河南省商丘市柘城第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

河南省商丘市柘城第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.直線5x-2y-10=0在x軸上的截距為a,在y軸上的截距為b,則（

）A.a=2,b=5;

B.a=2,b=;

C.a=,b=5;

D.a=,b=.參考答案：A2.從裝有黑球和白球各2個(gè)的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是（）A．至少有1個(gè)黑球，至少有1個(gè)白球B．恰有一個(gè)黑球，恰有2個(gè)白球C．至少有一個(gè)黑球，都是黑球D．至少有1個(gè)黑球，都是白球參考答案：B【考點(diǎn)】互斥事件與對立事件．【分析】仔細(xì)分析每組中的兩個(gè)事件所包含的基本事件，利用互斥事件和對立事件的概念逐個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證．【解答】解：對于A：事件“至少有1個(gè)黑球”和事件“至少有1個(gè)白球可以同時(shí)發(fā)生”，如一黑一白，故A不是互斥事件；對于B：事件：“恰好有一個(gè)黑球”與事件：“恰有2個(gè)白球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是黑球，∴兩個(gè)事件是互斥事件但不是對立事件，故B正確；對于C：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：兩個(gè)都是黑球，∴這兩個(gè)事件不是互斥事件，故C不正確．對于D：事件：“至少有一個(gè)黑球”與“都是白球”不能同時(shí)發(fā)生，但一定會有一個(gè)發(fā)生，∴這兩個(gè)事件是對立事件，故D不正確．故選B．3.為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象(

)

A．向左平移3個(gè)單位長度 B．向右平移3個(gè)單位長度C．向左平移1個(gè)單位長度 D．向右平移1個(gè)單位長度參考答案：D4.已知拋物線的方程為過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）

參考答案：D略5.如圖4，正方形ABCD中，E是AB上任一點(diǎn)，作EF⊥BD于F，則EF︰BE=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足，且導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A．(1,+∞)

B．(e,+∞)

C．(0,1)

D．(0,e)參考答案：D7.下列給出的賦值語句中正確的是(

)A．4=M B．M=-M C．B=A=3 D．x+y=0參考答案：B8.學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出高了一個(gè)容量為的樣本，其頻率分布直方圖如右圖所示，其中高.考.資.支出在元的同學(xué)有人，則的值為（

）A．

B．

C． D．參考答案：A9.曲線y=x3﹣2x+4在點(diǎn)（1，3）處的切線的傾斜角為（）A．30° B．45° C．60° D．120°參考答案：B【考點(diǎn)】62：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】欲求在點(diǎn)（1，3）處的切線傾斜角，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知k=y′|x=1，再結(jié)合正切函數(shù)的值求出角α的值即可．【解答】解：y/=3x2﹣2，切線的斜率k=3×12﹣2=1．故傾斜角為45°．故選B．10.觀察下列關(guān)于變量x和y的三個(gè)散點(diǎn)圖，它們從左到右的對應(yīng)關(guān)系依次是（）A．正相關(guān)、負(fù)相關(guān)、不相關(guān) B．負(fù)相關(guān)、不相關(guān)、正相關(guān)C．負(fù)相關(guān)、正相關(guān)、不相關(guān) D．正相關(guān)、不相關(guān)、負(fù)相關(guān)參考答案：D【考點(diǎn)】BI：散點(diǎn)圖．【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的點(diǎn)的分布即可得到結(jié)論．【解答】解：第一個(gè)圖點(diǎn)的分布比較集中，且y隨x的增加，而增加，是正相關(guān)．第二個(gè)圖點(diǎn)的分布比較分散，不相關(guān)．第三個(gè)圖點(diǎn)的分布比較集中，且y隨x的增加，而減少，是負(fù)相關(guān)．故選：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將24個(gè)志愿者名額分配給3個(gè)學(xué)校，則每校至少有一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法共有

種．參考答案：222隔板法“每校至少有一個(gè)名額的分法”有種．

又在“每校至少有一個(gè)名額的分法”中“至少有兩個(gè)學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種．綜上知，滿足條件的分配方法共有253－31＝222種．

