2021北京重點校高三（上）期末數(shù)學匯編：一元函數(shù)的導數(shù)及其應用章節(jié)綜合

11/112021北京重點校高三（下）期中數(shù)學匯編一元函數(shù)的導數(shù)及其應用章節(jié)綜合一、單選題1．（2021·北京市第十三中學高三期中）在長方形中，，點是邊上任意一點，設，，與的函數(shù)關系式記為，則（）A．函數(shù)有一個極大值，無極小值 B．是函數(shù)的對稱軸C．函數(shù)的最大值為 D．函數(shù)的增區(qū)間為2．（2021·北京四中高三期中）對于定義在R上的函數(shù)，若存在非零實數(shù)，使在和上均有零點，則稱為的一個“折點”，下列四個函數(shù)存在“折點”的是（）A． B．C． D．二、填空題3．（2021·北京師大附中高三期中）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災害風險，發(fā)揮了重要的防洪減災效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)=（水庫實際蓄水量）÷（水庫總蓄水量）×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（?。┱{(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變．記x為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個y關于x的函數(shù)解析式：①；②；③；④．則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是__________．4．（2021·北京一七一中高三期中）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______．①；②當時，；③是奇函數(shù)．三、雙空題5．（2021·北京一七一中高三期中）對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）下列函數(shù)中具有性質(zhì)的有___________.①②③，（）④（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，則實數(shù)的取值范圍是___________.四、解答題6．（2021·北京四中高三期中）已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若方程恰有三個不同的解，求實數(shù)k的取值范圍.7．（2021·北京·首都師范大學附屬中學高三期中）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．8．（2021·北京四中高三期中）設函數(shù)，其中.（1）若是函數(shù)的極值點，求a的值；（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當時，設函數(shù)，證明：.9．（2021·北京師大附中高三期中）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的零點：（2）若，證明：函數(shù)是上的減函數(shù)；（3）若曲線在點處的切線與直線平行，求a的值．10．（2021·北京·北大附屬實驗學校高三期中）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.

參考答案1．B【分析】首先結(jié)合兩角和的正弦公式表示出函數(shù)的解析式，進而結(jié)合對稱性的定義證得函數(shù)關于直線對稱，即可判斷B選項，再結(jié)合函數(shù)的對稱性，先研究函數(shù)在上的圖象與性質(zhì)，即可判斷ACD選項.【詳解】因為，，所以，所以因為，所以,則因為，所以函數(shù)關于直線對稱，故B正確；由函數(shù)的對稱性，不妨先討論上的圖象與性質(zhì)，令，則令，則，所以時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；且，，所以存在使得，且時，，即，所以單調(diào)遞減，且時，，即，所以單調(diào)遞增，且，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，由函數(shù)的對稱性可知，所以在內(nèi)也有一個極大值，故AD錯誤；又時，，即，所以單調(diào)遞增，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性可知在單調(diào)遞減，因此處不是最大值，故C錯誤；故選：B.【點睛】（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關鍵在于準確判定導數(shù)的符號．關鍵是分離參數(shù)k，把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題．（2）若可導函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到．2．B【分析】根據(jù)函數(shù)存在“折點”的條件，對每一選項逐一判斷即可.【詳解】對于A選項，，所以沒有零點，從而沒有“折點”，故A不符合題意；對于B選項，當時，，因為單調(diào)遞增，所以在上有零點，又因為是偶函數(shù)，所以在上有零點，從而存在“折點”，故B符合題意；對于C選項，因為，所以，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，在處取得極小值，而，所以在上只有一個零點，所以C不符合題意；對于D選項，因為，令解得，只有一個零點，故D選項不符合題意；故選：B3．