2022-2023年藝術(shù)生新高考數(shù)學(xué)講義第09講 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及切線方程（學(xué)生版含解析）

第09講導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及切線方程

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

一、基本概念

1、導(dǎo)數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=J(x)在X=X。附近有定義，如果心今0時(shí)，Ay與心的比A2（也叫函數(shù)的平均變化率）

Ax

有極限，即竺無限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值做函數(shù)y=J(x)在x=x。處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x。)或

Ax

Ayf伈＋釭）－f伈）f(x)-f、(x。)

y'仁Xo?即f'(x。)＝lim—=lim=lim

心分0A心分0A戶．｀．Ox-x。

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=J(x)在Xo處的導(dǎo)數(shù)f'(x。)，表示曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x。))處的切線PT的斜率，即

tana=f'（動(dòng)，其中a為切線的傾斜角，如圖所示，過點(diǎn)P的切線方程為y-y。=f'(x0Xx-x。)．

y

P(.u,y。)

;y=f(x)

I

X。X

3、導(dǎo)數(shù)的物理意義設(shè)t=O時(shí)刻一車從某點(diǎn)出發(fā)，在t時(shí)刻車走了一定的距離S=S(t)．在to~t1時(shí)刻，

s(r,)-s伈）

車走了S億）－S(t0),)這一段時(shí)間里車的平均速度為，當(dāng)t，與t。很接近時(shí)，該平均速度近似于t。

tI—I。

S(t1)-S(t0)

時(shí)刻的瞬時(shí)速度若令t1~to,則可以認(rèn)為1im。，即S'伈）就是to時(shí)刻的瞬時(shí)速度

,I?,ot1-t。

二、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式如表

y=J(x)y'=f'(x)

y=cy'=O

y=x"(xeN*)y=nx"-1,n為正整數(shù)

y=xa(x>O,a::;;0且aEQ)y'=ax”一1,a為有理數(shù)

y=ax(a>O且a";;/:;l)y'=axIna

y=logax(a>O且a=1:-l.x>O),1

y=

xlna

y=sinxy'=cosx

,.

y=cosxy=-smx

莊（五），立尺）＇＝—盧(Inx)，飛

三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（和、差、積、商）

設(shè)u=u(x),v=v(x)均可導(dǎo)，則

,,

(1)(u土v)=U'士v';(2)(ku)=ku'(kER);

,

(3)(uv)=u'v+uv';(4)(;)'=￥(v-:t=O)

注：(cf(x))=lf'(x)(cER).

四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=J[g(x)］的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)之間具有關(guān)系yx'＝y(tǒng),＇，u，'，該關(guān)系用語言

表述就是“y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等千y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積＂，也就是先把g(x)當(dāng)作一個(gè)整體，把

y=J[g(x)]對(duì)g(x)求導(dǎo)，再把g(x)對(duì)x求導(dǎo)，這兩者的乘積就是復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)］對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，即

(f[g(x)])=f'[g(x)]·g'(x)

【典型例題】

例I.(2022全國高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)=x2lnx-2x+1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(l,f(l)）處的

切線方程為（)

A.2x+y-1=0B.x-y-2=0C.x+y=OD.x-2y-4=0

例2.(2022湖南雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x$;0時(shí)，f(x)=e氣－i-x,則曲線y=f(x)

在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率是()

A.1B.2C.eD.—e-2—l

/(1+2心）－/(1)

例3.(2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2lnx+8x,則hm的值為（)

心?OAx

A.-20B.-10C.10D.20

例4.(2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=lnx+~x2,則f(x)所有的切線中斜率最小的切線方程為

2

例5.(2022全國高三專題練習(xí)）若直線y＝虹與曲線y＝產(chǎn)相切，則切點(diǎn)坐標(biāo)為＿．

拉，冗

例6.(2022·全國高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)f(x)＝—-f(—)sinx+cosx,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(O,J(O))

24

處的切線方程是

例7.(2022浙江高三專題練習(xí)）請(qǐng)用函數(shù)求導(dǎo)法則求出下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

、;)XX1·Ilx

((l2丿）yy=;,3

++

=2..

(3)y=ln(2x+3);

(4)y=(x2+2)(2x-1);

(5)y=cos（三］．

例8.(2022全國高三專題練習(xí)）已知曲線S:y=2x-x3.

