高等代數(shù)北大版教案-第6章線性空間

第六章線性空間1會(huì)合照射講課內(nèi)容:§1會(huì)合照射二教課目標(biāo):經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握會(huì)合照射的有關(guān)定義、運(yùn)算,乞降號(hào)與乘積號(hào)的定義.三教課要點(diǎn):會(huì)合照射的有關(guān)定義.四教課難點(diǎn):會(huì)合照射的有關(guān)定義.五教課過(guò)程:會(huì)合的運(yùn)算,會(huì)合的照射(像與原像、單射、滿射、雙射)的觀點(diǎn)定義:(會(huì)合的交、并、差)設(shè)S是會(huì)合,A與B的公共元素所組成的會(huì)合成為A與B的交集,記作AB；把A和B中的元素歸并在一同組成的會(huì)合成為A與B的并集,記做AB；從會(huì)合A中去掉屬于B的那些元素今后剩下的元素組成的會(huì)合成為A與B的差集,記做AB.定義:(會(huì)合的照射)設(shè)A、B為會(huì)合.假如存在法例f,使得A中隨意元素a在法例f下對(duì)應(yīng)B中唯一確立的元素(記做f(a)),則稱f是A到B的一個(gè)照射,記為f:AB,af(a).假如f(a)bB,則b稱為a在f下的像,a稱為b在f下的原像.A的全部元素在f下的像組成的B的子集稱為A在f下的像,記做f(A),即f(A)f(a)|aA.若aa'A,都有f(a)f(a'),則稱f為單射.若bB,都存在A,使得f(a)b,則稱f為滿射.假如f既是單射又是滿射,則稱f為雙射,或稱一一對(duì)應(yīng).乞降號(hào)與求積號(hào)乞降號(hào)與乘積號(hào)的定義為了把加法和乘法表達(dá)得更精練,我們引進(jìn)乞降號(hào)和乘積號(hào).設(shè)給定某個(gè)數(shù)域K上n個(gè)數(shù)a1,a2,,an,我們使用以下記號(hào):·６０·nna1a2anai,a1a2anai.i1i1自然也能夠?qū)懗蒩1a2anai,a1a2anai.1in1in乞降號(hào)的性質(zhì)簡(jiǎn)單證明,nnnnnnmmnaiai,(aibi)aibi,aijaij.i1i1i1i1i1i1j1j1i1事實(shí)上,最后一條性質(zhì)的證明只需要把各個(gè)元素排成以下形狀:a11a12a1ma21a22a2man1an2anm分別先按行和列乞降,再求總和即可.2線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)講課內(nèi)容：§2線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)二教課目標(biāo)：經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì).三教課要點(diǎn)：線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì).四教課難點(diǎn)：線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì).五教課過(guò)程：線性空間的定義定義4.1(線性空間)設(shè)V是一個(gè)非空會(huì)合,且V上有一個(gè)二元運(yùn)算“+”(VVV),又設(shè)K為數(shù)域,V中的元素與K中的元素有運(yùn)算數(shù)目·６１·乘法“?”(KVV),且“+”與“?”知足以下性質(zhì):1、加法互換律,V,有；2、加法聯(lián)合律,,V,有()()；3、存在“零元”,即存在0V,使得V,0；4、存在負(fù)元,即V,存在V,使得0；5、“1律”1?；6、數(shù)乘聯(lián)合律k,lK,V,都有(kl)k(l)l(k)；7、分派律k,lK,V,都有(kl)kl；8、分派律kK,,V,都有k()kk,則稱V為K上的一個(gè)線性空間,我們把線性空間中的元素稱為向量.注意:線性空間依靠于“+”和“?”的定義,不只與會(huì)合V有關(guān).零向量和負(fù)向量的唯一性,向量減法的定義,線性空間的加法和數(shù)乘運(yùn)算與平時(shí)數(shù)的加、乘法近似的性質(zhì)命題4.1零元素唯一,隨意元素的負(fù)元素唯一.