2022屆安徽省淮北市相山區(qū)淮北市高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.為了貫徹落實(shí)黨中央精準(zhǔn)扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)繪制如圖，其中各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)不重復(fù).若

該市老年低收入家庭共有900戶(hù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

--UTSS

二YIB*饕幼童

■=->18*左il午七

從土人

A.該市總有15000戶(hù)低收入家庭

B.在該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1800戶(hù)

C.在該市無(wú)業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶(hù)

D.在該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有800戶(hù)

2.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=（a+i）（l—?jiǎng)t實(shí)數(shù)。的值是（）

A.1C.0D.2

3.已知向量示=（九1）,b=（3,m-2）,則，”=3是￡/"的（)

A.充分不必要條件必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

4.設(shè)xeR,則“d<27”是“|x|<3"的(

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.三棱錐S—ABC中，側(cè)棱SA_L底面A3C,Afi=5,BC=S,NB=60°,SA=2下,則該三棱錐的外接球的

表面積為（）

642564362048rr

A.——71B.-----nC.------7VD.-------<3兀

33327

22

6.已知雙曲線(xiàn)C：xy=1（。＞0,人＞0）的右焦點(diǎn)與圓M：（x-2）2+y2=5的圓心重合，且圓加被雙曲

線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為2行，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

A.2B.y/2C.V3D.3

7.已知命題，：任意x1,都有l(wèi)og2xN2；命題力a>b,則有則下列命題為真命題的是()

A.pzqB./?A(-U7)C.(-!〃)△(-1<7)D.(-ip)vq

8.函數(shù)/(x)=sin2x+心inx+3x在儀,上單調(diào)遞減的充要條件是()

63

A.m<-3B.m<-4C.m<-D.m<4

3

9.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足〃l+x)=/(l-x),當(dāng)x?O,l］時(shí)，/(耳=一滑(其中e是自

然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若/(2()20—ln2)=8,則實(shí)數(shù)。的值為()

c11

A.-3B.3C.——D.-

33

10.在AABC中，角A8,C所對(duì)的邊分別為已知。=胃，c=l.當(dāng)a/變化時(shí)，若z=〃+〃存在最大值,

則正數(shù)X的取值范圍為

A.(0,1)B.(0,2)C.(-,2)D.(1,3)

2

11.給定下列四個(gè)命題：

①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)與另一個(gè)平面都平行，則這兩個(gè)平面相互平行：

②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面相互垂直；

③垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)相互平行；

④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線(xiàn)不垂直的直線(xiàn)與另一個(gè)平面也不垂直.

其中，為真命題的是()

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

12.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國(guó)物流與采購(gòu)聯(lián)合會(huì)發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個(gè)月的中國(guó)制

造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

B.12個(gè)月的PMI值的平均值低于50%

C.12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%

D.12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為50.3%

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知非零向量“出的夾角為?，且忖=1,|2￡-q=6,則問(wèn)=.

14.如圖，己知扇形AOB的半徑為1,面積為?，則方.而=.

2一

15.已知函數(shù)f(x)=Px+5x+41,x<0,若函數(shù)y=/(%)—。,國(guó).恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)"的取值范圍是_______.

2|x-2|,x>0

16.已知全集。=卜2,-1,0,1,2},集合A={-2,-l,l},則gA=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。焦點(diǎn)在X軸上，右頂點(diǎn)A(2,0)到右焦點(diǎn)的

距離與它到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離之比為;.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若M,N是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，設(shè)P(T,0),連接PM交橢圓。于另一點(diǎn)￡?求證：直線(xiàn)NE過(guò)

定點(diǎn)B,并求出點(diǎn)3的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)8的直線(xiàn)交橢圓C于S,T兩點(diǎn)，求幅.而的取值范圍.

Yv&

18.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:=+方=1(。>6>0)的離心率為三，以橢圓C左頂

2

點(diǎn)7為圓心作圓T:(x+2)2+丁=r(r>0),設(shè)圓7與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.

(1)求橢圓C的方程；

(2)求力％..而的最小值，并求此時(shí)圓r的方程；

(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線(xiàn)MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證：\OR\-|OS|

為定值.

19.(12分)已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S“，且滿(mǎn)足a“=；S“+l(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若2=log2%,%=小，且數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和為北，求Z,的取值范圍.

20.(12分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，R4，平面PCD,底面ABCD滿(mǎn)足AD//BC,AP=AB=BC=^AD=2,

ZABC=90°,E為40的中點(diǎn)，AC與BE的交點(diǎn)為O.

(1)設(shè)〃是線(xiàn)段BE上的動(dòng)點(diǎn)，證明：三棱錐"-P8的體積是定值;

(2)求四棱錐P—43CQ的體積；

(3)求直線(xiàn)BC與平面所成角的余弦值.

%2

=1(“〉人>0)的焦點(diǎn)為4,F2,離心率為:，點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，且△P68

21.(12分)已知橢圓C:/十萬(wàn)

的面積最大值為Ji，0為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y）,N（z，%）為橢圓c上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)+為多少時(shí)，點(diǎn)。到直線(xiàn)MN的距離為定值.

22.（10分）已知函數(shù)/（x）=l+2x--6。Inx存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).

x

（1）求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

（2）若函數(shù)“X）的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為現(xiàn)和&，且〃xJ+/（X2）＜2-6e,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（e是自

然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計(jì)圖表，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，即可得到正確答案.