(I)求曲線S在點(diǎn)A(l,1)處的切線方程；

(2)求過點(diǎn)B(2,0)并與曲線S相切的直線方程

【技能提升訓(xùn)練】

一、單選題

I.(2022全國高三專題練習(xí)）某物體沿水平方向運(yùn)動(dòng)，其前進(jìn)距離S（米）與時(shí)間t（秒）的關(guān)系為s(t)=5t+2t2'

則該物體在運(yùn)動(dòng)前2秒的平均速度為（

13

A.18米／秒B.13米／秒C.9米／秒D.—米／秒

2

、丿

2.(2022全國高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列數(shù)值排序正確的是（

y

)-

4321

。245X

A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<J'(3)<f(3)-f(2)<J'(2)

C.0<f'(3)</'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<J'(2)<J'(3)

j(l－心）－j(l)

3.(2022全國高三專題練習(xí)（理））若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則lim等于（

兇?O2fu

1

_尸(l、.,＇,1

A.－叮'(1)B.2JC.--f'(l)D.

2飛）

f(26x)-f(－心）、丿

4.(2022全國高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)＝x勹C/X,若lim=12,則a=(

t:,x-,O公x

A.36B.12C.4D.2

5.(2022全國高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)的圖象如下所示，f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)圖象判

、丿

斷下列敘述正確的是（

y

X

A.f'(x主f'（動(dòng)B.f'化）?。玻?/p>

C.f化）叮＇（動(dòng)<0D.f伈）＞f＇伈）＞0

f(2—h)—f(2)、丿

6.(2022浙江高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)滿足/'(2)=4,則lun=(

h-,Oh

84

A.B.-8C.D.—4

7.(2022全國高三專題練習(xí)（理））函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖像在點(diǎn)x=l處的切線方程為（）

A.y=2x+lB.y=-2x+IC.y=-2x-1D.y=2x-l

a冗兀

8.(2022全國高三專題練習(xí)）若曲線y=ex-—(a>O)上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角的取值范圍是［一，－），

e32

則a=()

13

Bc

A.上-3-4D.3

12

9.(2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=aex+x的圖象在點(diǎn)(0,a)處的切線過點(diǎn)(2,5)，則a=()

A.—lB.—2C.1D.2

10.(2022全國高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1.g(l)）處的切線方程為y=2x+I,

則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,J(l)）處的切線的斜率為（)

A.4B.--=-C.2D._..:.

42

3

11.(2022全國高三專題練習(xí)）曲線f(x)＝－在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為－兀，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

4

A.(l,l)B.(-1,-1)C.（扣）D.(l,l)或(-1,-1)

12.(2022全國高三專題練習(xí)）若點(diǎn)P是曲線f(x)=~-lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x—2的最小值

為（）

至

c

A.IB.五2D.?3

13.(2022全國高三專題練習(xí)（文））曲線y=f(x)在x=l處的切線如圖所示，則f'(l)-f(1)=()

y

x

A.0B.2C.-2D.—l

14.(2022全國高三專題練習(xí)（文））直線y=kx+3與曲線f(x)=alnx+b相切千點(diǎn)P(l,2)，則a＋勸＝（)

A.4B.3C.2D.I

15.(2022全國高三專題練習(xí)（文））直線y＝虹－l是曲線y=l+lnx的一條切線，則實(shí)數(shù)K的值為()

A.eB.e2C.1D.e-1

16.(2022全國高三專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在函數(shù)f(x)=e'+x,g(x)=2x-2的圖象上運(yùn)動(dòng)，則IPQI的

最小值為（)

5五3石

A.五B.C.D.石

45

17.(2022·全國高三專題練習(xí)）已知曲線f(x)＝礦在點(diǎn)P(O,J(O)）處的切線也是曲線g(x)=ln(ax)的一條

切線，則a的值為（)

ee3e_

A-BD

32-C.e2.3

18.(2022全國高三專題練習(xí)）已知困數(shù)f(x)=ae'+x2的圖象在點(diǎn)M(l,J(l)）處的切線方程是

y=(2e+2)x+b,那么ab=()

