相關(guān)與回歸的分析全

相關(guān)與回歸的分析全第一頁，共六十七頁，2022年，8月28日一、變量間的相互關(guān)系（一）相關(guān)關(guān)系與因果關(guān)系1、相關(guān)關(guān)系（1）相關(guān)關(guān)系的含義：現(xiàn)象之間的數(shù)量關(guān)系存在著兩種不同的類型：一種是函數(shù)關(guān)系，另一種是相關(guān)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系指的是變量之間存在著的嚴(yán)格的依存關(guān)系，它們之間的關(guān)系值是固定的，對(duì)于某一變量的每一個(gè)值，都有另一個(gè)變量的完全確定的值與之相對(duì)應(yīng)。例如，圓的面積等于圓周率乘以半徑的平方。第二頁，共六十七頁，2022年，8月28日相關(guān)關(guān)系是指變量之間確實(shí)存在的但關(guān)系值不固定的相互依存關(guān)系。在這種關(guān)系中，當(dāng)一個(gè)(或幾個(gè))變量的值確定以后，另一個(gè)變量的值雖與它(或它們)有關(guān)，但卻不能完全確定。這是一種非確定性的關(guān)系。例如，電視機(jī)的擁有率與人均收入水平有關(guān)，但對(duì)于人均收入水平相同的地區(qū)，其電視機(jī)的擁有率可能不盡相同。在客觀事物中，尤其是在社會(huì)現(xiàn)象中，相關(guān)關(guān)系普遍存在。統(tǒng)計(jì)分析很有必要對(duì)這種關(guān)系進(jìn)行研究。第三頁，共六十七頁，2022年，8月28日（2）相關(guān)關(guān)系的特性對(duì)相關(guān)關(guān)系的分析，主要是把握相關(guān)關(guān)系三個(gè)方面的特性：其一，相關(guān)的強(qiáng)度。即兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的確定程度。其二，相關(guān)的方向。其三，線性相關(guān)與非線性相關(guān)。（3）相關(guān)關(guān)系的種類A、正相關(guān)與負(fù)相關(guān)從相關(guān)的方向看，相關(guān)關(guān)系可以分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。第四頁，共六十七頁，2022年，8月28日正相關(guān)是指相關(guān)變量之間的變化趨勢(shì)相同，即當(dāng)自變量的值增加，因變量的值也隨之增加；當(dāng)自變量的值減少，因變量的值也隨之減少。例如，汽車的使用年限與汽車的修理費(fèi)用之間的關(guān)系。負(fù)相關(guān)是指相關(guān)變量之間的變化趨勢(shì)相反，即當(dāng)自變量的值增加，因變量的值隨之減少；當(dāng)自變量的值減少，因變量的值隨之增加。例如，產(chǎn)品產(chǎn)量與單位產(chǎn)品成本之間的關(guān)系。第五頁，共六十七頁，2022年，8月28日B、線性相關(guān)與非線性相關(guān)從相關(guān)的形式上來看，相關(guān)關(guān)系可分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)。線性相關(guān)也稱直線相關(guān)，是指相關(guān)的兩個(gè)變量之間變化的趨勢(shì)呈線性或近似于線性。即自變量發(fā)生變動(dòng)，因變量隨之發(fā)生變動(dòng)，其增加或減少量是大致均等的，從圖形上看，其觀察點(diǎn)的分布近似表現(xiàn)為直線形式。非線性相關(guān)也稱曲線相關(guān)，是指相關(guān)的兩個(gè)變量之間變化的趨勢(shì)呈非線性。即自變量發(fā)生變動(dòng)，因變量隨之發(fā)生變動(dòng)，但其增加或減少量不是均等的，從圖形上看，其觀察點(diǎn)的分布表現(xiàn)為各種曲線形式。第六頁，共六十七頁，2022年，8月28日C、單相關(guān)和復(fù)相關(guān)從相關(guān)變量的個(gè)數(shù)來看，相關(guān)關(guān)系可分為單相關(guān)和復(fù)相關(guān)。單相關(guān)是指兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系。復(fù)相關(guān)是三個(gè)或三個(gè)以上變量之間的相關(guān)關(guān)系。例如，僅僅考慮施肥量對(duì)產(chǎn)量的影響，這就是一種單相關(guān)；如果除了施肥量之外，再考慮降雨量及深耕程度對(duì)產(chǎn)量的影響，則這種相關(guān)關(guān)系就是一種復(fù)相關(guān)。第七頁，共六十七頁，2022年，8月28日2、因果關(guān)系：是指某一變量的變化可以確定為另一變量變化原因的關(guān)系。在相關(guān)關(guān)系中，通常，在相互聯(lián)系的現(xiàn)象之間存在著一定的因果關(guān)系，這時(shí)就把其中的起著影響作用的現(xiàn)象具體化，通過一定的變量反映出來，這樣的變量稱為自變量。由于受到自變量變動(dòng)的影響而發(fā)生變動(dòng)的變量稱為因變量。相關(guān)關(guān)系確定為因果關(guān)系必須滿足三個(gè)條件：其一，兩變量之間必須存在相關(guān)關(guān)系；其二，必須確定自變量變化在前，因變量變化在后；其三，必須確定變量X與變量Y之間的關(guān)系，不是由于第三個(gè)變量的存在而呈現(xiàn)出來的一種虛假關(guān)系。