CF⊥AB．又AB∩C1E＝E，AB?平面ABC1，C1E?平面ABC1，∴CF⊥平面ABC1，則CF的長即為所求．在Rt△CEC1中，CC1＝1，CE＝eq\f(\r(3),2)，∴C1E＝eq\r(CC\o\al(2,1)＋CE2)＝eq\f(\r(7),2)，由eq\f(1,2)C1E×CF＝eq\f(1,2)CC1×CE，得CF＝eq\f(CC1×CE,C1E)＝eq\f(\r(21),7).]8．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，過A點作平面A1BD的垂線，垂足為點H①點H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1與B1C其中正確結(jié)論的序號是________．①②③[①正確，因為AH⊥平面A1BD，AA1＝AB＝AD，所以Rt△AHA1≌Rt△AHD≌Rt△AHB，所以HA1＝HB＝HD，所以點H是△A1BD的外心，又因為A1B＝BD＝DA1，所以點H是△A1BD的中心．②正確．易證平面A1BD∥平面CB1D1，又因為AH⊥平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1.③正確．易證A1D⊥平面ABC1D1，所以AC1⊥A1D，又A1D∥B1C，所以AC1⊥B1C，所以AC1與B三、解答題9．如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE.求證：AE⊥BE.[證明]因為AD⊥平面ABE，AD∥BC，所以BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE，所以AE⊥BC．因為BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以AE⊥BF.又因為BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE，所以AE⊥BE.10．如圖所示，四邊形ABB1A1為圓柱的軸截面(過圓柱軸的截面)，C是圓柱底面圓周上異于A，B的任意一點．求證：AC⊥平面BB1[證明]因為四邊形ABB1A1所以BB1⊥底面ABC．因為AC?底面ABC，所以BB1⊥AC．因為AB為底面圓的直徑，所以∠ACB＝90°，所以BC⊥AC．又因為BB1∩BC＝B，BB1?平面BB1C，BC?平面BB1所以AC⊥平面BB1C11．(多選題)如圖，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB，PC上的射影，則下列結(jié)論正確的是()A．AF⊥PB B．EF⊥PBC．AF⊥BC D．AE⊥平面PBCABC[AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC．又PA⊥⊙O所在的平面，∴PA⊥BC．∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．∵AF?平面PAC，∴BC⊥AF.又AF⊥PC，PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC．∵PB?平面PBC，∴AF⊥PB，A，C正確．又AE⊥PB，AF∩AE＝A，∴PB⊥平面AEF.∵EF?平面AEF，∴EF⊥PB，B正確．假如AE⊥平面PBC，則AE⊥BC．又BC⊥AC，連接EC(圖略)，則BC⊥平面AEC，這與BC⊥平面PAC矛盾，D錯誤．]12．如圖，已知△ABC是等腰三角形，且∠ACB＝120°，AC＝2，點D是AB的中點．將△ACD沿CD折起，使得AC⊥BC，則此時直線BC與平面ACD所成角的正弦值為()A．eq\f(\r(6),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3)D．eq\f(1,3)A[如圖，作BE⊥AD，垂足為E，連接CE.∵AD⊥CD，BD⊥CD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ADB．∵BE?平面ADB，∴CD⊥BE，又BE⊥AD，AD∩CD＝D，∴BE⊥平面ACD，∴∠BCE為直線BC與平面ACD所成的角．由題意，可知AD＝BD＝eq\r(3)，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝2eq\r(2).設(shè)△ADB中，AB邊上的高為h，則h＝eq\r(?\r(3)?2－?\r(2)?2)＝1.由AD·BE＝AB·h，得BE＝eq\f(2\r(6),3)，∴sin∠BCE＝eq\f(BE,BC)＝eq\f(\r(6),3)，故選A．]13．已知平面α，β和直線m，給出下列條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.當(dāng)滿足條件________時，有m⊥β.②④[若m⊥α，α∥β時，有m⊥β，故填②④.]14．如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②直線BC∥平面PAE；③∠PDA＝45°.其中正確的有________．(把所有正確的序號都填上)①③[對于①，因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，從而可得EA⊥PB，故①正確．對于②，由于在正六邊形中BC∥AD，所以BC與EA必有公共點，從而BC與平面PAE有公共點，所以直線BC與平面PAE不平行，故②不正確．對于③，由條件得△PAD為直角三角形，且PA⊥AD，又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°.故③正確．]15．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E為PC的中點，AD＝CD＝1，DB＝2eq\r(2).(1)求證：PA∥平面BDE；(2)求證：AC⊥平面PBD；(3)求直線BC與平面PBD所成角的正切值．[解](1)證明：令A(yù)C∩BD＝O，連接OE，如圖所示．∵AD＝CD，DB平分∠ADC，∴點O為AC的中點．∵E為PC的中點，∴OE∥PA．∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE.(2)證明：由(1)知AC⊥BD．∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD．又PD∩