(4.2.1)-4.2根軌跡繪制的基本法則學(xué)習(xí)資料

根軌跡繪制的基本法則4.2根軌跡繪制的基本法則4.2.1繪制根軌跡的基本法則（法則1-法則3）根軌跡法是通用的方法，可以用于繪制線性多項式中任何參數(shù)的根軌跡。本節(jié)以根軌跡增益K*為參數(shù)歸納出繪制根軌跡的基本法則。4.2根軌跡繪制的基本法則法則2根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)m和有限極點(diǎn)數(shù)n中的大者相等，它們是連續(xù)的并且對稱于實(shí)軸法則1根軌跡起點(diǎn)與終點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)（K*=0時）：是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)處。根軌跡的終點(diǎn)（K*→+∞時）：是開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)（包括m個有限零點(diǎn)和n-m個無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn))。4.2根軌跡繪制的基本法則法則3根軌跡的漸近線K*→+∞時,有n-m條根軌跡分支沿著與正實(shí)軸夾角為,交點(diǎn)為的一組漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處。4.2根軌跡繪制的基本法則法則4根軌跡在實(shí)軸上的分布

實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必為根軌跡也就是：實(shí)軸上的根軌跡在奇數(shù)個零點(diǎn)和極點(diǎn)的左側(cè)。4.2根軌跡繪制的基本法則

4.1.2根軌跡與系統(tǒng)性能例4-2已知三階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為請畫出系統(tǒng)根軌跡的漸近線。解：系統(tǒng)無零點(diǎn)，而有三個開環(huán)極點(diǎn)：p1=0，p2=-3和p3=-4，因此有n-m=3條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)處。漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)為3條漸近線與正實(shí)軸的夾角分別為畫出系統(tǒng)根軌跡的漸近線如圖所示。4.2根軌跡繪制的基本法則法則5根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)（特征方程的重根點(diǎn)）（1）若實(shí)軸兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間有根軌跡:該區(qū)段必有分離點(diǎn);若實(shí)軸兩相鄰開環(huán)零點(diǎn)之

間有根軌跡：該區(qū)段必有會合點(diǎn);（2）在分離點(diǎn)和會合點(diǎn)上，根軌跡切線與正實(shí)軸夾角稱分離角或會合角;（3）分離點(diǎn)或匯合點(diǎn)必有重根：可用重根法求解。4.2根軌跡繪制的基本法則由此，根軌跡的分離點(diǎn)或會合點(diǎn)，重根必然滿足如下關(guān)系：式中，zj是各開環(huán)零點(diǎn)的值，pi各開環(huán)極點(diǎn)的值，分離角為4.2根軌跡繪制的基本法則

例4-3考慮例4-2中的開環(huán)傳遞函數(shù)根據(jù)法則4可知，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡在實(shí)軸上的區(qū)間為（-,-4]和[-3,0]，顯然，點(diǎn)d1=-3.5352在實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間之外，故根軌跡分離點(diǎn)必位于點(diǎn)d2=-1.1315處。4.2根軌跡繪制的基本法則起始角：是指起始于開環(huán)復(fù)極點(diǎn)的根軌跡變化切線與正實(shí)軸的夾角。

法則6根軌跡的起始角和終止角終止角：是指終止于開環(huán)復(fù)零點(diǎn)的根軌跡變化切線與正實(shí)軸的夾角。4.2根軌跡繪制的基本法則例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由對稱性可得：4.2根軌跡繪制的基本法則法則7根軌跡與虛軸的交點(diǎn)例4-5已知開環(huán)傳遞函數(shù)方法1：4.2根軌跡繪制的基本法則方法2：4.2根軌跡繪制的基本法則當(dāng)

n-m2時，開環(huán)極點(diǎn)之和等于閉環(huán)特征方程根之和，即：法則8根之和系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于常數(shù)。隨著K*的增加，一些根軌跡向左移動時，另一些根軌跡必向右移動。4.2根軌跡繪制的基本法則根據(jù)上述繪制根軌跡的基本法則，系統(tǒng)根軌跡的繪制一般可按以下8個步驟進(jìn)行:（1）確定根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)。（2）確定根軌跡的分支數(shù)，對稱性和連續(xù)性。（3）確定根軌跡的漸近線。（4）確定根軌跡在實(shí)軸上的分布。（5）確定根軌跡分離點(diǎn)與分離角。（6）確定根軌跡的起始角和終止角。（7）確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。（8）確定根之和。4.2根軌跡繪制的基本法則（1）根軌跡的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)（2）根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性4.2根軌跡繪制的基本法則（3）根軌跡的漸近線（4）根軌跡在實(shí)軸上的分布4.2根軌跡繪制的基本法則（5）根軌跡的分離點(diǎn)與分離角（6）根軌跡的起始角分離角為直角。