第八頁，共六十七頁，2022年，8月28日例如，在糧食畝產(chǎn)量與施肥量之間，施肥量這一變量是自變量，畝產(chǎn)量這一變量是因變量。當(dāng)研究的是兩個(gè)變量之間的關(guān)系時(shí)，通常以符號(hào)X表示自變量，以符號(hào)Y表示因變量。在相關(guān)關(guān)系中，有時(shí)兩個(gè)變量之間只存在相互聯(lián)系而并不存在明顯的因果關(guān)系。確定哪一個(gè)是自變量，哪一個(gè)是因變量，主要決定于研究的目的。對(duì)不同層次的統(tǒng)計(jì)變量進(jìn)行相關(guān)關(guān)系分析的方法是不同的，下面我們分不同的變量類型來講。第九頁，共六十七頁，2022年，8月28日二、定距或定比變量的回歸與相關(guān)分析（一）回歸分析與相關(guān)分析的含義及聯(lián)系在對(duì)定距或定比變量之間存在的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行分析研究時(shí)，最常用的方法就是回歸分析和相關(guān)分析?；貧w分析和相關(guān)分析是相互聯(lián)系的，它們從不同方面研究變量之間相關(guān)關(guān)系的本質(zhì)?；貧w分析是用來研究變量之間關(guān)系的可能形式的統(tǒng)計(jì)方法。它把兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間的變動(dòng)關(guān)系加以模型化，用數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)變量之間的關(guān)系。運(yùn)用這種方法時(shí)，最終的目的通常在于預(yù)測(cè)或估計(jì)與某一個(gè)或某幾個(gè)變量的給定值相對(duì)應(yīng)的另一變量的數(shù)值。第十頁，共六十七頁，2022年，8月28日相關(guān)分析是研究如何計(jì)量變量之間關(guān)系方向和強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)方法。它能確定變量之間相關(guān)的方向及程度，即變量之間某種關(guān)系的確切程度有多大?；貧w分析和相關(guān)分析既有聯(lián)系，又有區(qū)別。就其研究對(duì)象來說，兩者都是研究變量之間的相關(guān)關(guān)系。但就彼此研究變量之間關(guān)系的性質(zhì)來看，兩者存在明顯的區(qū)別。回歸分析中，必須將相關(guān)變量區(qū)分為自變量和因變量，以確定其關(guān)系的可能形式，所研究變量屬于非對(duì)等關(guān)系。相關(guān)分析中，計(jì)量變量之間關(guān)系的強(qiáng)度，不必區(qū)分自變量與因變量，所研究變量屬于對(duì)等的關(guān)系。第十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日（二）相關(guān)圖表對(duì)現(xiàn)象變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系以及存在怎樣的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行分析、作出判斷，這是進(jìn)行回歸和相關(guān)分析的前提。對(duì)于定距或定比變量通過編制相關(guān)表和相關(guān)圖，可以直觀地、大致地判斷現(xiàn)象變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系以及關(guān)系的類型。第十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日(1)相關(guān)表相關(guān)表是表現(xiàn)現(xiàn)象變量之間相關(guān)關(guān)系的表格。例如，為研究商店人均月銷售額和利潤(rùn)率的關(guān)系，調(diào)查10家商店取得10對(duì)數(shù)據(jù)，以人均銷售額為自變量，利潤(rùn)率為因變量，編制簡(jiǎn)單相關(guān)表如下表。第十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日人均銷售額與和利潤(rùn)率相關(guān)表編號(hào)人均月銷售額(千元)利潤(rùn)率(％)1234567891013345667783.06.26.68.110.412.612.316.316.818.5第十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日(2)相關(guān)圖所謂相關(guān)圖，是把相關(guān)的兩個(gè)變量之間的關(guān)系在平面直角坐標(biāo)中反映出來。通常將自變量(x)置于橫軸上，因變量(y)置于縱軸上，而將兩個(gè)變量相對(duì)應(yīng)的變量值用坐標(biāo)點(diǎn)形式描繪出來。相關(guān)圖就是用相關(guān)點(diǎn)的分布狀況來描述相關(guān)關(guān)系的，所以又稱為散點(diǎn)圖。根據(jù)相關(guān)圖，可以直觀地看出變量之間相關(guān)關(guān)系的模式。第十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日例如，前述人均月銷售額與利潤(rùn)率的關(guān)系，可用相關(guān)圖表示如下：利潤(rùn)率(%)人均銷售額(千元)1

