《金融數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)提綱

《金融數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)提綱

(2022版)

利息度量

本章介紹了利息的各種度量工具，包括單利、復(fù)利、實(shí)際利率、名義利率、實(shí)際貼現(xiàn)

率、名義貼現(xiàn)率、利息力和貼現(xiàn)力等，以及累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)。它們之間的關(guān)系可以總結(jié)

如下：

i.累積函數(shù)是期初的1元本金在時(shí)刻,的累積值。

復(fù)利的累積函數(shù)為：

“⑺=(1+iy=[1+產(chǎn))/加1=(1—"尸=[1—/my"-e'"=exp(J；Rck)

單利的累積函數(shù)為：a(t)=\+it

貼現(xiàn)函數(shù)是累積函數(shù)的倒數(shù)。

2.常用的各種利息度量工具之間有如下關(guān)系：

(1)d=z/(l+z)

(2)i=d/(l-d)

(3)v=l-d

(4)i—d—id

(5)z(m)=m[(l+z)l/,M-l]

(6)/M)=〃?[]_(1_

(7)d>=ln(l+z)

等額年金

本章介紹了等額年金的計(jì)算問(wèn)題，包括年金的現(xiàn)值和終值，期初付年金與期末付年金

的關(guān)系，現(xiàn)值與終值的關(guān)系等，涉及較多公式，現(xiàn)將它們歸納如下。下表僅給出了期末付年

金的公式，對(duì)于期初付年金，只需把分母上的利率符號(hào)改變?yōu)橘N現(xiàn)率符號(hào)即可。

等額年金

永續(xù)年金的現(xiàn)

年金

值

現(xiàn)值累積值

\-vn1

每年支付1次=-(-i+-z-y---i

a—?=

Hiwi

的_—in

每年支付m次叩-/?)

?l產(chǎn))。黑=募

1-Q+iT-l_1

連續(xù)支付a—=

”15§

1

等額年金計(jì)算公式之間的關(guān)系式可以概括如下:

變額年金

下表總結(jié)了期末付年金的現(xiàn)值和累積值（終值）公式。對(duì)于期初付年金，只需把分母

上的利率符號(hào)改變?yōu)橄鄳?yīng)的貼現(xiàn)率符號(hào)即可。

遞增年金遞增永續(xù)年金

年金

現(xiàn)值累積值的現(xiàn)值

每年支付1次，汨一〃

a-(/%=2

每年遞增1次(/%=\（。十

每年支付那次，

（啃（堿爺(哨J

每年遞增1次

n

連續(xù)支付，a-,-nv。詼=2

(叫—（1%=冊(cè)6

每年遞增1次

連續(xù)支付，_s-y-n(⑸片"

（//=生二⑸片3

連續(xù)遞增

2

遞減年金

年金

現(xiàn)值累積值

每年支付1次，n-n(l+ns-]

(。*=Ji)-

每年遞減1次g%二:「

每年支付次，，

m（功殍=n-黃a-.,、+i)n-s-,

每年遞減1次④哨=嚴(yán))況

連續(xù)支付，n-a-,

（°打浦一6打（吟號(hào)3

每年遞減1次

連續(xù)支付，_n-a-y

3)片J

連續(xù)遞減O

變額年金之間的關(guān)系可以概括如下:

對(duì)于增長(zhǎng)率為r的復(fù)遞增年金，期末付年金和期初付年金的現(xiàn)值為:

0前,.

——,丫手i

l+r

n.

-——，r=i

U+尸

rwi

P初二＜1+r'

凡

廿上1~r

其中，J?=~-----

l+r

3

收益率

1.收益率是使得未來(lái)資金流入的現(xiàn)值與資金流出的現(xiàn)值相等時(shí)的利率，也是使得凈現(xiàn)

值等于零時(shí)的利率。在其他條件相同的前提下，應(yīng)該選擇收益率高或凈現(xiàn)值大的項(xiàng)目?jī)?yōu)先投

資。

2.對(duì)于投資期限不同的兩個(gè)項(xiàng)目，在比較它們的收益率時(shí)，必須將期限較短項(xiàng)目的再

投資利率考慮進(jìn)去。

3.凈現(xiàn)值的大小取決于計(jì)算凈現(xiàn)值時(shí)所選擇的利率，利率越高，凈現(xiàn)值越小，利率越

低，凈現(xiàn)值越大。

4.收益率在大多數(shù)情況下是唯一的。收益率唯一性的一個(gè)簡(jiǎn)單判斷準(zhǔn)則是：如果資金

凈流入只改變過(guò)一次符號(hào)，收益率將是唯一的。收益率唯一性的另一個(gè)判斷準(zhǔn)則是：如果按

收益率計(jì)算的資金凈流入的累積值始終為負(fù)，直至最后一年末才變?yōu)榱?，那么該收益率將?/p>

唯一的。

5.計(jì)算幣值加權(quán)收益率的近似公式為——2--

6.計(jì)算時(shí)間加權(quán)收益率的一般公式為，=(1+1)(1+人)…(l+'+J—1,其中是第k

個(gè)時(shí)間區(qū)間的收益率。

7.如果利息收入的再投資利率較低，就會(huì)拉低整個(gè)投資的收益率。在比較不同項(xiàng)目的

收益率時(shí)，應(yīng)該特別注意再投資利率的影響，即計(jì)算修正收益率。在計(jì)算修正收益率時(shí)，對(duì)

