2019-2021北京重點(diǎn)區(qū)高三（上）期中數(shù)學(xué)匯編：集合間的基本運(yùn)算

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集合間的基本運(yùn)算一、單選題1．（2021·北京海淀·高三期中）已知全集，集合，，則集合可能是（）A． B． C． D．2．（2021·北京朝陽(yáng)·高三期中）對(duì)任何非空有限數(shù)集，我們定義其“絕對(duì)交錯(cuò)和”如下：設(shè)，，其中，則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；當(dāng)時(shí)，的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為.若數(shù)集，則的所有非空子集的“絕對(duì)交錯(cuò)和”的總和為（）A． B． C． D．3．（2021·北京朝陽(yáng)·高三期中）若集合，或，則（）A． B．或C． D．或4．（2020·北京朝陽(yáng)·高三期中）已知集合，，則（）A． B． C． D．5．（2019·北京海淀·高三期中）設(shè)集合是集合的子集，對(duì)于，定義，給出下列三個(gè)結(jié)論：①存在的兩個(gè)不同子集，使得任意都滿足且；②任取的兩個(gè)不同子集，對(duì)任意都有；③任取的兩個(gè)不同子集，對(duì)任意都有；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③6．（2019·北京海淀·高三期中）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A． B． C． D．7．（2019·北京海淀·高三期中（理））已知集合，，若，則的取值范圍為A． B． C． D．8．（2019·北京朝陽(yáng)·高三期中（理））已知集合，，則A． B． C． D．二、解答題9．（2021·北京海淀·高三期中）設(shè)正整數(shù)，集合，對(duì)于集合中的任意元素和，及實(shí)數(shù)，定義：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)；；.若的子集滿足：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則稱為的完美子集.（1）當(dāng)時(shí)，已知集合，.分別判斷這兩個(gè)集合是否為的完美子集，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)時(shí)，已知集合.若不是的完美子集，求的值；（3）已知集合，其中.若對(duì)任意都成立，判斷是否一定為的完美子集.若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)給出反例.10．（2019·北京海淀·高三期中）已知集合，且中的元素個(gè)數(shù)大于等于5.若集合中存在四個(gè)不同的元素，使得，則稱集合是“關(guān)聯(lián)的”，并稱集合是集合的“關(guān)聯(lián)子集”；若集合不存在“關(guān)聯(lián)子集”，則稱集合是“獨(dú)立的”.分別判斷集合和集合是“關(guān)聯(lián)的”還是“獨(dú)立的”？若是“關(guān)聯(lián)的”，寫出其所有的關(guān)聯(lián)子集；已知集合是“關(guān)聯(lián)的”，且任取集合，總存在的關(guān)聯(lián)子集，使得.若，求證：是等差數(shù)列；集合是“獨(dú)立的”，求證：存在，使得.

參考答案1．C【分析】根據(jù)集合的定義和運(yùn)算規(guī)律求解即可.【詳解】∵，∴又∵∴故選：C.2．D【分析】根據(jù)題意列出所有非空子集，然后逐個(gè)求出“絕對(duì)交錯(cuò)和”并求和，即可得到答案.【詳解】的所有非空子集有：、、、、、、、、、、、、、、若則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；若則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；若則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；若則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；若則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；若則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；若則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；若則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；若則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；若則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；若則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；若則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；若則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；若則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；若則的“絕對(duì)交錯(cuò)和”為；的所有非空子集的“絕對(duì)交錯(cuò)和”的總和為：故選：D3．A【分析】根據(jù)交集的概念和運(yùn)算直接求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，或，所以，故選：A.4．B【分析】先解不等式，化簡(jiǎn)集合，再由交集的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B.5．A【分析】根據(jù)題目中給的新定義，對(duì)于或，可逐一對(duì)命題進(jìn)行判斷，舉實(shí)例例證明存在性命題是真命題，舉反例可證明全稱命題是假命題．【詳解】∵對(duì)于，定義，∴對(duì)于①，例如集合是正奇數(shù)集合，是正偶數(shù)集合，，，故①正確；對(duì)于②，若，則，則且，或且，或且；；若，則，則且；；∴任取的兩個(gè)不同子集，對(duì)任意都有；正確，故②正確；對(duì)于③，例如：，當(dāng)時(shí)，；；；故③錯(cuò)誤；∴所有正確結(jié)論的序號(hào)是：①②；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．6．D【分析】由題意可得，根據(jù)，即可得出，從而求出結(jié)果．【詳解】，且，，∴的值可以為．故選：D．【點(diǎn)睛】考查描述法表示集合的定義，以及并集的定義及運(yùn)算．7．B【分析】解一元一次不等式得集合，由，能求出的取值范圍．【詳解】∵集合，，，∴，∴的取值范圍為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.8．B【分析】先把集合A解出來(lái)，然后求A∪B即可．【詳解】因?yàn)榧虾希?/p>

所以，

故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集，屬于基礎(chǔ)題．9．（1）是完美子集，不是完美子集，理由見(jiàn)解析（2）（3）一定是的完美子集，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)完美子集的定義，設(shè)，列方程組求得，，的值即可判斷；（2）由題意可得：存在，使得，列出方程組，解方程組求出的值即可求解；（3）假設(shè)存在不全為的實(shí)數(shù)、、滿足，不妨設(shè)，則，由結(jié)合已知條件得出矛盾即可求解.（1）設(shè)，即，所以是完美子集，設(shè)，可得，解得：，，，所以不是完美子集.（2）因?yàn)榧喜皇堑耐昝雷蛹?，所以存在，使得，即，由集合的互異性可得：且且，所以且，所以，可得，所以，即，所以，所以或，?dāng)時(shí)，，解得：，所以存在使得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，，不符合題意，所以.（3）一定是的完美子集，假設(shè)存在不全為的實(shí)數(shù)、、滿足，不妨設(shè)，則，否則與假設(shè)矛盾，由，可得，所以與即矛盾，所以假設(shè)不成立，所以，所以，所以一定是的完美子集.10．是關(guān)聯(lián)的，關(guān)聯(lián)子集有；是獨(dú)立的；證明見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題中所給的新定義，即可求解；（2）根據(jù)題意，，，，，，進(jìn)而利用反證法求解；（3）不妨設(shè)集合，，且.記，進(jìn)而利用反證法求解；【詳解】解:是“關(guān)聯(lián)的”關(guān)聯(lián)子集有;是“獨(dú)立的”記集合的含有四個(gè)元素的集合分別為:，，，，.所以，至多有個(gè)“關(guān)聯(lián)子集”.若為“關(guān)聯(lián)子集”，則不是“關(guān)聯(lián)子集”，否則同理可得若為“關(guān)聯(lián)子集”，則不是“關(guān)聯(lián)子集”.所以集合沒(méi)有同時(shí)含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾.所以一定不是“關(guān)聯(lián)子集”同理一定不是“關(guān)聯(lián)子集”.所以集合的“關(guān)聯(lián)子集”至多為.若不是“關(guān)聯(lián)子集”，則此時(shí)集合一定不含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾；若不是“關(guān)聯(lián)子集”，則此時(shí)集合一定不含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾；若不是“關(guān)聯(lián)子集”，則此時(shí)集合一定不含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾；所以都是“關(guān)聯(lián)子集”所以有，即，即.，即，所以.所以是等差數(shù)列.不妨設(shè)集合，，且.記.因?yàn)榧鲜恰蔼?dú)立的”的，所以容易知道中恰好有個(gè)元素.假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，即不存在，使得所以任取，，因?yàn)?，所以所以所以任取，任取，所以，且中含有個(gè)元素.(i)若，則