相似矩陣的定義及性質(zhì)

相似矩陣的定義及性質(zhì)1第一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)1:相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式、相同特征值、相同的行列式、相同的跡、相同的秩推論：若矩陣與對(duì)角陣相似，則是的個(gè)特征值。2第二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日(1)相似矩陣或者都可逆，或者都不可逆。當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆矩陣也相似。其它的有關(guān)相似矩陣的性質(zhì)：(3)若與相似，則與相似。（為正整數(shù)）(5)(6)（為任意常數(shù)）(2)若與相似，則與相似。（為正整數(shù)）(4)若與相似，而是一個(gè)多項(xiàng)式，則與相似。3第三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日（2）有相同特征多項(xiàng)式的矩陣不一定相似。注：（1）與單位矩陣相似的n階矩陣只有單位陣E本身，與數(shù)量矩陣kE相似的n階方陣只有數(shù)量陣kE本身。三.矩陣可對(duì)角化的條件（利用相似變換把方陣對(duì)角化）對(duì)階方陣，如果可以找到可逆矩陣，使得為對(duì)角陣，就稱為把方陣對(duì)角化。4第四頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日定理1：階矩陣可對(duì)角化（與對(duì)角陣相似）有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。（2）可逆矩陣由的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量作列向量構(gòu)成。(逆命題不成立)推論：若階方陣有個(gè)互不相同的特征值,則可對(duì)角化。（與對(duì)角陣相似）注：（1）若則的主對(duì)角元素即為的特征值，矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形。如果不計(jì)的排列順序，則唯一，稱之為5第五頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日例1:判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？解:得6第六頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日得基礎(chǔ)解系當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組為7第七頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日得基礎(chǔ)解系線性無(wú)關(guān)即A有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A可以對(duì)角化。8第八頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日得基礎(chǔ)解系所以不能化為對(duì)角矩陣.當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組為9第九頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日解：例2：設(shè)若能對(duì)角化，求出可逆矩陣使得為對(duì)角陣。問(wèn)能否對(duì)角化？10第十頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日得基礎(chǔ)解系當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組為11第十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日得基礎(chǔ)解系線性無(wú)關(guān)，可以對(duì)角化。令則有12第十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日注意：若令即矩陣的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)．則有13第十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日把一個(gè)矩陣化為對(duì)角陣，不僅可以使矩陣運(yùn)算簡(jiǎn)化，而且在理論和應(yīng)用上都有意義?？蓪?duì)角化的矩陣主要有以下幾種應(yīng)用：1.由特征值、特征向量反求矩陣?yán)?：已知方陣的特征值是相應(yīng)的特征向量是求矩陣14第十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日解：因?yàn)樘卣飨蛄渴?維向量，所以矩陣是3階方陣。因?yàn)橛?個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化。即存在可逆矩陣,使得其中求得15第十五頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日16第十六頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日2.求方陣的冪例4：設(shè)求解：可以對(duì)角化。齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣令得基礎(chǔ)解系:17第十七頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣令得基礎(chǔ)解系:令求得即存在可逆矩陣,使得18第十八頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日19第十九頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日3.求行列式例5：設(shè)是階方陣，是的個(gè)特征值，計(jì)算解：方法1求的全部特征值，再求乘積即為行列式的值。設(shè)的特征值是即的特征值是20第二十頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日方法2：已知有個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化，即存在可逆矩陣,使得21第二十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日4.判斷矩陣是否相似解：方法1的特征值為令3階矩陣有3個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化。例6：已知3階矩陣的特征值為1，2，3，設(shè)問(wèn)矩陣能否與對(duì)角陣相似？22第二十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日即存在可逆矩陣,使得方法2：因?yàn)榫仃囉?個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化，所以矩陣能與對(duì)角陣相似。23第二十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日例7：設(shè)階方陣有個(gè)互異的特征值，階方陣與有相同的特征值。證明：與相似。證：設(shè)的n個(gè)互異的特征值為則存在可逆矩陣,使