A.2B._C.-1D.-2

19.(2022全國高三專題練習(xí)）設(shè)曲線J(x)=aex+b和曲線g(x)=cos竺:+c在它們的公共點(diǎn)M(0,2)處有

2

相同的切線，則b+c-a的值為（)

A.0B.冗

C.-2D.3

20.(2022全國高三專題練習(xí)）已知定義在區(qū)間(o,＋~)上的函數(shù)f(x)＝—2x2+m,g(x)＝—31nx—x,若以

上兩函數(shù)的圖像有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處切線相同，則m的值為（)

A.2B.5C.1D.0

21.(2022全國高三專題練習(xí)（理））設(shè)P為曲線C:y=x2+2x+3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線的傾斜角

的取值范圍為[o衛(wèi)，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為

A[－1分］4］B[－l,O]C[O,l]D.［扣］

22.(2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)J(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且滿足J(x)=2xf'(e)+lnx,則f'(e)=

()

A.eB.-1C.-e-1D.-e

23.(2022全國高三專題練習(xí)）設(shè)兒(x)=sinx,J;(x)=J~(x)，幾(x)=fi'(x),，比(x)=J;;(x),nEN,

則f202o(x)=()

A.sinxB.—sinxC.COSXD.-cosx

24.(2022全國高三專題練習(xí)）設(shè)f(x)=(2x+a)2,且/'(2)=8,則常數(shù)a的值為（)

A.0B.-2C.lD.2

二、多選題

25.(2022全國高三專題練習(xí)）（多選）為了評(píng)估某和治療肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對(duì)該藥物在人體血

管中的藥物濃度進(jìn)行測(cè)顯，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中的藥物濃度C（單位：mg/mL)隨時(shí)間t（單

位：h)變化的關(guān)系如圖所示，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（)

c(mg/mL)

甲

乙j0

f,”

t1t(h)

A.在ti時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同

B．在h時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度的瞬時(shí)變化率相同

C.在［l2'l3]這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中的藥物濃度的平均變化率相同

D．在［屈］，［皂］兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中的藥物濃度的平均變化率不相同

I

26.(2022·全國高三專題練習(xí)）若直線y=—x+b是函數(shù)f(x)圖像的一條切線，則函數(shù)f(x)可以是()

2

1

A.f(x)=..::..B.f(x)=X4C.f(x)=sinxD.f(x)=e"

X

27.(2022全國高三專題練習(xí)）（多選）下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是()

A.(3')'=3'log3eB.(ex)'=e'

D.(x-e人．）＇＝3'+l

C（勹＝lnxx

三、填空題

28.(2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax2在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為石，則f(x)在區(qū)間

[-2,-1]上的平均變化率為.

29.(2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=f(x)=2x丘l在X=Xo處的瞬時(shí)變化率為－8，則f(x。)＝.

30.(2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=lnx+~x丘x,則f(x)所有的切線中斜率最小的切線方程為

2

31.(2022-全國高三專題練習(xí)）曲線））＝xlnx的一條切線過點(diǎn)(0,-3)，則該切線的斜率為.

32.(2022浙江高三專題練習(xí)）曲線y=xJ＿石x+2上的任意一點(diǎn)P處切線的傾斜角的取值范圍是.

33.(2022全國高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)J(x)=e氣x2-x+sinx,則曲線y=f(x)在點(diǎn)

(OJ(O)）處的切線方程是.

34.(2022全國高三專題練習(xí)）已知瓜）＝灶，則過點(diǎn)P(-l,0)，曲線y＝知）的切線方程為

35.(2022全國高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)f(x)=xlnx,若直線l過點(diǎn)(0,-1)，并且與曲線y=J(x)相

切，則直線l的方程為

36.(2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b的圖象在點(diǎn)P(l,O)處的切線與直線3x+y=O平

行．則2a+3b=~·

37.(2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2lnx,g(x)=ax2-x-l(a>0)，若直線y=2x-b函數(shù)Y=f(x),

y=g(x)的圖象均相切，則a的值為.

38.(2022全國高三專題練習(xí)）函數(shù)y=J(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是：y=-x+8,若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)

為5,則f(5)+/(5)=_.

39.(2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=alnx+bx2的圖象在點(diǎn)P(l,I)處的切線與直線x-y+l=O垂

直，則a的伯為

40.(2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)l(x)=ae'-2x+b(a,bER)在x=1處的切線方程為

(e-2)x-y+l=0,則f'(ln2)=_.