證明:設(shè)0與0'均是零元素,則由零元素的性質(zhì),有00'00'；V,設(shè),'都是的負(fù)向量,則0(')'( )0,于是命題得證.因?yàn)樨?fù)向量唯一,我們用代表的負(fù)向量.定義4.2(減法)我們定義二元運(yùn)算減法“-”以下:定義為().命題4.2線性空間中的加法和數(shù)乘知足以下性質(zhì):1、加法知足消去律；2、可移項(xiàng)；3、能夠消因子k且k0,則1；k4、0?0,k?00,(1).線性空間的例子·６２·例4.1令V表示在(a,b)上可微的函數(shù)所組成的會(huì)合,令K?,V中加法的定義就是函數(shù)的加法,對(duì)于K的數(shù)乘就是實(shí)數(shù)遇函數(shù)的乘法,V組成K上的線性空間.4.1.2線性空間中線性組合和線性表出的定義,向量組的線性有關(guān)與線性沒(méi)關(guān)的定義以及等價(jià)表述,向量組的秩,向量組的線性等價(jià)；極大線性沒(méi)關(guān)組.定義4.3(線性組合)給定V內(nèi)一個(gè)向量組1,2,L,s,又給定數(shù)域K內(nèi)s個(gè)數(shù)k1,k2,L,ks,稱k11k22Lkss為向量組1,2,L,s的一個(gè)線性組合.定義4.4(線性表出)給定V內(nèi)一個(gè)向量組1,2,L,s,設(shè)是V內(nèi)的一個(gè)向量,假如存在K內(nèi)s個(gè)數(shù)k1,k2,L,ks,使得k11k22Lkss,則稱向量能夠被向量組1,2,L,s線性表出.定義4.5(向量組的線性有關(guān)與線性沒(méi)關(guān))給定V內(nèi)一個(gè)向量組1,2,L,s,假如對(duì)V內(nèi)某一個(gè)向量,存在數(shù)域K內(nèi)不全為零的數(shù)k1,k2,L,ks,使得k11k22Lkss0,則稱向量組1,2,L,s線性相關(guān)；若由方程k11k22Lkss0必然推出k1k2Lks0,則稱向量組1,2,L,s線性沒(méi)關(guān).命題4.3設(shè)1,2,LsV,則下述兩條等價(jià):1)1,2,Ls線性有關(guān)；某個(gè)i可被其他向量線性表示.證明同向量空間.定義4.6(線性等價(jià))給定V內(nèi)兩個(gè)向量組1,2,L,r1,2,L,s

(Ⅰ),(Ⅱ),假如(Ⅰ)中任一直量都能被(Ⅱ)線性表示,反過(guò)來(lái),(Ⅱ)中任一直量都能被(Ⅰ)線性表示,則稱兩向量組線性等價(jià).定義4.7(極大線性沒(méi)關(guān)部分組)給定V內(nèi)一個(gè)向量組1,2,L,s,如·６３·果它有一個(gè)部分組i1,i2,L,ir知足以下條件:、i1,i2,L,ir線性沒(méi)關(guān)；(ii)、原向量組中任一直量都能被i1,i2,L,ir線性表示,則稱此部分組為原向量組的一個(gè)極大線性沒(méi)關(guān)部分組.因?yàn)樵谙蛄靠臻g中我們證明的對(duì)于線性表示和線性等價(jià)的一些命題中并沒(méi)實(shí)用到Kn的一些獨(dú)有的性質(zhì),于是那些命題在線性空間中依舊成立.定義4.8(向量組的秩)一個(gè)向量組的任一極大線性沒(méi)關(guān)部分組中均包括同樣數(shù)目的向量,其向量數(shù)目成為該向量組的秩.例4.2求證:向量組e1x,e2x的秩等于2(此中12).證明:方法一:設(shè)k1,k2∈R,知足k1e1xk2e2x0,則k1e1xk2e2x,假若k1,k2不全為零,不如設(shè)k10,則有e(12)xk2,而因?yàn)?2,等號(hào)左k1邊為嚴(yán)格單一函數(shù),矛盾于等號(hào)右側(cè)為常數(shù).于是k1k20.因此e1x,e2x線性沒(méi)關(guān),向量組的秩等于2.證畢.方法二:若在(a,b)上k1e1xk2e2x0,兩頭求導(dǎo)數(shù),得k11e1xk22e2x0,以xc(a,b)代入,有k1e1ck2e2c0,k11e1ck22e2c0.而e1ce2ce(12)c(21)0,1e2c2e2c于是k1k20.證畢.·６４·§3維數(shù)、基與坐標(biāo)一講課內(nèi)容:二教課目標(biāo):

