初中數(shù)學(xué)競賽《圓》

.....2、（05）已知點I是銳角三角形ABC的心，A1，B1，BA1C1分別是點I關(guān)于邊BC，CA，AB的對稱點。若點B在△A1B1C1的外接圓上，則∠ABC等于（）C1A、30°B、45°C、60°D、90°I3．（06）正方形ABCD接于⊙O，點P在劣弧AB上，連接CQCDC的值為（）B1DP，交AC于點Q．若QP=QO，則QA（A）231（B）23（C）32（D）32OQABP（）已知△ABC為銳角三角形，⊙O經(jīng)過點B，C，且與邊，（第3題圖）07AB5AC分別訂交于點D，E．若⊙O的半徑與△ADE的外接圓的半徑相等，則⊙O必定經(jīng)過△ABC的（）．（A）心（B）外心（C）重心（D）垂心10．已知線段AB的中點為C，以點A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點D，使得BD＝AC；再以點D為圓心，DA的長為半徑作圓，與⊙A分別訂交于F，G兩點，連AH接FG交AB于點H，則的值為．ABA8、△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，過△ABC的切圓圓心l作DE∥BC，分別與AB、AC訂交于點D，E，則DE的長為。IDEB（第8C題）9、已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB＝a＜1，以AB為一邊在圓O作正△ABC，點D為圓O上不一樣于點A的一點，且DB＝AB＝a，DC的延長線交圓O于點E，則AE的.....c.....長為（）。A、5aB、1C、3D、a221（04）．D是△ABC的邊AB上的一點，使得AB=3AD，P是△ABC外接圓上一點，使得ADPACB，求PB的值.PD4．（06）如圖，點P為⊙O外一點，過點P作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B．過點A作PB的平行線，交⊙O于點C．連接PC，交⊙O于點E；連接AE，并延長AE交PB于點K．求證：PE·AC=CE·KB．PKEA

BOC（第4題）6．已知AB為半圓O的直徑，點P為直徑AB上的任意一點．以點A為圓心，AP為半徑作⊙A，⊙A與半圓O訂交于點C；以.....c.....點B為圓心，BP為半徑作⊙B，⊙B與半圓O訂交于點D，且線段CD的中點為M．求證：MP分別與⊙A和⊙B相切．7．如圖，點E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊AD，BC的延長線上，且滿足DEAD．若CD，F(xiàn)E的延長線訂交于點G，△DEGCFBC的外接圓與△CFG的外接圓的另一個交點為點P，連接PA，PB，PC，PD．求證：（1）ADPD；BCPC2）△PAB∽△PDC．11（10）．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是△.....c.....ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：tanPADEF．BC12（11）、如圖，點H為△ABC的垂心，以AB為直徑）的⊙O1和△BCH的外接圓⊙O2訂交于點D，延長AD交CH于點P，求證：點P為CH的中點。初中數(shù)學(xué)比賽《圓》歷屆考題.....c.....104DABCABAB=3ADPABCADPACBPB.PDAPAPBACBADPAPBADP5ABAPAPADAP2AB?AD3AD2AP3AD10PBAP3.15PDADB205IABCA1B1C1A1DIBCCAABBA1B1C1C1ABCIA30°B45°C60°D90°ACCB1IA1IB1IC12rrABCIA1B1C1IA1BCDIBIA12IDIBD30°IBA30°ABC60°3．（06）正方形ABCD接于⊙O，點P在劣弧AB上，連接DP，交AC于點Q．若QP=QO，則QC的值為（）DCQA（A）231（B）23（C）32（D）32O答：D．解：如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，QO=m，則QP=m，QC=r＋m，QA=r－m．在⊙O中，依據(jù)訂交弦定理，得QA·QC=QP·QD．

