高中物理競賽的數(shù)學基礎

AX(BXC)=(A?C)B—(A?B)C.(B.19)這是有關(guān)這三重積最重要的恒等式。6.極矢量和軸矢量左手在鏡子中的象是右手，右手在鏡子中的象是左手。我們說，左右手具有鏡象對稱。一般說來，所謂對稱性，就是在某種操作下的不變性。與鏡象對稱相聯(lián)系的是空間反射操作。在這種操作下，沿鏡面法線方向的坐標zf_z,其它方向不變，于是左手坐標系變成了右手坐標系(見圖B-13)。物理學中有各種矢量，它們在空間反射操作下怎樣變換？對于位矢r來說，這是清楚的：與鏡面垂直的分量反向，平行分量不變。與r相聯(lián)系的速度v、加速度a、乃至力f等矢量都應有相同的變換規(guī)律。但存在另一類矢量，它們在空間反射操作下具有不同的變換規(guī)律。在第二章5.4節(jié)里按右手螺旋法則把角速度3定義成矢量(見圖2—50)，這定義的前提是采用右手坐標系。如圖B—14所示，在空間反射操作下，3與鏡面垂直的分量不變，平行的分量卻反向。和3相似，角速度、角加速度、角動量、力矩等矢量，都具有這樣的變換規(guī)律通常把在空間反射變換下服從前一類變換規(guī)律的矢量叫做極矢量，后一類的叫做軸矢量。應指出，兩個極矢量叉乘，得到的是軸矢量。實際上許多軸矢量都能寫成兩個極矢量叉乘的形式。例如一個質(zhì)點的角動量J=mrXv，力矩M=rXf，等等。

abab^B-14習題B—l.有三個矢量A=(l,0,2)、B=(l,1,1)、C=(2,2,-1),試計算:A?B,(2)B?A,(3)B?C,⑷C?A,(5)A?(B+C),(6)B?(2A-C),(7)AXB,(8)AX(2B+C),(9)A?(BXC),(10)(A?B)C,(11)(AXB)XC,(12)AX(BXC).B—2?證明下列矢量恒等式：(AXB)XC=(A?C)B-(B?C)A,(AXB)?(CXD)=(A?C)(B?D)—(A?D)(B?C).B-3.有三個矢量a=(1,2,3)、b=(3,2,1)、c=(1,0,1),試計算：三個矢量的大小和方向余弦；兩兩之間的夾角；以三矢量為棱組成平行六面體的體積和各表面的面積。B-4.試證明：極矢量A和B的矢積AXB是軸矢量；極矢量A和軸矢量B的矢積AXB是極矢量。三復數(shù)的運算復數(shù)的表示法復數(shù)魂一個二鞫，它對應于復平面中的一個坐標為仗旳圖C-1的點，或?qū)趶推矫嬷械囊粋€長度為A、仰角為的矢量(見圖C—1)。與此相應地復數(shù)有下列兩種表示法：圖C-1A=^+jy?(U1)式中廣評=U0眸式中廣評=U0眸+」sm鞏歐勒公式，詳見弟卯卜(C.1)式是復數(shù)的直角坐標表示，對應點的橫坐標x為復數(shù)的實部，記作

筈二R已瓦縱坐標y為復數(shù)的虛部，記作y二Im瓦(U筈二R已瓦縱坐標y為復數(shù)的虛部，記作y二Im瓦(U2)式是復數(shù)的極坐標表示，對應矢量的長度A為復數(shù)的模或絕對值，記作A=|A|；仰角@為復數(shù)的輻角,之間有如下?lián)Q算關(guān)系：記作即=argA.兩種表示袪A=+護,件=tan'1—或反過來，有(C.3)(C.4)單位虛數(shù)」二尸有如下性質(zhì):j=e^2+二嚴復數(shù)S=K+jy=e^的共輒辰定義為(C.7)所以(C.8)張=以=宀扌.(C.8)即一對共軛復數(shù)的乘積等于模的平方。兩個復數(shù)辺1=藍］+切=氣亡叫、直附=x2+」冗=慫』叫相等的充要條件為：「實部相等：71=72-71=72-模相等：輻角相等:復數(shù)的四則運算

（1）加減法瓦土￡=仗i+切）士（藍2+」乃）=兇土衍）+」（刃土卩力，即實部、虛部分別加減。（2）乘法辰「禺二％畀1），（A2e^2）=A1A2ejCv）1+^,〔CIO）即模相乘，輻角相加?；蛘叱?，爲:=儀1+爐）*慮+」兔）二仗1%一卩』2）+」（迪匕+花力）（C.11）A1ej^2（3）A1ej^2A1即模相除，輻角相減。或者囂1亠」珂二仗1斗」yj（乜一」兀）衍+」肥（簽2+」兀）（衍-JY2）=01藍2十口卩2）十j（珂乜一衍兔）盜；十?2=巴竺電十'V1筈2-藍1^2遙斗拆J送亠處倒數(shù)運算可以看作是除法的特例：歐勒公式現(xiàn)在介紹一下歐勒公式是如何得來的。從附錄A的表A-3中可以查到ex、cosx、sinx的冪級數(shù)展開式：=1+1!+_2?+^7+4!在屛的展開式拘踐換成習鳥注意?〔士」尸=」(±j)3=aj.(土護7…，我們得到艮卩e±jx=cosx土jsinx,(C.16)這就是歐勒公式。下面給出幾個常用的三角函數(shù)與復指數(shù)函數(shù)之間的變換公式。從歐勒公式可以反解出：￡in(f=—(e^-e'^￡in(f=—(e^-e'^2」由此立即得到(C.19)簡詣振動的復數(shù)表示簡諧振動s(t)=Acos(31+甲0)也可用一個復數(shù)弓(t)=A」祖十叫)的實部或虛部來表示。上式右端又可寫為也A-tJO°稱為復振幅，它集振幅A和初相位p于一身。于是，簡諧振動的復數(shù)表示可寫為3?=瓷』譏(C.20)

如果代表位移的話，則速度和加速度為v="dT=jOS,a=-^^-=(j^)2S=-?2S,亦即，對t求導數(shù)相當于乘上一個因子j3,運算起來十分方便。我們有時候需要計算兩個同頻簡諧量乘積在一個周期里的平均值，如平均功率，這也可以用復數(shù)來運算。設兩個同頻簡諧量為卜1〔1:)=盤嚴虬St+①J,}a2(0=A2cos(Wt+^2),它們的乘積在一個周期內(nèi)的平均值等于=匚0￡(3t十?])匚0或3t十擊2)出co_A_]_A.22t2jVqjco_A_]_A.22tf[師弍①]-?2)+皈農(nóng)⑴t+?]+^2)]dt』0如果用相應的復數(shù)厲⑵"嚴7)]%〔t)二盤旳3?來計算的話，下列公式給出同樣的結(jié)果:所以今后我們將用下式來計算兩簡諧量乘積的平均值所以今后我們將用下式來計算兩簡諧量乘積的平均值(C.21)習題C-1.計算下列復數(shù)的模和輻角。(1)(1＋2j)＋(2＋3j)；(3+j)-[l+(l+75)j]；(2＋3j)-(3＋4j)；(－2＋7j)＋(－1－2j).C—2.計算下列復數(shù)的實部和虛部。(2)(-l+73j)2；⑷晉C-3.用復數(shù)求兩個簡諧量a(t)=Acos(3t+p