41.(2022全國高三專題練習(xí)（理））我國魏晉時(shí)期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”的近似

計(jì)算，用正n邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼＂的辦法求出了圓周率冗的精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)

文化之一．借用“以直代曲＂的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點(diǎn)附近的曲

線來近似計(jì)算．設(shè)f(x)=e,;,則f'(x)=，其在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為.

42.(2022全國高三專題練習(xí)）設(shè)瓜）＝ae'+blnx,且fCl)=e,f(-1)=..:，則a+b=_.

四、解答題

43.(2022·全國高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

11

Cl)y=x（灶＋－＋六）；

XX

1

(2))r.=（五＋1)（一－－1);

石

(3))r.=xtanx;

XX

(4))--X-sin—cos—;

22

(5)y=31nx+ax(a>O，且吁l).

44.(2022·全國高三專題練習(xí)（文））下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

(1)y=X4—3x2—5x+6;

XX

(2)y=Y+sin-::-cos-::-;

22

(3)y=x-log2x;

cosx

(4)y=—.

X

45.(2022全國高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(l)y=x3+3x2-5;

(2)y=xsinx＋五

sl.nxxx

）、丿

((34yy=-.'

2

l-

=

s.1nx

46.(2022-浙江高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=xlnx.

(1)求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

(2)求這個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)x=l處的切線方程．

47.(2021黑龍江牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)f(x)=ex-x2-ax的圖象在x=O處

的切線方程為y=2x+b.求實(shí)數(shù)a,b的值；

48.(2021全國高三專題練習(xí)）已知涵數(shù)J(x)=x勹－ax2+bx＋礦，當(dāng)b=l時(shí)，曲線y=f(x)存在垂直于Y軸

的切線，求a的取值范圍

49.(2021福建晉江高三階段練習(xí)）已知曲線y=f(x)=x3-3x上一點(diǎn)P(l,-2)，過點(diǎn)P作直線l.

Cl)求與曲線y=f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線l的方程；

(2)求與曲線y=f(x)相切且切點(diǎn)異千點(diǎn)P的直線l的方程．

第09講導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及切線方程

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

一、基本概念

1、導(dǎo)數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=J(x)在X=X。附近有定義，如果心今0時(shí)，Ay與心的比A2（也叫函數(shù)的平均變化率）

Ax

有極限，即竺無限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值做函數(shù)y=J(x)在x=x。處的導(dǎo)數(shù)，記作J'(x。)或

Ax

Ayj.（x。十釭）－．小。）f(x)-f伈）

y'Ix=x。即J'(x。)＝lim—=lim=lim

心·?OAx心·?OAx?x。x-x。

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=J(x)在Xo處的導(dǎo)數(shù)f'(x。)，表示曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x。)）處的切線PT的斜率，即

tana=f'（動(dòng)，其中a為切線的傾斜角，如圖所示，過點(diǎn)P的切線方程為y-y。=f'(x。Xx-x。)

y

P（環(huán)Yo)

;y=f(x)

I

X。x

3、導(dǎo)數(shù)的物理意義設(shè)t=O時(shí)刻一車從某點(diǎn)出發(fā)，在t時(shí)刻車走了一定的距離S=S(t)．在to~t1時(shí)刻，

S(tl)-s伈）

車走了S億）－S伈），這一段時(shí)間里車的平均速度為，當(dāng)t1與t。很接近時(shí)，該平均速度近似千t。

ti-t。

S(/1)-S(t0)

時(shí)刻的瞬時(shí)速度若令t1~to,則可以認(rèn)為Jim。，即S'億）就是to時(shí)刻的瞬時(shí)速度

t,-,tot1-t。

二、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式如表

y=J(x)y'=f'(x)

y=cy'=O

y=x"(xeN*)y=nx"-1,n為正整數(shù)

y=xa(x>O,a::;;0且aEQ)y'=axa-1,a為有理數(shù)

y=ax(a>O且a":/:.l)y'=axIna

y=logax(a>O且a=t:-1.x>O),1

y=

xlna

y=sinxy'=cosx

,.

y=COSXy=-smx

=~

注（五），二廠）2?x'l__x)＝—上x2,,(ln···--ix)1x

三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（和、差、積、商）

設(shè)u=u(x),v=v(x)均可導(dǎo)，則

,,

(1)(u土v)=U'士v';(2)(ku)=ku'(keR);

,

(3)(uv)=u'v+uv';(4）廠）＇＝u＇V-2uv'（吐0)

VJV

注：(cf(x))=lf'(x)(cER).

