高中數(shù)學(xué)選擇性必修修二第一課時 等比數(shù)列的前n項和公式

1321324.3.2第一課時

等比數(shù)列前n項公式等比數(shù)列前n項公式課標要求1.索并掌握等比數(shù)列的前和公式.2.解等比數(shù)列的通項公式與前和公式的關(guān)系.

素養(yǎng)要求在探索等比數(shù)列的前n項和公式的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng).新知探究在信息技術(shù)高度發(fā)展的今天，人們可以借助手機、計算機等快速地傳遞有關(guān)信息在此背景下，要求每一個人都要不造謠，不信謠，不傳”，否則要依法承擔有關(guān)法律責任.知道這其中的緣由嗎？如圖所示，如果一個人得到某個信息之后，就將這個信息傳給個不同的好友(稱為第1輪傳播，每個好友收到信息后，又都傳給了不同的好友(稱為第2輪傳播)……，依此下去，假設(shè)信息在傳播的過程中都是傳給不同的人，則每一輪傳播后，信息傳播的人數(shù)就構(gòu)成了一個等比數(shù)列問題如果信息按照上述方式共傳播了2輪，那么知曉這個信息的人數(shù)共有多少？提示13＋…＋

20

1321＝＝(3

－1).1/15

n－q1n－q1q1nn1nnnnn－q1n－q1q1nn1nnnnnnn.(×)n1nnn11qnn1.等比數(shù)列的前n項和公式應(yīng)用公式求和，首先要判斷公比是否為1，再選擇公式已知量公式

首項、公比和項數(shù)，q1S＝－），≠1

首項、末項和公比，q1S＝anq，≠12.等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征a1當公比q1，設(shè)A＝，等比數(shù)列的前項和公式是＝(n－1).S是的指數(shù)型函數(shù).當公比q1，因為a≠，所以＝，S是的正比例函數(shù).3.錯位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和的方法叫錯位相減法；該方法一般適用于求一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項積的前n和，即若{}公差d≠0的等差數(shù)列，{}公比q≠1的等比數(shù)列，求數(shù)列{bc}前n項和時，可以用這種方法.拓展深化[判斷]1.求等比數(shù)列的前n項和可以直接套用公式＝

a11qn1－q提示當q1，＝.2.等比數(shù)列的前n項和不可以為0×)提示可以為0比如，－，，－，1－和.3.數(shù)列{a}前n項和S＝＋b(a≠0，a≠，則數(shù)列{}定是等比數(shù)列(×)a11qna1a1提示由于等比數(shù)列的前n項和為＝＝－q.以發(fā)現(xiàn)b－1時，數(shù)列{}等比數(shù)4.求數(shù)列{[訓(xùn)練]

n

}前n項和可用錯位相減法.√)2/15

8n1410282102102129102nn23696138918n1410282102102129102nn2369613891nnn1n2243192111.在等比數(shù)列{}，若a＝，a＝，該數(shù)列的前項和＝()－

1

－

129C.2－

1

D.2－

12111111解析易知公比q，則＝＝－1答案B2.設(shè)等比數(shù)列{}前項和為S，若＋＝S，則公比q＝)或－1C.－1

B.11D.解析由S＋S＝得＝S－S，即aa＋＝＋a＋a＝(a＋＋，則q6＝1q答案A[思考]1.若等比數(shù)列{}公比q不為1，其前n項和為＝Aq

＋B，則與B有什么關(guān)系？提示A－.2.等比數(shù)列{a}前n項和公式中涉a，a，，S，五個量，已知幾個量方可以求其它量？提示三個.題型一等比數(shù)列前n和公式的直接應(yīng)用【例1

求下列等比數(shù)列前8的和：1(1)，，，…；1a＝27，a＝，q<0.解

1(1)為a＝，＝，3/15

21256822432431931q81881∴S＝10010078824n21256822432431931q81881∴S＝10010078824n144541255所以S＝＝.11由a＝27a＝，可得＝27·q