20人均銷售額與利潤(rùn)率相關(guān)圖51015

2

3

84

567第十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日從圖中，我們可以清楚地看出，這兩個(gè)變量之間相關(guān)的方向(即正相關(guān)或負(fù)相關(guān))以及相關(guān)的具體形式(線性相關(guān)或非線性相關(guān))(a)正直線關(guān)系(b)反直線關(guān)系(c)正曲線關(guān)系第十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日(e)較分散的

反直線關(guān)系(d)反曲線關(guān)系(f)沒有關(guān)系x與y的一些可能關(guān)系的散點(diǎn)圖第十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日上圖說明了相關(guān)圖中的一些可能關(guān)系。圖(a)和(b)表示的是正的和反的直線關(guān)系，即正線性相關(guān)和負(fù)線性相關(guān)。圖(c)和(d)分別表示的是正的和反的曲線關(guān)系，即正非線性相關(guān)和負(fù)非線性相關(guān)。圖(e)中是散布域很寬的反直線關(guān)系。散布域越寬，則表明變量之間的聯(lián)系程度越差。圖(f)中的圖象表明兩個(gè)變量之間沒有什么關(guān)系。第十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日（三）簡(jiǎn)單線性回歸（1）回歸直線的確定如果變量x和y相關(guān)并可區(qū)分自變量與因變量，如果從相關(guān)圖表中可以看出它們之間大致形成一種直線關(guān)系，我們就可在相關(guān)圖上求出一條與各點(diǎn)最相配合的直線。第二十頁，共六十七頁，2022年，8月28日由于這些點(diǎn)所代表的若干對(duì)數(shù)據(jù)——觀察值，只是相互有一定關(guān)系的變量x、y的總體中的一個(gè)樣本，故這樣求出的直線是總體回歸直線的估計(jì)線。在估計(jì)線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是相應(yīng)于x的y的估計(jì)值。y=a+bx如果這個(gè)y的估計(jì)值用y表示，則估計(jì)線的方程可寫為第二十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日這叫做樣本回歸直線。它是y對(duì)x的回歸線，表明y對(duì)x的平均關(guān)系。式中x為受控制的自變量，通常由研究者事先選定數(shù)值。a為樣本回歸直線y的截距，它是樣本回歸直線通過縱軸的點(diǎn)的y坐標(biāo)；b為樣本回歸直線的斜率，它表示當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí)y的平均增加數(shù)量，b又稱回歸系數(shù)。第二十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日如何確定回歸直線方程呢？也就是說怎樣確定方程中的參數(shù)a、b呢？若用(xi,yi)(i=1,2,…n)表示n組觀察值，則對(duì)任意給定的xi