資金流出使用籌集資金的利率計(jì)算其現(xiàn)值，而對(duì)資金流入使用再投資的利率計(jì)算其累積值。

8.在利率上升時(shí)期，為了吸引新的投資者加入投資基金，投資基金在收益分配時(shí)可以

采用投資年度方法。反之，在利率下降時(shí)期,按組合利率方法分配收益更能吸引新的投資者。

貸款償還方法

貸款償還的兩種基本方法是分期償還法和償債基金法，分別包括變額和等額兩種具體方

法。

1.在等額分期償還方法中：

借款人每次償還的總金額為：R=L"叼

支付的利息為：/*=iRa^=/?(l-v"-A+l)

償還的本金為：Pk=

未償還的本金余額為：Lk=4(1+1)&-Rs/(過(guò)去法)=&內(nèi)(將來(lái)法)

在等額分期償還方法中，貸款期限越長(zhǎng)，借款人支付的利息入額與貸款本金之比越高,

而且該比率隨著貸款期限的延長(zhǎng)呈現(xiàn)加速增長(zhǎng)的態(tài)勢(shì)。

2.在等額償債基金方法中：

借款人每期支付的利息金額為/=iL0

向償債基金的儲(chǔ)蓄額為D=L。/s4

總的付款金額為/+。

4

償債基金在第k期末的累積值為D?s布

未償還本金余額為。一。7和

3.當(dāng)償債基金的利率與貸款利率相等時(shí)，等額償債基金方法與等額分期償還方法等價(jià),

即有下述關(guān)系式：

(1)I+D=R

(2)D=R—

(3)Lo-D-s-^,=Ra^.

4.在變額分期償還方法中，如果借款人的償還金額是逐期遞增的，就有可能出現(xiàn)負(fù)償

還的情況，即借款人償還的總金額還不足以支付當(dāng)期的利息。負(fù)償還應(yīng)該增加借款人未償還

的本金"余額

在裝額償債基金方法中，如果借款人的償還金額是逐期遞增的，亦即借款人向償債

基金的儲(chǔ)蓄額是逐期遞增的，就有可能出現(xiàn)借款人向償債基金的儲(chǔ)蓄額小于當(dāng)期應(yīng)付利息的

情況。此時(shí)，借款人向償債基金的儲(chǔ)蓄額為零，同時(shí)應(yīng)該增加借款人未償還的本金余額。

6.抵押貸款的目的是為了防范借款人的違約風(fēng)險(xiǎn)，為了實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)，如果抵押物的貶

值過(guò)程先快后慢，則貸款的分期償還期限應(yīng)該短于抵押物的使用壽命；如果抵押物的貶值過(guò)

程先慢后快，則貸款的分期償還期限可以適當(dāng)延長(zhǎng)，但不能超過(guò)抵押物的使用壽命。對(duì)于按

勻速折舊方式貶值的抵押物，貸款的分期償還期限應(yīng)該介于上述兩者之間。

債券和股票

1.債券在息票支付日期的價(jià)格和賬面值相等，可以用下述四種方法求得：

(1)基本公式：P=rFa^+Cvn

(2)溢價(jià)公式：P=C[l+(g—i)與,]

(3)基價(jià)公式：P=G+(C-G)v"

(4)Makeham公式：P=&(C-K)+K

i

對(duì)于不可贖回的附息債券，債券價(jià)格是到期收益率的減函數(shù)，到期收益率越高，債券的

價(jià)格越低。債券價(jià)格還是到期收益率的凸函數(shù)。到期收益率上升時(shí)，債券價(jià)格的下降速度是

遞減的；而當(dāng)?shù)狡谑找媛氏陆禃r(shí)，債券價(jià)格的上升速度是遞增的。

當(dāng)債券的溢價(jià)為零時(shí)，債券的賬面值恒等于償還值，每期的利息收入就等于息票收入。

當(dāng)債券的溢價(jià)不為零時(shí)，投資者在每期的利息收入不等于息票收入。息票收入被分解為

兩部分，一部分是應(yīng)得利息收入，一部分是對(duì)溢價(jià)購(gòu)買(mǎi)債券的補(bǔ)償。折價(jià)可以看做是負(fù)的溢

價(jià)。

基價(jià)是投資者為了獲得與息票收入加相等的周期性收益所需要的投資額。債券的基價(jià)

G如果按收益率，投資，每期產(chǎn)生的利息收入將等于債券的息票收入，即汨=M=g。。

2.債券在相鄰兩個(gè)息票支付日期之間的價(jià)格可按下述公式計(jì)算：

-R

其中凡是債券在上一個(gè)息票支付日期的價(jià)格，，是距離上一個(gè)息票支付日期的時(shí)間。

3.賬面值是債券持有人的實(shí)際投資余額。債券在相鄰兩個(gè)息票支付日期之間的賬面值

可按下述三種方法計(jì)算：

(1)理論方法：匕=(i+i)'x《——[(1+zy-i]

i

(2)半理論方法:匕=(1+。&h一萬(wàn)產(chǎn)