②④【分析】需滿足四個條件：1.自變量的取值范圍為；2.函數(shù)值域為的子集；3.該函數(shù)在上恒有；4.該函數(shù)為上增函數(shù)；逐一對照分析求解即可.【詳解】①，該函數(shù)在時函數(shù)值為，超過了范圍，不合題意；②為增函數(shù)，且且，則，符合題意；③，當時，不合題意④，當時，，故該函數(shù)在上單調(diào)遞增，又設即，易知在上為減函數(shù)令，則存在，有當，；當，；故在遞增，在遞減.，故上即上故④符合題意故答案為：②④【點睛】本題考查學生實際運用數(shù)學的能力.需要學生具備一定的數(shù)學建模思想，將文字語言描述的要求轉(zhuǎn)化為數(shù)學表達式，再用數(shù)學方法分析求解.4．（答案不唯一，均滿足）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.【詳解】取，則，滿足①，，時有，滿足②，的定義域為，又，故是奇函數(shù)，滿足③.故答案為：（答案不唯一，均滿足）5．①②④或．【分析】（1）令，由，可判斷；由sinx=有解，可判斷是否具有性質(zhì)P；令=，此方程無解，由此可判斷；由兩圖象在有交點可判斷；（2）問題轉(zhuǎn)化為方程有根，令，求導函數(shù)，分析導函數(shù)的符號，得所令函數(shù)的單調(diào)性及最值，由此可求得實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：（1）在時，有解，即函數(shù)具有性質(zhì)P，令，即，∵，故方程有一個非0實根，故具有性質(zhì)P；的圖象與有交點，故sinx=有解，故具有性質(zhì)P；令=，此方程無解，故，（）不具有性質(zhì)P；令，則由兩圖象在有交點，所以有根，所以具有性質(zhì)P；綜上所述，具有性質(zhì)P的函數(shù)有：①②④；（2）具有性質(zhì)P，顯然，方程有根，令，則，令，解得，當時，，所以在上單調(diào)遞減，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以的值域[，+∞），∴，解之可得：或．故答案為：①②④；或．【點睛】方法點評：解決本題的關鍵是審清題意，把方程的解轉(zhuǎn)化為兩個圖象有交點，本題考查的是方程的根，新定義，函數(shù)的值域，是方程和函數(shù)的綜合應用，難度比較大．6．（1）；（2）.【分析】（1）對函數(shù)求導，進而將代入求出切線斜率，再求出切點縱坐標，進而求出切線方程；（2）由（1）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，進而求得答案.（1）,，則切線斜率，又，所以切線方程為：.（2），，則時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.所以時，函數(shù)有極大值為，時，函數(shù)有極小值為.又，因為，所以.因為方程恰有三個不同的解，所以.7．（1）（2）答案見解析.【分析】（1）求，由導數(shù)的幾何意義可得切線斜率為，計算可得切點，由點斜式可得切線方程；（2）解不等式，可得單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，由單調(diào)性可得極值.（1）由可得，所以函數(shù)在處的切線斜率為，切點為，所以函數(shù)在處的切線方程為：即.（2）因為，由可得；由可得；所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，取得極大值為，無極小值.綜上所述：的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的極大值為，無極小值.8．（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）由題意有，求出的值，檢驗即可得答案；（2）令，得或，然后對分：，，三種情況討論即可得答案；（3）令，由，得在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)零點存在定理可得存在，使，即，，從而可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進而可得，從而得證原不等式成立.（1）解：，因為是函數(shù)的極值點，所以，解得，當時，檢驗符合題意，所以a的值為；（2）解：，，令，得或，當時，令，得或，令，得；當時，恒成立；當時，令，得或，令，得；綜上，當時，在和單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）證明：當時，，設，因為，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使，即，，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，所以，從而得證.9．（1）2（2）證明見解析.（3）0.【分析】（1）直接解方程即可求出零點；（2）利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）先由在點處的切線與直線平行，得到，用圖像法求出a=0.（1）當時，.令，解得：x=2.即函數(shù)的零點是2.（2）當時，定義域為.所以.令，則當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以當時，都有.所以在上恒成立，所以函數(shù)是上的減函數(shù).（3）.所以.因為在點處的切線與直線平行，所以.即.記，則.當時，，所以單調(diào)遞減；當時，，所以單調(diào)遞增.而，所以a=