積分變換課件第3講：傅氏變換的性質(zhì)

積分變換：傅氏變換的性質(zhì)

第3講這一講介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì),為了敘述方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質(zhì)時(shí),不再重述這些條件.線性性質(zhì)設(shè)F1(w)=F[f1(t)],

F2(w)=F[f2(t)],

a,b是常數(shù),則

F

[a

f1(t)+b

f2(t)]=aF1(w)+bF2(w)(1.13)

這個(gè)性質(zhì)的作用是很顯然的,它表明了函數(shù)線性組合的傅氏變換等于各函數(shù)傅氏變換的線性組合.它的證明只需根據(jù)定義就可推出.

同樣,傅氏逆變換亦具有類似的線性性質(zhì),即

F

-1[aF1(w)+bF2(w)]=a

f1(t)+bf2(t)(1.14)2.

位移性質(zhì)證由傅氏變換的定義,可知微分性質(zhì)

如果f(t)在(-,

+)上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn),

且當(dāng)|t|+時(shí),f(t)0,則

F[f'(t)]=jwF[f(t)]. (1.17)

證由傅氏變換的定義,并利用分部積分可得推論

F[f(n)(t)]=(jw)n

F[f(t)].

(1.18)同樣,我們還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,設(shè)

F[f(t)]=F(w),

則4.

積分性質(zhì)例2求微分積分方程的解,其中<t<+,a,b,c均為常數(shù).根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì),且記F[x(t)]=X(w),

F[h(t)]=H(w).在方程兩邊取傅氏變換,

可得

運(yùn)用傅氏變換的線性性質(zhì),微分性質(zhì)以及積分性質(zhì),可以把線性常系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,通過(guò)解代數(shù)方程與求傅氏逆變換,就可以得到此微分方程的解.另外,傅氏變換還是求解數(shù)學(xué)物理方程的方法之一.此外還有性質(zhì)小結(jié):若F[f(t)]=F(w),F[g(t)]=G(w)乘積定理

若F(w)=F[f(t)],G(w)=F[g(t)],

則能量積分若F(w)=F[f(t)],

則有這一等式又稱為帕塞瓦爾(Parserval)等式證在(1.20)式中,令f(t)=g(t),則實(shí)際上,只要記住下面四個(gè)傅里葉變換,則所有的傅里葉變換都無(wú)須從公式直接推導(dǎo)而從傅里葉變換的性質(zhì)就可導(dǎo)出.注意第一類間斷點(diǎn)處的求導(dǎo)數(shù),

首先有d(t)u(t)ttOOa假設(shè)函數(shù)f(t)在t0處有一個(gè)上升了a的第一類間斷點(diǎn),則f(t)可以分為在此處連續(xù)的一個(gè)函數(shù)f1(t)加上au(t-t0)a=+tt0t0t0ttf(t)f1(t)au(t-t0)例

求方波的傅氏變換t/2-t/2Etf(t)t/2-t/2Etf'(t)-E推導(dǎo)過(guò)程為

求如圖所示的頻譜函數(shù)t/2-t/2AOtf(t)t/2-t/2aOtf'(t)t/2-t/2aOtf''(t)a-2a-a因此有習(xí)題二,2.(1)tOf(t)1-1tOf'(t)1-12-2f(t)的二階導(dǎo)和三階導(dǎo)如下圖:tOf''(t)1-12-2tOf'''(t)1-12-2因此有習(xí)題二2.(2)習(xí)題二2.(3)-1-111f(t)tO-121f'(t)tO-1-1因此習(xí)題二

3.(1)f(t)=e-b|t|(b>0)

令

g(t)=u(t)e-bt,則

f(t)=g(t)+g(-t)tg(t)tg(-t)tf(t)OOO因此有習(xí)題二

3.(2)f(t)=e-|t|cost習(xí)題二3.(3)習(xí)題二4題習(xí)題二5.

F(w)=p[d(w+w0)+d(w-w0)]習(xí)題二6f(t)=sgnt1-1tf(t)2tf