8

.1又由q，可得q－，a1a8qa9所以S＝＝＝q1

127243640＝1813

.規(guī)律方法

求等比數(shù)列的前n項和，要確定首項，公比或首項、末項、公比，應(yīng)注意公比q1是否成立【訓(xùn)練1

求數(shù)列{－n＋

}前00的和；777在1與之間插入n個數(shù)，組成所有項的和為的等比數(shù)列，求此數(shù)列的項數(shù)解

(1)法一

a＝(－

3

＝－1q－1[1－1100]1（1

＝0.法二數(shù)列{－1)}－11－，，…，∴S＝50×－1＝0.設(shè)此數(shù)列的公比為q易知q≠1)1則7解得1477＝，8

故此數(shù)列共有5項.，題型二等比數(shù)列前n和公式的綜合應(yīng)用【例2

5已知一個等比數(shù)列{}a＋＝，＋＝，求a和.a1q210解設(shè)等比數(shù)列的公比為q則a1q54/15

4132141252nn3131q1122n23n3234132141252nn3131q1122n23n323q21q1q1180154n1q2，即1q2＝.

②

①∵a≠01q

2

≠0②①得q

3

1＝81∴q，∴a＝8∴a＝×，31∴S＝＝.1【遷移1

設(shè)數(shù)列{}等比數(shù)列，其前n項和為，且＝，求此數(shù)列的公比q.解

當q1，＝＝，符合題目條當q≠1時，

a11q3＝3aq

2

.因為a≠0所以1qq23qq2q1，1解得q－.1所以此數(shù)列的公比q－.【遷移2

在等比數(shù)列{}，S＝30，＝，求S解

若q1則∶S＝∶，而事實上，S∶＝∶，故q≠1.所以

30a11q3155②

①1q兩式作比，得＝，q315解得或515n從而S＝＝(5

－1)5/15

111801511n6nn1q1n11qnn＋2n111801511n6nn1q1n11qnn＋2nn1n5nnm1nnnnnn1（25na11qm5566或S＝＝1規(guī)律方法等比數(shù)列前n項和公式的運算應(yīng)用等比數(shù)列的前項和公式時，首先要對公比＝或≠進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論.當q＝1時，等比數(shù)列是常數(shù)列，所以＝na；當≠1時，等比數(shù)列的前和Sa11qn有兩個公式.已知，與時，用S＝比較方便；當已知，q與

na1anq時，用S＝比較方便【

訓(xùn)

練

2

】等比數(shù)列{}前n項和為，公比≠1.若a＝1，且對任意的n∈N*都有a＋a＝2a，則＝()A.12B.20C.11已知是等比數(shù)列{}前n項和，若存在m∈N*，滿足1＝，則數(shù)列{}公比為()－2B.2C.－3D.3

＝9，

a2mam解析a＋＝2等價于a＋aq2a＋＋因a≠0故q2q20即(qq＝0.1×[1（25]因為q1所以q－，故＝＝，故選C.設(shè)數(shù)列{}比為q若q1則＝2與題中條件矛盾，故1.a11q2m∵＝＝q

＋19∴q

＝8.1q6/15

a1qm11amnnnnnnn11n123123nnnnnna1qm11amnnnnnnn11n123123nnnnnnnnnnn1nnnnnnnna2ma1q2m∵＝＝＝8，∴m3∴q

3

＝8∴q2.答案(2)B題型三等比數(shù)列前n和公式的函數(shù)特征應(yīng)用【

例

3

】數(shù)列{}前n項和＝3n－2.求{a}通項公式，并判斷{a}否是等比數(shù)列.解

當n≥2時，a＝－S＝n－n－2)2·3n1－

.當n1，＝＝3121適合上式.，∴a2×3n1n≥2.法一由于a＝1a＝，＝18顯然，a，a，不是等比數(shù)列，即{}等比數(shù)列.法二由等比數(shù)列{}比≠1的前項和＝An足的條件為A－，對比可知S＝n22－1故{}等比數(shù).＝1，規(guī)律方法已知S，通過－1n≥2S－S.－