四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=J[g(x)］的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)之間具有關(guān)系yx'＝y(tǒng),'，u'，，該關(guān)系用語言

表述就是“y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等千y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積＂，也就是先把g(x)當(dāng)作一個(gè)整體，把

y=J[g(x)］對(duì)g(x)求導(dǎo)，再把g(x)對(duì)x求導(dǎo)，這兩者的乘積就是復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)］對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，即

（f［正）］）＝f'[g(x)]·g'(x)

【典型例題】

例I.(2022全國高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)=x21nx-2x+l,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(l,f(1)）處的

切線方程為（)

A.2x+y-1=0B.x-y-2=0C.x+y=OD.x-2y-4=0

【答案】C

【詳解】

解：·:f(x)=x2lnx-2x+l的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2xlnx+x-2,

:.!'(1)=1-2=-l.·:/(1)=-l,:．曲線y=f(x)在點(diǎn)(l,J(l))處的切線方程為y+l=-(x-1)，即x+y=O.

故選：C.

例2.(2022湖南雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x:::;O時(shí)，f(x)=e寸－l_x,則曲線Y=f(x)

在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率是()

A.1B.2C.eD.-e-2-l

【答案】B

【詳解】

設(shè)x>O,則－x<O,f(-x)=ex-l+x,又f(x)為偶函數(shù)，

:.J(x)=e'一l+X,則對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=e·H+.l,

:./(1)=2,即所求的切線斜率為2.

故選：B

f(1+2Llx)—f(1)

例3.(2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2lnx+8x,則lim的值為（)

A_。Ax

A.-20B.-lOC.10D.20

【答案】D

【詳解】

2

囚為f(x)=2lnx+8x,所以f'（x)＝－＋8,

/(1+2心）－f（l)f(l+2紅）－f（l)

所以lim=2lim=2J'(l)=20.

心分0Ax2心分02Lix

故選：D

例4.(2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=lnx+~x2,則f(x)所有的切線中斜率最小的切線方程為

2

【答案】4入－2y-3=0

【詳解】

1

解：由f(x)=lnx+~x2,得/(x)=~+x(x>0),

2..-X

氣l＋x:::::2b=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立，

:.x=I滿足題總，此時(shí)/(I)=2,又f(I)＝—,

2

1

:．所求切線方程為y——=2(x—1),11P4x-2y-3=0.

2

故答案為：4x-2y-3=0.

例5.(2022全國高三專題練習(xí)）若直線y=kx與曲線y＝產(chǎn)相切，則切點(diǎn)坐標(biāo)為＿．

【答案】(..:...,e)

2

【詳解】

設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,n),

y＝產(chǎn)的導(dǎo)數(shù)為y'=2e氣

山切線方程y＝虹，

可得2e2m=k,n=km=e2111,k>O,

l

解得,n=-=-,n=e,

2

I

即切點(diǎn)的坐標(biāo)為（一，e).

2

I

故答案為：(,e).

2

5，冗

例6.(2022全國高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)j(x)=~rc;)sinx+cosx'則曲線y=J(x)在點(diǎn)(O,J(O))

24

處的切線方程是

【答案】x+y-1=0

【詳解】

5，冗

由題總得f'（x)=—f

2(－）4COSX-smx，將x＝竺4與x=O分別代入，

們（開？f（斤字－亨，f'(O)＝孕f匠］，

解得f'（~)=-?2,f'(O)=-1，而f(O)=l,

所以所求切線方程是）1-1=-(x-0)，即x+y-l=O.