(3)實(shí)踐方法：V,=(\+ti)P0-trF

5

4,可贖回債券的價(jià)格等于在各種可能贖回時(shí)點(diǎn)上的最低價(jià)格。如果債券的償還值C在

各種可能的贖回時(shí)點(diǎn)上保持不變，則當(dāng)債券的修正息票率大于債券的到期收益率時(shí)，債券的

期限越短，債券的價(jià)格越低；反之，當(dāng)債券的修正息票率小于債券的到期收益率時(shí)，債券的

期限越長(zhǎng)，債券的價(jià)格越低。

利率風(fēng)險(xiǎn)

1.久期和凸度都是衡量債券利率風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，有計(jì)算公式如下:

馬考勒久期：

凸P（5）

馬考勒凸度:CT/"'

P(b)P\O)/>o

[m}m,

久期：D=-=_LytR(l+y/m)-

p(y)1+y/機(jī)P(y)看"

凸度：OS)=^_01=_[_>/(/+1/切)火(1+/w)-加-2

PMP(y)￡'

有效久期：。效

兄(2w)

(2+C-21)

有效凸度：C效

2

(Ay)P0

債券組合的久期:

〃p

債券組合的凸度：

*=iP

凸度可以用馬考勒久期和馬考勒凸度表示為:

C=（C馬+￡>%）?（l+i）-2

2.資產(chǎn)價(jià)格變化的百分比與收益率變化之間的近似關(guān)系如下：

\p

苗?-久期?（a）+0.5?凸度?（州）2

其中的久期和凸度應(yīng)該配對(duì)使用，如馬考勒久期與馬考勒凸度配對(duì)使用，修正久期與凸度配

對(duì)使用，或有效久期與有效凸度配對(duì)使用。

3.免疫策略的三個(gè)條件是：（1）資產(chǎn)的現(xiàn)值等于負(fù)債的現(xiàn)值。（2）資產(chǎn)的久期等于負(fù)

債的久期。（3）資產(chǎn)的凸度大于負(fù)債的凸度。

4.完全免疫策略的三個(gè)條件是：（1）資產(chǎn)的現(xiàn)值等于負(fù)債的現(xiàn)值。（2）資產(chǎn)的久期等

于負(fù)債的久期。（3）負(fù)債的到期時(shí)間介于兩筆資產(chǎn)的到期時(shí)間之內(nèi)。

6

5.現(xiàn)金流配比策略就是對(duì)每一項(xiàng)在未來(lái)到期的債務(wù)，安排一項(xiàng)相同到期時(shí)間和相同金

額的資產(chǎn)與其進(jìn)行匹配?，F(xiàn)金流配比策略的優(yōu)點(diǎn)是無(wú)需不斷調(diào)整其投資組合，缺陷是限制了

投資選擇的靈活性。

遠(yuǎn)期、期貨和互換

遠(yuǎn)期合約是指雙方約定在未來(lái)某一個(gè)確定的時(shí)間，按照某一確定的價(jià)格買(mǎi)賣(mài)一定數(shù)量的

某種資產(chǎn)的協(xié)議。同意以約定的價(jià)格在未來(lái)賣(mài)出標(biāo)的資產(chǎn)的一方稱(chēng)作空頭，同意以約定的價(jià)

格在未來(lái)買(mǎi)入標(biāo)的資產(chǎn)的一方稱(chēng)作多頭。

一個(gè)合約的回收是指合約在滿(mǎn)期時(shí)的價(jià)值，不考慮簽訂該合約時(shí)所發(fā)生的初始費(fèi)用。從

回收中扣除簽訂合約所發(fā)生的初始費(fèi)用的終值就是盈虧。

期貨合約是指協(xié)議雙方同意在約定的將來(lái)某個(gè)日期按約定的條件（包括交割價(jià)格、交割

地點(diǎn)、交割方式等）買(mǎi)入或賣(mài)出一定數(shù)量的某種標(biāo)的資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)議。

股票的遠(yuǎn)期價(jià)格如下：

無(wú)股利：F^SerT

離散股利：R=（S—O）e"

連續(xù)股利：F=Se［,'-d）T

通過(guò)借入款項(xiàng)（相當(dāng)于出售零息債券）購(gòu)買(mǎi)股票可以生成一個(gè)合成遠(yuǎn)期的多頭，即：遠(yuǎn)

期=股票一零息債券。

互換合約是指買(mǎi)賣(mài)雙方按照商定的條件，在約定的時(shí)間內(nèi)交換一系列現(xiàn)金流的合約。遠(yuǎn)

期是只有一次付款的互換，而互換是附加有資金借貸協(xié)議的一系列遠(yuǎn)期。

在不考慮違約風(fēng)險(xiǎn)的情況下，利率互換可以通過(guò)分解成一個(gè)債券多頭與另一個(gè)債券空頭

的組合來(lái)定價(jià)，也可以通過(guò)分解成一個(gè)遠(yuǎn)期利率協(xié)議的組合來(lái)定價(jià)。