求通項a，應(yīng)特別注意n2時，a＝若數(shù)列{}前n項和＝q

n

－1)，其中≠0，q≠0且q≠1，則{a}等比數(shù)列【訓(xùn)練3

若{}等比數(shù)列，且前n項和為＝3

1

＋，則t________.解析顯然q1此時應(yīng)有S＝A(q－1)1又S＝×3＋t∴t＝－.3答案－

13題型四利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和【例4

求和：S＝x＋2

＋3x3

＋…＋nxn

≠0).7/15

nnnn112n）2n12xnnn2n2222nn22232n12n22222nnnnnnn112n）2n12xnnn2n2222nn22232n12n22222nnn2n2n2n21n22n12nn1n解

當x1，S＝23…＋n

nn）；2當x≠1時，S＝＋2x2＋…nxS＝x22＋3x4…(nxnn1∴(1＝＋

＋x3

＋…＋xn

－n1＝

x1xn－nxn1

，x1xn）∴S＝－x1綜上可得，Sx1xn－x≠1x≠0.規(guī)律方法一般地，如果數(shù)列{}等差數(shù)列，{}公比不為1等比數(shù)列，求數(shù)列{}前n項和時，可采用錯位相減法.【訓(xùn)練4

求數(shù)列項和解

12設(shè)S＝＋＋…＋，1n1則有S＝＋＋…＋＋，2n111兩式相減，得S－＝＋＋＋…＋－

n2n

，112nn即S＝－＝－－1

.1n∴S＝2－＝－n∈N

*).一、素養(yǎng)落地1.通過學(xué)習等比數(shù)列前n項和公式及其應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運算和輯推理素養(yǎng)2.在等比數(shù)列的通項公式和前項和公式中，共涉及五個量：，，nq，S，其中8/15

1(54145a2nn2qa2q4422n36n12a315n1n12n1(54145a2nn2qa2q4422n36n12a315n1n12nn13331首項a和公比q為基本量，且“知三求二”.3.前n項和公式的應(yīng)用中，注意前項和公式要分類討論，即當≠和q＝1時不同的公式形式，不可忽略q1的情況.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.數(shù)列1，5，55，4，…的前10項和()1

510

)

B.

14

(5101

)C.

14

(－1

1D.

(5111)1510解析S＝＝1010

－1).答案B2.設(shè)等比數(shù)列{}公比q＝2，前n項為，則等于()A.2

B.4C.

152

17D.解析

a21由等比數(shù)列的定義，S＝＋a＋a＋＝＋a＋aqq2得＝＋1＋q

2

15＝答案C3.等比數(shù)列{a}，a＝，＝64，則{a}前5項的和是________.解析∵q

3

a6）＝＝，∴q2從而a＝2.∴＝＝答案624.已知等比數(shù)列{a}，a＝，q＝2，前n項和＝，則n＝________.212n解析S＝＝126即n128故n1，＝6.答案65.在等比數(shù)列{}，a＝，S＝，求和q.解

由題意，得若q，則S＝3a＝，符合題9/15

31q3333nn21（12nn1331q3333nn21（12n12342n3此時，q1＝a＝2.若q≠1則由等比數(shù)列的前n項和公式，a11q31q3得S＝＝＝，解得q－此時，a＝a22×－2)＝8.綜上所述，q12q－2＝8.基礎(chǔ)達標一、選擇題1.設(shè)數(shù)列{－1)}前n項和，則等于()n[

（1n1]2

B.

（1n112C.

（1n12

（1n1D.（1[1（1n]（1n解析S＝＝答案D2.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{}，首項a＝3，前3項和為21，則a＋＋等于()A.33C.84

B.72D.189解析由S＝＋＋q

2

＝21a＝3得q

2

＋q6∵，∴q2.∴a＋a＋＝2(a＋＋＝q2＝22×＝答案C3.等比數(shù)列{a}，aa＝，＝，則＋a＋a＋…＋a＝()1

B.

4n13C.