§3維數(shù)、基與坐標(biāo)經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間的基與維數(shù),向量的坐標(biāo)的有關(guān)定義及性質(zhì).三教課要點(diǎn):基與維數(shù)、向量坐標(biāo)的有關(guān)定義.四教課難點(diǎn):基與維數(shù)、向量坐標(biāo)的有關(guān)定義.五教課過(guò)程:線性空間的基與維數(shù),向量的坐標(biāo)設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間,則有:定義4.9(基和維數(shù))假如在V中存在n個(gè)向量1,2,L,n,知足:1)1,2,L,n線性沒(méi)關(guān)；2)V中任一直量在K上可表成1,2,L,n的線性組合,則稱1,2,L,n為V的一組基.基即是V的一個(gè)極大線性沒(méi)關(guān)部分組.基的個(gè)數(shù)定義為線性空間的維數(shù).命題4.4設(shè)V是數(shù)域K上的n維線性空間,而1,2,L,nV.若V中任一直量皆可被1,2,L,n線性表出,則1,2,L,n是V的一組基.證明:由1,2,L,n與V的一組基線性等價(jià)能夠推出它們的秩相等.命題4.5設(shè)V為K上的n維線性空間,1,2,L,nV,則下述兩條等價(jià):1)1,2,L,n線性沒(méi)關(guān)；2)V中任一直量可被1,2,L,n線性表出.定義4.10(向量的坐標(biāo))設(shè)V為K上的n維線性空間,1,2,L,n是它的一組基.任給V,由命題4.4,可唯一表示為1,2,L,n的線性組合,即!aiK,(i1,2,L,n),使得a11a22Lann,于是我們稱a1,a2,L,an為在基1,2,L,n下的坐標(biāo).易見(jiàn),在某組基下的坐標(biāo)與V/K中的向量是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.·６５·§4基變換與坐標(biāo)變換一講課內(nèi)容:二教課目標(biāo):

§4基變換與坐標(biāo)變換經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握基變換與過(guò)渡矩陣的定義、運(yùn)算,坐標(biāo)變換公式.三教課要點(diǎn):基變換與過(guò)渡矩陣的定義、運(yùn)算,坐標(biāo)變換公式.四教課難點(diǎn):坐標(biāo)變換公式的應(yīng)用.五教課過(guò)程:線性空間的基變換,基的過(guò)渡矩陣設(shè)V/K是n維線性空間,設(shè)1,2,L,n和1,2,L,n是兩組基,且1t111t212Ltn1n,2t121t222Ltn2n,LLLLLLLLLLLnt1n1t2n2Ltnnn.將其寫成矩陣形式t11t12Lt1n(1,2,L,n)(1,2,L,n)t21t22Lt2n.MMMtn1tn2Ltnn定義4.11我們稱矩陣t11t12Lt1nTt21t22Lt2nMMMtn1tn2Ltnn為從1,2,L,n到1,2,L,n的過(guò)渡矩陣.命題4.6設(shè)在n維線性空間V/K中給定一組基1,2,L,n.T是K上一個(gè)n階方陣.命(1,2,L,n)(1,2,L,n)T.·６６·則有1,2,L,n是V/K的一組基,當(dāng)且僅當(dāng)T可逆.證明:若1,2,L,n是線性空間V/K的一組基,則1,2,L,n線性沒(méi)關(guān).察看同構(gòu)照射:VKn,在1,2,,n下的坐標(biāo),結(jié)構(gòu)方程k1(1)k2(2)Lkn(n)0,此中kiK,(i1,2,L,n),(k11k22Lknn)0k11k22Lknn0,k1k2Lkn0(1),(2),L,(n)線性沒(méi)關(guān).(1),(2),L,(n)組成了過(guò)渡矩陣的列向量,因此過(guò)渡矩陣可逆；反過(guò)來(lái),若過(guò)渡矩陣可逆,則結(jié)構(gòu)方程k11k22Lknn0,此中kiK,(i1,2,L,n),兩邊用作用,獲得k1(1)k2(2)Lkn(n)0,k1k2Lkn0.證畢.