故答案為：x+y-1=0

例7.(2022浙江高三專題練習(xí)）請(qǐng)用函數(shù)求導(dǎo)法則求出下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

(1)y=e''"x;

(2)y=x+3;

x+2

(3)y=ln(2x+3);

(4)y=(x2+2)(2x-1);

(5)y=cos(2x+氣）．

【詳解】

(I)因?yàn)閥=e'in.,，則y'=esin.,·(SinX)'=esinxCOSX;

x+3(x+3)'(x+2)—(x+2)'(x+3)l

(2)因?yàn)閥=——，則y'==—2;

x+2(x+2f(x+2)

lI2

(3)因?yàn)閥=ln(2x+3)，則y'=~·(2x+3)'=

2x+3'12x+3

(4)因?yàn)閥＝伬＋2)(2x—1)，則y'＝廳＋2)'(2x-1)+(x2+2)(2x-1)

=2x(2x-l)+2(x2+2)=6立2x+4;

(5)因?yàn)閥=cos(2x+f)，故y'=-(2x+f}sin(2，氣）＝－2sin(2x+f)

例8.(2022全國高三專題練習(xí)）已知曲線S:y=2x—x3.

(1)求曲線S在點(diǎn)A(l,1)處的切線方程；

(2)求過點(diǎn)B(2,0)并與曲線S相切的直線方程．

【詳解】

(1)·:y=2x-x3，則y'=-3x2+2,

:.當(dāng)x=l時(shí)，y＇＝－1,

：．點(diǎn)A(l,1)處的切線方程為：y-l=(-l)(x-1)，即x+y-2=0

(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(m,2m五），則且線斜率k＝飛：：3，而y'＝2-3礦，整理得：m3-3m2+2=0

:.m3-nl-2(m2-1)=0，則m2(m-1)-2(m+l)(m-1)=0,即有(m-l)(m2-2m-2)=0,解得

m1=l，嚇＝l+?3皿＝1—石，

當(dāng)m=l時(shí)：k=2-3m2=-1,肖線方程為y=-(x-2)=2-X;

當(dāng)m=l+?3時(shí)，k=2-3m2=-10-6石，且線方程為y=(-10-6?3)(x-2):

當(dāng)m=l-＄時(shí)，k=2-3m2=-10+6?3，直線方程為y=(-10+6?3)(x-2)

【技能提升訓(xùn)練】

一、單選題

l.(2022全國高三專題練習(xí)）某物體沿水平方向運(yùn)動(dòng)，其前進(jìn)距離S（米）與時(shí)間t（秒）的關(guān)系為s(t)=St+2t氣

則該物體在運(yùn)動(dòng)前2秒的平均速度為（)

13

A.18米／秒B.13米／秒c.9米／秒D.—米／秒

2

【答案】C

【分析】

s(2)-s(O)

利用平均變化率的定義可得出該物體在運(yùn)行前2秒的平均速度為，進(jìn)而可求得結(jié)果．

2

【詳解】

·:s(t)=5t+2t2,

s(2)-s(o)18

:．該物體在運(yùn)動(dòng)前2秒的平均速度為=—=9（米／秒）．

22

故選：C.

2.(2022·全國高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列數(shù)值排序正確的是（)

>-

432

1

。1234SX

A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<J'(3)<f(3)-f(2)<J'(2)

C.0</'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)

【答案】B

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)兒何意義和過兩點(diǎn)的白線的斜率公式，結(jié)合圖象即得結(jié)果

【詳解】

如圖所示，f＇（2)是函數(shù)f(x)的圖象在x=2（即點(diǎn)A)處切線的斜率kl,f'(3)是函數(shù)．f(x)的圖象在x=3（即

f(3)-f(2)

點(diǎn)B)處切線的斜率k,'=/(3)-/(2)=k是割線AB的斜率．

3-2AB

-、

J432

1

勹34s

。JX

由圖象知，0<k2<kAB<kl'即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).

故選：B.

f(l-Lll)-f(l)

3.(2022全國高三專題練習(xí)（理））若的數(shù)f(x)可導(dǎo)，則fun等千()

心?。2.ill

A.-2f'(1)B./'(1)C.-~/'(I)

?2D.f'且）

【答案】C

【分析】

J[l+（－心）］－f（l)f(l－心）－f(l)1f[．l+（心）］寸(l),

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義得lim寸'(1)，根據(jù)lim--lim

Ar?。-A.A臼02&2A已0-Ll.x

即可求出結(jié)果

【詳解】

兀－心）－f（l)1f[l+（－釭）］－f(l)_1

lim=-..:.lim~=-..:.f'(l).