12.復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)為，則的虛部為．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)z====﹣1+i，∴=﹣1﹣i，則的虛部為﹣1．故答案為：﹣1．13.直線ax+2by=1與圓x2+y2=1相交于A，B兩點(diǎn)（其中a，b是實(shí)數(shù)），且△AOB是直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q（0，0）之間距離的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】直線與圓．【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系以及兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△AOB是直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），∴圓心到直線ax+2by=1的距離d=，即d=，整理得a2+4b2=2，則點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q（0，0）之間距離d==，∴當(dāng)b=0時(shí)，點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q（0，0）之間距離取得最大值為，故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查直線和圓的位置公式的應(yīng)用以及兩點(diǎn)間的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力．14.若命題“存在實(shí)數(shù)x，使x2+ax+1＜0”的否定是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．參考答案：a＜﹣2或a＞2【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】特稱命題的否定是假命題，即原命題為真命題，得到判別式大于0，解不等式即可．【解答】解：∵命命題“存在實(shí)數(shù)x，使x2+ax+1＜0”的否定是假命題，∴原命題為真命題，即“存在實(shí)數(shù)x，使x2+ax+1＜0”為真命題，∴△=a2﹣4＞0∴a＜﹣2或a＞2故答案為：a＜﹣2或a＞215.若實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則=____________.參考答案：

16.已知，則的值為

.參考答案：63由二項(xiàng)式定理得，所以，解得，所以，所以.

17.已知x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為

．參考答案：，作出約束條件表示的可行域，如圖，平移直線，由圖可知直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，且，.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分16分）如圖，已知中心在原點(diǎn)且焦點(diǎn)在軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求證四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．參考答案：解（1）設(shè)橢圓方程為，因?yàn)殡x心率，所以，…2分所以橢圓方程為，又因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，則，…………4分所以，所以橢圓的方程為．…………………6分（2）直線的方程為，由方程組解得．………8分直線的方程為，由方程組解得．…10分設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程為，則有，解得，所以圓的方程為．…………………14分又因?yàn)辄c(diǎn)也適合方程，所以點(diǎn)在圓上，所以四點(diǎn)在一個(gè)圓上，圓的方程為．…………………16分19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上移動．（Ⅰ）若F為BC中點(diǎn)，求證：EF∥平面PAC；（Ⅱ）求證：AE⊥PF；（Ⅲ）若二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求的值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）證明EF∥PC即可得EF∥平面PAC．（Ⅱ）證明AE⊥平面PBC即可得AE⊥PF．（Ⅲ）如圖以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F(xiàn)（m，2，0），求出平面AEF的一個(gè)法向量為，由二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求出m，即可【解答】解：（Ⅰ）證明：在△PBC中，因?yàn)辄c(diǎn)E是PB中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，所以EF∥PC．…..又因?yàn)镋F?平面PAC，PC?平面PAC，…．所以EF∥平面PAC．

…..（Ⅱ）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以BC⊥AB．因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥BC．PA∩AB=A所以BC⊥平面PAB．

…..由于AE?平面PAB，所以BC⊥AE．由已知PA=AB，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，所以AE⊥PB．…..又因?yàn)镻B∩BC=B，所以AE⊥平面PBC．…..因?yàn)镻F?平面PBC，所以AE⊥PF．…..（Ⅲ）如圖以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F(xiàn)（m，2，0）．于是，．設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為=（p，q，r），由得取p=2，則

q=﹣m，r=m，…．得=（2，﹣m，m）．…..由于AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，所以AP⊥平面ABCD．即平面ABF的一個(gè)法向量為．

…..根據(jù)題意，，解得．

…..由于BC=AB=2，所以．…..20.已知函數(shù)．(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性；(Ⅱ)證明：(e為自然對數(shù)的底)恒成立．參考答案：(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)見解析.【分析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；(Ⅱ)取，有，即，求出(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立)，問題轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立即可，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】(Ⅰ)解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減(Ⅱ)證明：由(1)可知，當(dāng)時(shí)，特別地，取，有，即，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立)，因此，要證恒成立，只要證明在上恒成立即可設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．故當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立因此，有，又因?yàn)閮蓚€(gè)等號不能同時(shí)成立，所以有恒成立或：令，則，再令，則，由知，存在，使得，得，由可證，進(jìn)而得證．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想。21.在△ABC中，，解這個(gè)三角形。參考答案：法一：

由余弦定理得：

----------------2分

---------------------3分整理得：

---------------------4分解得

------------------------------6分(1)當(dāng)時(shí)，，所以，

-----------8分所以

--------9分（2）當(dāng)時(shí)，又此時(shí)

-------10所以△ABC為直角三角形，且

-------------------11分所以△ABC為直角三角形，

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