，可得y的估計(jì)值為這些數(shù)值同實(shí)際值yi之間存在著誤差；yi=a+bxii=yi

yi=

yi

a

bxi第二十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日Q(a,b)=2=(yabx)2為最小。這樣便把尋找適當(dāng)直線問題轉(zhuǎn)化為使Q(a,b)達(dá)到最小條件下求出a、b的問題。在回歸分析中，人們普遍采用的是最小二乘法原則。根據(jù)最小二乘法的原則，欲使所求回歸直線y=a+bx最適合于實(shí)際資料，必須使每個(gè)xi對(duì)應(yīng)的指標(biāo)實(shí)測(cè)值yi與回歸直線確定的估計(jì)值yi的離差平方之和為最小，即必須使第二十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日因?yàn)镼(a,b)是a、b的非負(fù)二元函數(shù)，所以其最小值無疑是存在的。根據(jù)數(shù)學(xué)中的極值原理，令：滿足上述條件的a、b即為所求的未知參數(shù)。由化簡(jiǎn)得(yabx)=0(yabx)x=0第二十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日即：y=na+bxxy=ax+bx2上述方程組稱為標(biāo)準(zhǔn)方程組。解之，得：a=ybx第二十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日因此即可確定回歸方程式為：y=a+bx這個(gè)方程稱為在給定樣本條件下的一元線性回歸方程，對(duì)應(yīng)的直線稱為樣本回歸直線。顯然，回歸方程對(duì)于不同的樣本是有差別的，因而，它具有經(jīng)驗(yàn)的特征，所以在實(shí)用上，也將它叫做經(jīng)驗(yàn)公式。為了簡(jiǎn)化上述回歸系數(shù)b的表達(dá)形式，引入如下離差乘積的和式：Lxy=(xx)(yy)第二十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日Lxx=(xx)2于是，回歸系數(shù)可簡(jiǎn)化為為了相關(guān)性檢驗(yàn)的需要，順便引入關(guān)于y的離差平方和：Lyy=(yy)2第二十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日求回歸方程式的系數(shù)往往是通過列表進(jìn)行的。這里，我們以下表資料為倒，通過求某鋼鐵廠煉鋼精煉時(shí)間對(duì)含碳量的回歸方程，說明回歸方程的確定。10.9100爐次含碳量(%)

(x)精煉時(shí)間(分)