向量的坐標(biāo)變換公式；Kn中的兩組基的過(guò)渡矩陣向量的坐標(biāo)變換公式設(shè)V/K有兩組基為1,2,L,n和1,2,L,n,又設(shè)在1,2,L,n下的坐標(biāo)為a1,a2,L,an,即a1(1,2,L,n)a2,Man在1,2,L,n下的坐標(biāo)為(b1,b2,L,bn),即b1(1,2,L,n)b2.Mbn現(xiàn)在設(shè)兩組基之間的過(guò)渡矩陣為T,即(1,2,L,n)(1,2,L,n)T.記·６７·a1b1Xa2,Yb2,MManbn于是(1,2,L,n)X(1,2,L,n)Y[(1,2,L,n)T]Y(1,2,L,n)(TY).于是,由坐標(biāo)的唯一性,能夠知道XTY,這就是坐標(biāo)變換公式.Kn中兩組基的過(guò)渡矩陣的求法我們?cè)O(shè)Kn中兩組基分別為12LLn

L,a1n),1(b11,b12,L,b1n),(a11,a12,(a21,a22,L,a2n),和2(b21,b22,L,b2n),LLLLLLLLLLLLLL(an1,an2,L,ann).n(bn1,bn2,L,bnn).而(1,2,L,n)(1,2,L,n)T.按定義,T的第i個(gè)列向量分別是i在基1,2,L,n下的坐標(biāo).將1,2,L,n和1,2,L,n看作列向量分別排成矩陣a11a12La1nb11b12Lb1nAa21a22La2n；Bb21b22Lb2n,MMMMMMan1an2Lannbn1bn2Lbnn則有BAT,將A和B拼成n2n分塊矩陣A|B,利用初等行變換將左側(cè)矩陣A化為單位矩陣E,則右側(cè)出來(lái)的就是過(guò)渡矩陣T,表示以下:(A|B)行初等變換(E|T).·６８·§5線性子空間一講課內(nèi)容:二教課目標(biāo):三教課要點(diǎn):

§5線性子空間經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性子空間的定義、鑒別定理.線性子空間的定義、鑒別定理.四教課難點(diǎn):線性子空間的鑒別定理.五教課過(guò)程:線性空間的子空間的定義定義4.12(子空間)設(shè)V是數(shù)域K上的一個(gè)線性空間,M時(shí)V的一個(gè)非空子集.假如M對(duì)于V內(nèi)的加法與數(shù)乘運(yùn)算也組成數(shù)域K上的一個(gè)線性空間,則稱為V的一個(gè)子空間.命題4.7設(shè)V是K上的線性空間,又設(shè)一個(gè)非空會(huì)合WV,則W是子空間當(dāng)且僅當(dāng)下述兩條建立:W對(duì)減法關(guān)閉；ii)W對(duì)于K中元素作數(shù)乘關(guān)閉.證明:必需性由定義直接得出；充分性:各運(yùn)算律在V中已有,因此W知足運(yùn)算律的條件.只需要證明0W且對(duì)于隨意W,W,且對(duì)加法關(guān)閉即可.事實(shí)上,因?yàn)閃對(duì)于數(shù)乘關(guān)閉,則0?0W；(1)?W,于是對(duì)于,W,( )W,W對(duì)于加法關(guān)閉.于是W是V的一個(gè)子空間.證畢.事實(shí)上,W對(duì)于加法和數(shù)乘關(guān)閉也能夠得出上述結(jié)論.命題4.8設(shè)W是V的一個(gè)有限維子空間,則W的任一組基能夠擴(kuò)大為V的一組基.證明:設(shè)dimVn,dimWr,(rn),若rn,則命題為真；若rn,對(duì)nr作概括:設(shè)1,2,L,r為W的一組基,取r1VW,則L線性沒(méi)關(guān).于是令W'{kr1|W,kK},易1,2,,r,r1見(jiàn),W’是V的一個(gè)子空間,且dimW'r1,此時(shí)ndimW'nr1,對(duì)其用概括假定即可.·６９·6子空間的交與和講課內(nèi)容:§6子空間的交與和二教課目標(biāo):經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握子空間的交與和的定義、性質(zhì)及維數(shù)公式.三教課要點(diǎn):子空間的交與和的定義及維數(shù)公式.四教課難點(diǎn):子空間的交與和的性質(zhì)及維數(shù)公式..五教課過(guò)程:子空間的交與和,生成元集定義4.13設(shè)1,2,L,tV,則k11k22Lktt|kiK,i1,2,L,t是V的一個(gè)子空間,稱為由1,2,L,t生成的子空間,記為L(zhǎng)(1,2,L,t).