QABP（第3題圖）即(r－m)(r＋m)=m·QD，所以QD=r2m2．連接DO，由勾股定理，得QD2=DO2mr2m223QCrm31r22，解得m＋QO2，即mmr所以，QArm33231.....c.....4．（06）如圖，點P為⊙O外一點，過點P作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B．過點A作PB的平行線，交⊙O于點C．連接PC，交⊙O于點E；連接AE，并延長AE交PB于點K．求證：PE·AC=CE·KB．P證明：因為AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切線，所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是K△KPE∽△KAP，所以KPKE，即KP2KEKA．EKAKPB由切割線定理得KB2KEKAA所以KPKB．10分O因為AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是PEKP故PEKBCEACCE，CAC即PE·AC=CE·KB．15分（第4題）5（07）已知△ABC為銳角三角形，⊙O經(jīng)過點B，C，且與邊AB，AC分別訂交于點D，E．若⊙O的半徑與△ADE的外接圓的半徑相等，則⊙O必定經(jīng)過△ABC的（）．（A）心（B）外心（C）重心（D）垂心答：（B）．解：如圖，連接BE，因為△ABC為銳角三角形，所以BAC，ABE均為銳角．又因為⊙O的半徑與△ADE的外接圓的半徑相等，且DE為兩圓的公共弦，所以BACABE．于是，BECBACABE2BAC．若△ABC的外心為O1，則（第3題答案圖）BO1C2BAC，所以，⊙O必定過△ABC的外心．應(yīng)選（B）．6．已知AB為半圓O的直徑，點P為直徑AB上的任意一點．以點A為圓心，AP為半徑作⊙A，⊙A與半圓O訂交于點C；以點B為圓心，BP為半徑作⊙B，⊙B與半圓O訂交于點D，且線段CD的中點為M．求證：MP分別與⊙A和⊙B相切．證明：如圖，連接AC，AD，BC，BD，而且分別過點C，D作AB的垂線，垂足分別（第13A題答案圖）.....c.....為E,F，則CE∥DF．因為AB是⊙O的直徑，所以ACBADB90．在Rt△ABC和Rt△ABD中，由射影定理得PA2AC2AEAB，PB2BD2BFAB．5分兩式相減可得PA2PB2ABAEBF，又PA2PB2(PAPB)(PAPB)ABPAPB，于是有AEBFPAPB，即PAAEPBBF，所以PEPF，也就是說，點P是線段EF的中點．所以，MP是直角梯形CDFE的中位線，于是有MPAB，從而可得MP分別與⊙A和⊙B相切．7．如圖，點E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊AD，BC的延長線上，且滿足DEAD．若CFBCCD，F(xiàn)E的延長線訂交于點G，△DEG的外接圓與△CFG的外接圓的另一個交點為點，連接PA，PB，PC，PD．求證：（1）ADPD；BCPC2）△PAB∽△PDC．證明：（1）連接PE，PF，PG，因為PDGPEG，所以PDCPEF．又因為PCGPFG，所以△PDC∽△PEF，于是有PDPE,CPDFPE，從而△PDE∽△PCF，所PCPF以PDDE．又已知DEAD，所以，ADPD．10分PCCFCFBCBCPC（2）因為PDAPGEPCB，聯(lián)合（1）知，△PDA∽△PCB，從而有PAPD,DPACPB，所以APBDPC，所以△PAB∽△PBPCPDC．15分8、△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，過△ABC的切圓圓心l作DE∥BC，分別與AB、AC訂交于點D，E，則DE的長為16A3。解：如圖，設(shè)△ABC的三邊長為a,b,c，haDI切圓l的半徑為r，BC邊上的高為ha，則Er11c)r，所以raBCahaSABC(abhaab，（第8題）22c.....c.....因為△ADE∽△ABC，所以它們對應(yīng)線段成比率，所以harDE,haBC所以DE＝hara(1r)a(1a)aa(bc)hahaabcabc故DE＝8(79)16。87969、已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB＝a＜1，以AB為一邊在圓O作正△ABC，點D為圓O上不一樣于點A的一點，且DB＝AB＝a，DC的延長線交圓O于點E，則AE的長為（B）。A、5aB、1C、3D、a22解：如圖，連接OE，OA，OB，設(shè)∠D＝a，則∠ECA＝120°－a＝∠EAC

OEC又因為∠ABO＝11(601802a)120DABDa22AB所以△ACE≌△ABO，于是AE＝OA＝1（第9題）10．已知線段AB的中點為C，以點A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點D，使得BD＝AC；再以點D為圓心，DA的長為半徑作圓，與⊙A分別訂交于F，G兩點，連接FG交AB于點H，則AH．的值為AB解：如圖，延長AD與⊙D交于點E，連接AF，EF．由題設(shè)知AC1AD，AB1AE，在△FHA和△EFA33中，EFAFHA90，F(xiàn)AHEAF所以Rt△FHA∽Rt△EFA，AHAFAB，所以AH1.AF.而AFABAE3

（第10題）11（10）．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，.....c.....BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：tanPADEF．BC證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D.因為BE和CF都是直徑，所以ED⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，所以D，E，F(xiàn)三點共線.（5分）連接AE，AF，則AEFABCACBAFD，所以，△ABC∽△AEF.（10分）（第11題）作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得）EFAH，BCAP從而EFPD，BCAPPDEF.（20分）所以tanPADAPBC12（11）、如圖，點