(y)某鋼鐵廠十個(gè)爐次鋼液含碳量和精煉時(shí)間10234567892.01.01.21.41.51.61.71.81.9105235130145170175190190220第二十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日可以看出，x與y之間的關(guān)系近似為直線關(guān)系。我們可以對(duì)其配合一條回歸直線。為計(jì)算回歸方程的系數(shù)a、b，我們先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行加工。第三十頁，共六十七頁，2022年，8月28日yx2y2xy1001051301451701751901902202350.811.001.441.962.252.562.893.243.614.001000011025169002102528900306253610036100484005522590105156203255280323342418470166023.762943002642爐次x123456789100.91.01.21.41.51.61.71.81.92.015.0原始數(shù)據(jù)加工表第三十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日于是：第三十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日所以：故精煉時(shí)間關(guān)于含碳量的回歸方程為：y=14.9525+120.635x第三十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日計(jì)算結(jié)果表明，這個(gè)方程顯示著鋼水溶液的含碳量每增加0.1%，則精煉時(shí)間平均來說大約要延長(zhǎng)12.06分。根據(jù)回歸方程，可以給出自變量的任一數(shù)值估計(jì)或預(yù)測(cè)因變量的平均可能值。y=14.9525+120.6352.2=150.4445(分)例如，求含碳量2.2%所需的精煉時(shí)間：第三十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日（四）相關(guān)系數(shù)相關(guān)分析是用以說明變量之間相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)工具。相關(guān)分析常常與回歸分析聯(lián)合使用，以衡量回歸方程所表示的因變量變化的精確度如何。相關(guān)分析也可單獨(dú)用于衡量變量之間的聯(lián)系程度。本節(jié)我們討論兩個(gè)變量之間線性相關(guān)程度問題。兩個(gè)變量之間線性相關(guān)程度的描述通常采用相關(guān)系數(shù)。第三十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日（1）相關(guān)系數(shù)的意義我們回過頭來考察一下線性回歸中指標(biāo)y的值yi與回歸估計(jì)值yi的離差平方和。記于是有：Q=Lyy(1r2)r稱為相關(guān)系數(shù)。它是在線性相關(guān)條件下用來說明兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的指標(biāo)。第三十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日因?yàn)镼≥0，Lyy≥0，故相關(guān)系數(shù)有一個(gè)重要性質(zhì)：｜r｜≤1r=1(1)1<r=0(2)r=0(3)r=0(4)0<r<1(5)r=1(6)相關(guān)圖與相關(guān)系數(shù)經(jīng)驗(yàn)關(guān)系第三十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日由于Lyy對(duì)于一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來講是定值，故由Q＝Lyy(1r2)可知，當(dāng)｜r｜較大接近于1時(shí)，離差平方和Q就較小而接近于0，此時(shí)，y與x高度相關(guān)。特別當(dāng)｜r｜=1時(shí)，稱它們是完全相關(guān)的，上圖(1)、(6)所示。當(dāng)｜r｜較小而接近于0時(shí)，Q就大，y與x的相關(guān)關(guān)系很弱，特別當(dāng)r=0時(shí)，稱它們線性無關(guān)。如上圖(3)、(4)所示第三十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日由于Lxy可正可負(fù)，所以相關(guān)系數(shù)r也可正可負(fù)。若r＞0則稱y與x正相關(guān)，如上圖(5)、(6)所示。此時(shí)，隨著x的增大(或減小)，y將呈現(xiàn)增大(或減小)的趨勢(shì)。特別對(duì)于上圖(6)的情形，由于r=1，故稱完全正相關(guān)。若r<0，則稱y與x負(fù)相關(guān)，如上圖(1)、(2)所示。此時(shí)，隨著x的增大(或減小)，y將呈現(xiàn)減小(或增大)的趨勢(shì)。特別對(duì)于圖(1)的情形。由于r=1，故稱為完全負(fù)相關(guān)。一般認(rèn)為相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值在0.7以上為高度相關(guān)，之間為中度相關(guān)，0-0.3為低相關(guān)。第三十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日應(yīng)當(dāng)注意，相關(guān)系數(shù)r只表明x與y之間的線性關(guān)系的密切程度和方向。當(dāng)r很小甚至為0時(shí)，只表明x與y之間的線性關(guān)系不密切，或不存在線性關(guān)系，并不表示x與y之間就沒有關(guān)系，可能二者之間有非線性關(guān)系。如上圖(4)所示，x與y之間就存在著曲線關(guān)系。第四十頁，共六十七頁，2022年，8月28日（2）相關(guān)系數(shù)的計(jì)算我們已經(jīng)知道，相關(guān)系數(shù)的公式為：第二節(jié)中我們介紹了離差乘積的和式：第四十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日于是有：第四十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日如果將分子分母同乘以n，又可得：根據(jù)前例中煉鋼廠鋼液含碳量與精煉時(shí)間資料，可計(jì)算相關(guān)系數(shù)。那里，我們已經(jīng)求得：第四十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日于是其相關(guān)系數(shù)為：計(jì)算得出r=0.9892，表明精煉時(shí)間和含碳量之間為正相關(guān)關(guān)系。而且r值接近于1，表示兩者關(guān)系很密切。第四十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日三、定類變量間的相關(guān)關(guān)系判定及檢驗(yàn)在各個(gè)研究領(lǐng)域中，有些研究問題只能劃分為不同性質(zhì)的類別，各類別沒有量的聯(lián)系。例如，性別分男女，職業(yè)分為公務(wù)員、教師、工人、……，教師職稱又分為教授、副教授、……。有時(shí)雖有量的關(guān)系，因研究需要將其按一定的標(biāo)準(zhǔn)分為不同的類別，例如，學(xué)習(xí)成績(jī)、能力水平、態(tài)度等都是連續(xù)數(shù)據(jù)，只是研究者依一定標(biāo)準(zhǔn)將其劃分為優(yōu)良中差，喜歡與不喜歡等少數(shù)幾個(gè)等級(jí)。要判別這些分類間是否有相關(guān)關(guān)系就得用到相應(yīng)的方法。第四十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日（一）交互分類表交互分類表又叫列聯(lián)表和條件次數(shù)表。它是按兩個(gè)變量的值將所研究的個(gè)案進(jìn)行分類，亦即將兩個(gè)變量的次數(shù)交互分配在一張統(tǒng)計(jì)表中成為一個(gè)矩陣，這種表就叫交互分類表。例如：某單位對(duì)職工的閑暇時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，根據(jù)不同年齡檔和喜愛的電視節(jié)目進(jìn)行了如下的統(tǒng)計(jì)分類：收視傾向年齡層老年中年青年戲曲20102電視劇52035體育比賽21020合計(jì)274057第四十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日從交互分類表中可以清楚地看到在各個(gè)年齡層下收視傾向的不同的次數(shù)分布狀況，因此這種表又叫條件次數(shù)表。表的最下端是每個(gè)年齡層的總次數(shù)，稱為邊緣次數(shù)，它們的分布叫邊緣分布。表中的其他次數(shù)叫條件次數(shù)，表示在自變量的每一個(gè)值下因變量各個(gè)值出現(xiàn)的次數(shù)，其次數(shù)分布叫條件分布。交互分類表有大小之分，我們一般用橫行數(shù)目（r）乘上縱列數(shù)目（c）即rΧc表示表的大小。交互分類表還可做成相對(duì)頻次分布表，如前表就可轉(zhuǎn)化為下表：（這樣的表更便于比較）通過交互分類表我們可以初步的觀察兩個(gè)變量間是否相關(guān)。當(dāng)然這種觀察是粗略的，如果要較準(zhǔn)確地檢驗(yàn)就需進(jìn)行卡方檢驗(yàn)并計(jì)算相關(guān)系數(shù)。第四十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日年齡層與收視傾向（%）收視傾向年齡層老年中年青年戲曲74254電視劇185061體育比賽82535合計(jì)（27）（40）（57）第四十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日（二）X2