易見(jiàn),生成的子空間的維數(shù)等于1,2,L,t的秩.定義4.14(子空間的交與和)設(shè)V1,V2為線性空間V/K的子空間,定義V1IV2{vV1且vV2},稱為子空間的交；V1V2{v1v2|v1V1,v2V2},稱為子空間的和.命題4.9V1IV2和V1V2都是V的子空間.證明:由命題4.7,只需要證明V1IV2和V1V2對(duì)于加法與數(shù)乘關(guān)閉即可.事實(shí)上,,V1IV2,則,V1,,V2.因?yàn)閂1,V2均是V的子空間,則V1,V2,于是V1IV2,V1IV2對(duì)于加法關(guān)閉；V1IV2,kK,kvV1,kvV2,于是kvV1IV2,V1IV2對(duì)于數(shù)乘封閉.,V1V2,則由V1V2的定義,1,1V1,2,2V2,使得12,12,而11V1,22V2,則(12)(12)(11)(22)V1V2,V1V2對(duì)于加法關(guān)閉；V1V2,kK,1V1,2V2,使得12,因?yàn)閗1V1,k2V2,則kk(12)k1k2V1V2,V1V2對(duì)于·７０·數(shù)乘關(guān)閉.證畢.命題4.10設(shè)V1,V2,L,Vm是V的子空間,則V1IV2ILIVm和V1V2LVm均為V的子空間.維數(shù)公式.定理4.1設(shè)V為有限維線性空間,V1,V2為子空間,則dim(V1V2)dimV1dimV2dim(V1IV2).這個(gè)定理中的公式被稱為維數(shù)公式.證明:設(shè)dimV1s,dimV2t,dim(V1V2)n,dim(V1IV2)r,取V1IV2的一組基1,2,L,r(若V1IV2=0,則r0,基為空集),將此基分別擴(kuò)大為V1,V2的基1,2,L,r,1,2,L,sr,1,2,L,r,1,2,L,tr,只需要證明1,2,L,r,1,2,L,sr,1,2,L,tr是V1V2的一組基即可.首先,易見(jiàn)V1V2中的任一直量都能夠被1,2,L,r,1,2,L,sr,1,2,L,tr線性表出.事實(shí)上,V1V2,則12,此中1V1,2V2,而1k11k22Lkrrkr11kr22Lkssr,2l11l22Llrrlr11lr22Llttr.ki,ljK于是12可被1,2,L,r,1,2,L,lr,1,2,L,tr線性表出.只需再證明向量組1,2,L,r,1,2,L,lr,1,L,tr線性沒(méi)關(guān)即可.2,設(shè)k11k22Lkrra11a22Lasrsrb11b22Lbtrtr0,此中ki,aj,bhK.則k11k22Lkrra11a22Lasrsrb11b22Lbtrtr(*)于是k11k22Lkrra11a22LasrsrV1,b11b22LbtrtrV2,·７１·于是k11k22Lkrra11a22LasrsrV1IV2,記為.則可被1,2,L,r線性表示,設(shè)h11h22Lhrr,代入(*),有h11h22Lhrrb11b22Lbtrtr0,因?yàn)?,2,L,r,1,2,L,tr是V的一組基,因此線性沒(méi)關(guān),則2h1h2Lhrb1b2Lbtr0,代回(*),又有k1k2Lkra1a2Lasr0,于是向量組1,2L2,L,sr,1,2,L,tr線性沒(méi)關(guān).證畢.,,r,1,推論2.1設(shè)V1,V2,L,Vt都是有限為線性空間V的子空間,則:dim(V1V2LVt)dimV1dimV2LdimVt.證明:對(duì)t作概括.7子空間的直和講課內(nèi)容:§7子空間的直和二教課目標(biāo):經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握子空間的直和與補(bǔ)空間的定義及性質(zhì).三教課要點(diǎn):子空間的直和的四個(gè)等價(jià)定義.四教課難點(diǎn):子空間的直和的四個(gè)等價(jià)定義.五教課過(guò)程:子空間的直和與直和的四個(gè)等價(jià)定義定義設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間,V1,V2,L,Vm是V的有限為子空間.m若對(duì)于Vi中任一直量,表達(dá)式i112Lm,iVi,i1,2,L,m.