1－（4n3

1－（nD.10/15

12422.nn3n3n3411311nnnnn36an81681q1nan212422.nn3n3n3411311nnnnn36an81681q1nan2116244nn368n1解析

由aa＝1得＝，又a＝4故2＝，＋＋＋a＝

14n14

＝4n13答案B4.已知等比數(shù)列{a}前n項和為，－＝78，＝，設(shè)b＝log，那么數(shù)列{}的前10項和為)A.log

B.

692C.50

解析由－＝78得(

3

－1)78又＝a＋＋2

)＝39解得＝＝，故a＝3b＝n所以數(shù){}10和為答案D5.已知{a}首項為1的等比數(shù)列，是其前n項和，且9＝S，則數(shù)列的前5項和等于)

15或5

31B.或C.

3116

15D.91q3解析設(shè)數(shù)列{}比為，顯然≠，由已知得＝，解得q2∴數(shù)列首項，為公比的等比數(shù)列，前和為

31＝.1答案C二、填空題7636.等比數(shù)列{a}各項均為實數(shù)，其前n和為，已知S＝，S＝，則＝________.解析由題意設(shè)數(shù)列{}項為a，公比(q1)11/15

a11q31q41q448n＋1nnnn1na11q31q41q448n＋1nnnn1nnn11n13nnnt12213321tn44tnn221nn則

＝解得a11q663＝，

，1所以a＝a7×232.答案327.已知正項數(shù)列{a}足a

1

－6a＝aa若＝2，則數(shù)列{}前n項和＝________.解析∵a－a，＋∴a－)(a＋)＝0.＋＋∵a>0∴a＝3a＋又a＝2∴{}項為2公比3等比數(shù)列，213n∴S＝＝

n

－1.答案3n－18.若等比數(shù)列{}前項和為S＝解析法一a＝S＋t，a＝S－S＝3，a＝－＝m則a2a，所以9mmt)，m即m－4，故＝－4.

n－

m＋t(其中m，t是常數(shù))，則＝法二S＝

n

1t·4

n

＋t，1因為{}比數(shù)列，故＝－t，則＝－答案－4三、解答題9.在等比數(shù)列{}，a－＝2，且2a為和a的等差中項，求數(shù)列{}首項、公比及前n和.解

設(shè)數(shù)列{}比q≠12/15

11132nnnnn23nnnnn1n11113123111132nnnnn23nnnnn1n111131231nnnn1nnnnnnnna12由已知可得3a1a1q2所以

q124q3，

①②解②得q3＝由于aq＝，因此q1合題意，應(yīng)舍去故公比q3首項＝1.a11qn1×3n所以數(shù)列{}nS＝＝＝(n∈q1

*

10.已知數(shù)列{}前項和為，數(shù)列差為的等差數(shù)列，且＝3a＝5.求數(shù)列{}通項公式；設(shè)b＝a·3

n

，求數(shù)列{}前n項和T.解

(1)列

1等差數(shù)列，∴

n

＝a＋n1可得S＝(a＋－，a＋a＝2(a＋，a＋＋＝a＋2)且a＝3a＝5.得a＝1.∴＝n.∴n≥2時，a＝S－S＝－

2

－n1)2

＝2n＝1也成立)∴a＝2n1.b＝a·3nn1)·3n∴數(shù)列{}項T＝＋×3

＋5×3

3

…＋(2n1)×3

n

，∴3T＝3

＋3×3

3

＋…－×3

n

＋(2n

n

，T32(333n1)×3

×

93n）31

(21)×3n1可得T＝＋(－1)×3n.能力提升13/15

n11n…nn1nnnn11n…nn1nnnnnn＋1nnnnnnnnn1nn12221nnnn4n1nn12n3nn320214202032021數(shù)列a，－，a－a，…，a－a，…是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，那么an

＝________.解析a－a＝a－

n12

n

，即

a2a1，a3a222anan2n1.各式相加得a－a＝2…＋21n2故a＝a＋n22－1(n∈*答案2

n

－112.已知數(shù)列{}前項和為，＝t，點(S，a)在直線y＝3＋1上.當實數(shù)t為何值時，數(shù)列{}等比數(shù)列？在(的結(jié)