（卡方）檢驗(yàn)X2是對(duì)樣本的頻數(shù)分布所來自的總體分布是否服從某種理論分布或某種假設(shè)分布所作的假設(shè)檢驗(yàn)。它與前面所講的抽樣數(shù)據(jù)的假設(shè)檢驗(yàn)的不同在于：第一，前者數(shù)據(jù)屬于定距或定比變量（如果是定類變量它也是是非標(biāo)志）；第二，測(cè)量數(shù)據(jù)所來自的總體要求呈正態(tài)分布，而X2檢驗(yàn)的數(shù)據(jù)來自的分布是未知的；第三，測(cè)量數(shù)據(jù)的假設(shè)檢驗(yàn)是對(duì)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，X2檢驗(yàn)是對(duì)總體分布的假設(shè)檢驗(yàn)。因此，它是屬于自由分布的非參數(shù)檢驗(yàn)。X2的基本公式是：

X2=∑（f0-fe）/fe(表示f0實(shí)際頻數(shù)，fe表示理論頻數(shù))第四十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日對(duì)兩變量進(jìn)行X2檢驗(yàn)的步驟是：第一步：建立兩變量不存在相關(guān)關(guān)系的虛無假設(shè)和與之對(duì)立的備擇假設(shè)。第二步：按照X2公式計(jì)算X2

。第三步：根據(jù)公式df=(r-1)(c-1)計(jì)算出來的自由度和選定的顯著性水平，查出X2的臨界值。第四步：作出統(tǒng)計(jì)決策。第五十頁，共六十七頁，2022年，8月28日卡方檢驗(yàn)是由統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜推導(dǎo)的。理論證明，實(shí)際觀察次數(shù)（fo）與理論次數(shù)（fe）（又稱期望次數(shù)）之差的平方再除以理論次數(shù)所得的統(tǒng)計(jì)量，近似服從卡方分布，當(dāng)fe越大（fe≥5）,近似得越好。顯然fo與fe相差越大，卡方值就越大；fo與fe相差越小，卡方值就越??；因此它能夠用來表示fo與fe相差的程度。下面舉例說明幾種常用的卡方檢驗(yàn)：