·７２·m是唯一的,則稱Vi為直和,記為i1mV1V2LVm或Vi.i1定理設(shè)V1,V2,L,Vm為數(shù)域K上的線性空間V上的有限為子空間,則下述四條等價(jià):V1V2LVm是直和；零向量表示法唯一；3)ViI(V1L?LVm){0},i1,2,L,m；Vi4)dim(V1V2LVm)dimV1dimV2LdimVm.證明:1)2)顯然.2)1)設(shè)12Lm12Lm,則(11)(22)L(mm)0.由2)知,零向量的表示法唯一,于是i,i1,2,L,m,即的表示法唯一.由直和的定義可知,V1V2LVm是直和.2)3)假如存在某個(gè)i,1im,使得ViI(V1?LVm){0},LVi則存在向量0且VI(VL?LV),于是存在jVj,使得Vi1im1L?iLm.由線性空間的定義,ViI(V1?LVm),LVi則1L()Lm()0,與零向量的表示法唯一矛盾,于是ViI(V1L?LVm){0},i1,2,L,m.Vi2)若2)不真,則有01LiLm,此中jVj(j1,2,L,m)且i0.于是i1L?iLmViI(V1?LVm),LVi·７３·與3)矛盾,于是2)建立.4)對(duì)m作概括.①m=2時(shí),由維數(shù)公式獲得dim(V1V2)dimV1dimV2dim(V1IV2)dimV1dimV2.②設(shè)m1(m3)已證,則對(duì)于m,dim(V1而i,1iVi

V2LVm)dimVmdimVm1,都有垐I(V1LViL

dim(V1dim(V1Vm1)

V2LVm1)dim(VmI(V1V2LVm1))V2LVm1),ViI(V1LViLVm){0}；由概括假定,能夠獲得dim(V1V24)3)i,1im,都有

LVm)dimV1dimV2LdimVm.dim(ViI(V1L垐Vm))dim(V)idim(V1LViLVm)dim(V1V2LVm)0,ViL于是ViI(V1LV?iLVm){0},i1,2,L,m.證畢.推論設(shè)V1,V2為V的有限維子空間,則下述四條等價(jià):V1V2是直和；零向量的表示法唯一；iii)V1IV2{0}；iv)dim(V1V2)dimV1dimV2.直和因子的基與直和的基命題設(shè)VV1V2LVm,則V1,V2,L,Vm的基的并集為V的一組基.證明:設(shè)i,i,L,i是Vi的一組基,則V中任一直量可被12rimmU{i1,i2,L,iri}線性表出.又dimVdimVir1r2Lrm,由命題4.5,i1i1它們線性沒(méi)關(guān),于是它們是V的一組基.證畢.補(bǔ)空間的定義及存在性定義設(shè)V1為V的子空間,若子空間V2知足VV1V2,則稱為V1的補(bǔ)·７４·空間.命題有限維線性空間的任一非平庸子空間都有補(bǔ)空間.證明:設(shè)V1為K上的n為線性空間V的非平庸子空間,取V1的一組基1,2,L,r,將其擴(kuò)為V的一組基1,2,L,r,r1,r2,L,n取V2L(r1,r2,L,n),則有VV1V2,且dimV1dimV2ndim(V1V2),于是VV1V2,即V2是V1的補(bǔ)空間.證畢.8線性空間的同構(gòu)講課內(nèi)容:§1線性空間的同構(gòu)二教課目標(biāo):經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間同構(gòu)的有關(guān)定義及線性空間同構(gòu)的判斷.三教課要點(diǎn):線性空間同構(gòu)的判斷.四教課難點(diǎn):線性空間同構(gòu)的判斷.五教課過(guò)程:線性照射的定義定義設(shè)U,V為數(shù)域K上的線性空間,:UV為照射,且知足以下兩個(gè)條件:i)( )( )( ),(,U)；ii)(k)k( ),(U,kK),則稱為(由U到V的)線性照射.由數(shù)域K上的線性空間U到V的線性照射的全體記為Hom(U,V),或K簡(jiǎn)記為Hom(U,V).定義中的i)和ii)二條件可用下述一條取代:(kl)k( )k( ),(,U,k,lK).·７５·例Mmn(K)是K上的線性空間,Msn(K)也是K上線性空間,取定一個(gè)K上的sm矩陣A,定義照射:Mmn(K)Msn(K),xaAX.則是由Mmn(K)到Msn(K)的線性照射.例考慮區(qū)間(a,b)上連續(xù)函數(shù)的全體,它是R上的線性空間,令UL(1,sinx,sin2x,L,sinnx),