心'?02~2心'?。-~2·

故選：C.

f(26.x)-f(-6.x)

4.(2022全國高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)=x4+ax,若hm.=12,則a=()

A已o6.x

A.36B.12C.4D.2

【答案】C

【分析】

f(2心x)-f(－心x)f(2Ax)-f(-Ax)

根據(jù)函數(shù)f(x)在X。處的導(dǎo)數(shù)的定義將、lim變形為3liin=3f'(0)即

6.x-->0公X6.<-->03.6.X

可求解

【詳解】

解：根據(jù)題意，f(x)=x勹－ax,則f'(X)=4_x3+a，則f'(O)=a,

f(2心）－f(-￡:::..x)

若lim=12,則

A,?0公x

f(2心）－f（－Ax)f(2心x)-f(－心x)

lim=3lim=3J'(0)=12,

t:>x?。i:::,.xt:>x?03公x

則有3a=12,即a=4,

故選：C.

5.(2022全國高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)J(x)的圖象如下所示，f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)圖象判

斷下列敘述正確的是()

y

x

A.f'化）＜f＇伈）B.f'(x.)>f'伈）

C.j．化）＜f＇伈）＜0D.f化）汀＇（凸）＞0

【答案】B

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合函數(shù)圖象，即可判斷f'（x1)與/(x2)、f(x1)與f伈），及其與0的大小關(guān)系

【詳解】

由曲線上一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示該點(diǎn)切線的斜率，結(jié)合圖象知：f'(x1)>f'(x2)>0,而f(x1)<0<J伈），

故選：B.

f(2-h)-/(2)

6.(2022浙江高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)滿足/'(2)=4,則lim=()

I,?oh

A.8B.-8C.4D.-4

【答案】D

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可直接化簡(jiǎn)求得結(jié)果

【詳解】

f(2-h)-f(2)_,__"···f(2-h)-f(2)

lim=-lxlim=-f'(2)=-4.

I,?oh,,?。-h

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求值的問題，屈十基礎(chǔ)題

7.(2022全國高三專題練習(xí)（理））涵數(shù)f(x)=x?-2x3的圖像在點(diǎn)x=I處的切線方程為（）

A.y=2x+lB.y=-2x+lC.y=-2x-1D.y=2x-l

【答案】B

【分析】

求導(dǎo)，計(jì)篤f(l),k=f'(l)，即得解

【詳解】

·:f(x)=x4-2.x3,:.f'(x)=4x3-6x2,:.f(l)=-1,/'(1)=-2,

因此，所求切線的方程為y+l=-2(x-J)，即y=-2x+l.

故選：B

a冗冗

8.(2022全國高三專題練習(xí)）若曲線y=e'－－一(a>O)上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角的取值范圍是［一，一），

er32

則a=()

13

Bc

A.上-3.-4D.3

12

【答案】C

【分析】

a冗冗

先求得y'=e上｀+—~2丁

e·a，根據(jù)曲線切線的傾斜角的取值范圍是[f萬），得到K之＄，列出方程，即可求解．

【詳解】

a

由題意，函數(shù)y=e"-—ex(a>O)，可得y'=e勹旦ex~2心，

又由曲線y=e弓(a>0)的切線的傾斜角的取伯范圍是甘甘

a

可得切線的斜率的取值范圍是K之＄，所以e·`+—之exJ'

又因?yàn)閑x+~~2五，所以2嘉＝打

e"

3

解得a=—.

4

故選：C.

9.(2022-全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=li礦＋x的圖象在點(diǎn)(0,a)處的切線過點(diǎn)(2,5)，則a=()

A.-1B.-2C.lD.2

【答案】C

【分析】

求出函數(shù)．f(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何，意義結(jié)合切線經(jīng)過的兩點(diǎn)列式求解即得．

【詳解】

依題意，f'(x)=ae·'+J,j'(O)=a+l,

5—a

囚函數(shù)f(x)=ae飛x的圖象在點(diǎn)(0,a)處的切線過點(diǎn)(2,5)，于足得a+l=，解得a=l,

2—0

所以a=l.

故選：C

10.(2022全國高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1)）處的切線方程為y=2x+l,

則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(l)）處的切線的斜率為（)

1l

A.4