第五十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日檢驗(yàn)無差假設(shè)所謂無差假設(shè)，是指各項(xiàng)分類的實(shí)際數(shù)之間沒有差異，也就是說各項(xiàng)分類之間的概率相等，因此理論次數(shù)完全按概率相等的條件來計(jì)算。即任一項(xiàng)的理論次數(shù)都等于總數(shù)/分類項(xiàng)數(shù)。因此自由度也就等于分類項(xiàng)數(shù)減1。例1隨機(jī)地將麻將色子拋擲300次，檢驗(yàn)該色子的六個(gè)面是否均勻。結(jié)果1-6點(diǎn)向上的次數(shù)依次是，43，49，56，45，66，41。解：每個(gè)類的理論次數(shù)是300/6=50，代入公式：X2=(43-50)2/50+(49-50)2/50+……=8.96在0.05的顯著性水平下自由度為5情況下X2的臨界值是11.1。因此，在0.05的顯著性水平下，可以說這個(gè)色子的六面是均勻的。第五十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日檢驗(yàn)假設(shè)分布的概率這里的假設(shè)分布可以是經(jīng)驗(yàn)性的，也可以是某理論分布。公式中所需的理論次數(shù)則按照這里假設(shè)的分布進(jìn)行計(jì)算。例2國(guó)際色覺障礙討論會(huì)宣布，每12個(gè)男子中，有一個(gè)是先天性色盲。從某校抽取的132名男生中有4人是色盲，問該校男子色盲比率與上述比例是否有顯著差異？解：按國(guó)際色覺障礙討論會(huì)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，132人應(yīng)該有132/12=11人是色盲，剩下的121人非色盲，代入公式有：X2=（4-11）2/11+（128-121）2/121=4.86此時(shí)X2的臨界值為3.84。因此，在0.05和顯著性水平下，該校男子色盲比率與國(guó)際色覺障礙討論會(huì)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果有顯著差異，顯然根據(jù)比例可知該校的色盲率小于國(guó)際色覺障礙討論會(huì)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。第五十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日例3在英語四級(jí)考試中，某學(xué)生做對(duì)了80個(gè)四擇一選擇題中的28題，現(xiàn)在要判斷該生是否是完全憑猜測(cè)做題。解：假如該生完全憑猜測(cè)做題，那么平均而言每道題做對(duì)的可能性是1/4，因此80個(gè)題中平均而能做對(duì)80/4=20題，代入公式有：X2=(28-20)2/20+(52-60)2/60=4.27大于X2臨界值3.84因此，該生可能會(huì)做一些題。第五十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日獨(dú)立性檢驗(yàn)卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上因素（各有兩項(xiàng)或以上的分類）之間是否相互影響的問題。所謂獨(dú)立，即無關(guān)聯(lián)，互不影響，就意味著一個(gè)因素各個(gè)分類之間的比例關(guān)系，在另一個(gè)因素的各項(xiàng)分類下都是相同的，比如在血型與性格關(guān)系中，如果A型性格人群中各血型的比例關(guān)系，與B型性格人群中各血型的比例關(guān)系相同，就可能說血型與性格相互獨(dú)立，當(dāng)然這里的“兩例比例相同”在統(tǒng)計(jì)的意義下，應(yīng)表述為“兩比例差異不超過誤差范圍”，因?yàn)榫退憧傮w之間相互獨(dú)立，收集到兩個(gè)比例完全相同的樣本的可能是很小很小的，甚至是不可能的。相反，若一個(gè)因素各個(gè)分類之間的比例關(guān)系，在另一個(gè)因素的各項(xiàng)分類下是不同的，則它們之間相關(guān)。假如A型性格中A型血的比例高于B型性格中A型血的比例，而且達(dá)到顯著水平，那么就可以說血型與性格之間相關(guān)，不相互獨(dú)立。第五十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)的虛無假設(shè)是各因素之間相互獨(dú)立。因此理論次數(shù)的計(jì)算也是基于這一假設(shè)，具體計(jì)算時(shí)，采用列聯(lián)表的方式，后面將舉例說明。

例：某校對(duì)學(xué)生課外活動(dòng)內(nèi)容進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表，表中彩色格子里的數(shù)是原始數(shù)據(jù)的匯總數(shù)，括號(hào)內(nèi)的數(shù)是理論次數(shù)（是按下面將要介紹的原理計(jì)算得來的），此外的是原始數(shù)據(jù)。

第五十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日性別(因素2)課外活動(dòng)內(nèi)容(因素1)小計(jì)和(fx)體育文娛閱讀男生21(15.3)11(10.2)23(29.5)55女生6(11.7)7(7.8)29(22.5)42小計(jì)和(fy)27185297第五十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日由于所有學(xué)生參加三項(xiàng)活動(dòng)的比例是27:18:52，因此如果課外活動(dòng)的選擇與性別沒有關(guān)系的話，男女生參加這三項(xiàng)活動(dòng)的比例也應(yīng)是這同一比例，而男女各自的人數(shù)可以計(jì)算，所以每格內(nèi)的理論次數(shù)的計(jì)算方法如下：男生中參加體育活動(dòng)的理論人數(shù)：55×27/97=15.3參加文娛活動(dòng)的理論人數(shù)：55×18/97=10.2參加閱讀活動(dòng)的理論人數(shù)：55×52/97=29.5女生中參加體育活動(dòng)的理論人數(shù)：42×27/97=11.7參加文娛活動(dòng)的理論人數(shù)：42×18/97=7.8參加閱讀活動(dòng)的理論人數(shù)：42×52/97=22.5我們將行列的小計(jì)和分別用fx和fy來表示，總?cè)藬?shù)用N來表示時(shí)，上述計(jì)算理論次數(shù)的方法可以表示為：feij=fxi×fyj/N第五十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日df=(3-1)(2-1)=2，而χ20.05(2)=5.99，所以在0.05的顯著性水平下，拒絕虛無假設(shè)，即可以認(rèn)為性別與課外活動(dòng)內(nèi)容有關(guān)聯(lián)，或者說男女生在選擇課外活動(dòng)上存在顯著的差異。

X2=(21-15.3)2/15.3+(11-10.2)2/10.2+……=8.3552第五十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日（三）削減誤差比例（PRE）卡方檢驗(yàn)只能檢驗(yàn)兩變量間是否有相關(guān)關(guān)系，要測(cè)量相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)度還需要計(jì)算相關(guān)系數(shù)。但具體介紹相關(guān)測(cè)量法之前，我們先要了解PRE。何謂PRE？社會(huì)調(diào)查研究的主要目標(biāo)是解釋或預(yù)測(cè)社會(huì)現(xiàn)象的變化。如，一社會(huì)現(xiàn)象Y，我們要解釋或預(yù)測(cè)它的變化。預(yù)測(cè)或解釋時(shí)，難免會(huì)有一些誤差。假定另一社會(huì)現(xiàn)象X是與Y有關(guān)系的，如果我們根據(jù)X值來預(yù)測(cè)Y值時(shí)，理應(yīng)可以減少一些誤差。而且X與Y的關(guān)系越強(qiáng)，所能減少的誤差就越多，反過來說，所削減的誤差的多少，可以反映X與Y相關(guān)程度的強(qiáng)弱。我們假定我們?cè)诓恢繶變量而預(yù)測(cè)Y變量時(shí)所產(chǎn)生的誤差為全部誤差（E1）；當(dāng)知道X變量去預(yù)測(cè)Y時(shí)所產(chǎn)生的誤差叫相關(guān)誤差（E2）；E1-E2我們稱為剩余誤差。剩余誤差占全部誤差的比例就是PRE，即PRE=（E1-E2）/E1。第六十頁，共六十七頁，2022年，8月28日我們以前面年齡層與收視傾向這個(gè)例子來理解PRE。在我們不知道全部124人中哪些是老年人、青年人、中年人時(shí)（即不知道X變量），124人中總共有60人喜歡看電視劇，即電視劇是眾數(shù)，應(yīng)用這個(gè)眾數(shù)來概括所有124人都喜歡電視劇，其估計(jì)誤差是：64，64即為E1。當(dāng)我們認(rèn)為年齡對(duì)收視傾向可能有影響時(shí)，并作了變量X與Y的交互分類后，我們發(fā)現(xiàn)27個(gè)老人中，喜歡戲曲的最多，其眾數(shù)為20；40個(gè)中年人中喜歡電視劇的最多，眾數(shù)值為20；青年人喜歡電視劇的也是最多，眾數(shù)值為35；我們分別以各年齡層的眾數(shù)來分年齡層作收視傾向的估計(jì)，也會(huì)造成一定誤差，三個(gè)年齡層的誤差合計(jì)為：E2=（27-20）+（40-20）+（57-35）=49則PRE=（64-49）/64=0.23即意味著用年齡來估計(jì)收視傾向可以減少23%的誤差，我們就認(rèn)為年齡與收視傾向相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為0.23。第六十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日教材上的λ(Lambda)系數(shù)就是利用這個(gè)方法來確定的。λy是確定了自變量計(jì)算的，稱為不對(duì)稱公式；當(dāng)然也可計(jì)算λx。λ則是在不區(qū)分誰是自變量、誰是因變量的情況下計(jì)算的辦法，實(shí)際上是把用X去估計(jì)Y，與用Y去估計(jì)X的削減誤差的平均水平來求PRE。第六十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日四、定序變量間相關(guān)關(guān)系的判定及檢驗(yàn)1、G