【詳解】

解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶(hù)，所占比例為6%,

則該市總有低收入家庭900+6%=15000（戶(hù)），A正確，

該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有15000x12%=1800（戶(hù)），B正確，

該市無(wú)業(yè)人員中，低收入家庭有15000x29%%=4350（戶(hù)），C正確，

該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有15000x4%=600（戶(hù)），D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的認(rèn)識(shí)和分析，這類(lèi)題要認(rèn)真分析圖表的內(nèi)容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關(guān)鍵,屬于基

礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由復(fù)數(shù)的意義即可求得”的值.

【詳解】

復(fù)數(shù)z=(a+i)(l-i)eR,

由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得z=fl+l+(I-?)z,

所以由復(fù)數(shù)定義可知1-。=(),

解得4=1,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.A

【解析】

向量：=(機(jī),1),方=(3,m一2)，al1b則3=加(加一2),即加一2m一3=0，〃7=3或者-1,判斷出即可.

【詳解】

解：向量a=(w,l)，b=(3,???—2)?

allb>則3=，〃(加-2)，即W-2〃z-3=0，

m=3或者-1,

所以機(jī)=3是〃z=3或者〃，=-1的充分不必要條件，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

先解不等式化簡(jiǎn)兩個(gè)條件，利用集合法判斷充分必要條件即可

【詳解】

解不等式V<27可得x<3,

解絕對(duì)值不等式Ix|<3可得-3<x<3,

由于｛x|-3<x<3｝為｛x|x<3｝的子集，

據(jù)此可知“X3<27”是“Ix1<3"的必要不充分條件.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了必要不充分條件的判定，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

由題，側(cè)棱SA，底面ABC,AB=5,BC=8,NB=60°,則根據(jù)余弦定理可得8C=+8?-2x5x8x；=7,

2「_BCQ,r_J_

△ABC的外接圓圓心'一sinB一6."一J]

T

三棱錐的外接球的球心到面ABC的距離d=-SA=45,則外接球的半徑R=,則該三棱

2

錐的外接球的表面積為S=4萬(wàn)W=竽萬(wàn)

點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑R公式是解答的關(guān)鍵.

6.A

【解析】

2b

由已知，圓心M到漸近線(xiàn)的距離為G，可得逝=又c=2=/+〃，解方程即可.

\Ja2+b2

【詳解】

由已知，c=2,漸近線(xiàn)方程為法±毆=0,因?yàn)閳AM被雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為2夜,

17

所以圓心M到漸近線(xiàn)的距離為62—（拉了=卜'Ja2+h2=丁,故4=J7二P'=1，

所以離心率為e=￡=2.

a

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線(xiàn)離心率的問(wèn)題，涉及到直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.

7.B

【解析】

先分別判斷命題真假，再由復(fù)合命題的真假性，即可得出結(jié)論.

【詳解】

，為真命題；命題9是假命題，比如當(dāng)0>a>。，

或a-\,力=-2時(shí)，貝！ja?>b2不成立.

則”人4,(「〃)△(-1!7),均為假.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合命題的真假性，判斷簡(jiǎn)單命題的真假是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減則f(x)<0恒成立，對(duì)導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)

和圖象，列不等式組求解可得.

【詳解】

依題意,f(x)=2cos2x+mcosx+3=4cos2x+mcosx+\,

4x—+7nx—+1?0

結(jié)合圖象可知，,,解得

4x—+/nx—^-+1,,0

42

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法：

⑴代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角〃(或8,利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等

式求解；

(2)圖象法：畫(huà)出三角函數(shù)的正、余弦曲線(xiàn)，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.

9.B

【解析】

根據(jù)題意，求得函數(shù)周期，利用周期性和函數(shù)值，即可求得即

【詳解】

由已知可知，/(2+x)=/(-x)=-/(x),所以函數(shù)/(X)是一個(gè)以4為周期的周期函數(shù)，

所以/(2020-In2)=/(-In2)=—/(ln2)=e"hl2=2"=8,

解得a=3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)周期的求解，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬綜合基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

因?yàn)镃=V，c=l,所以根據(jù)正弦定理可得號(hào)=3所以a=^sinA,b=qsinB，所以

3sinAsin3sinCJ3，313

z=b+Aa=差sinB+皆sinA=差[sinB+/lsin(；-B)]=-^[(1--^)sinB+

^^cos=sin(8+0),其中tan°=,0＜B＜^9

7TTT冗

因?yàn)閦=〃+&7存在最大值，所以由8+。=—+2%7t,/€Z,可得2%兀+—＜。＜2%兀+—,/WZ,

262

所以tan0＞等，所以瓷＞等，解得:＜丸＜2,所以正數(shù)X的取值范圍為(；,2),故選C.

11.D

【解析】

利用線(xiàn)面平行和垂直，面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對(duì)四個(gè)命題分別分析進(jìn)行選擇.

【詳解】

當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)也可以平行于另一個(gè)平面，故①錯(cuò)誤；由平面與平面垂直的判定可知②正

確；空間中垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)還可以相交或者異面，故③錯(cuò)誤；若兩個(gè)平面垂直，只有在一個(gè)平面內(nèi)與它

們的交線(xiàn)垂直的直線(xiàn)才與另一個(gè)平面垂直，故④正確.綜上，真命題是②④.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，是中檔題.

12.D

【解析】

根據(jù)圖形中的信息，可得頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)，從而得到答案.

【詳解】

41

對(duì)4,從圖中數(shù)據(jù)變化看，PM/值不低于50%的月份有4個(gè)，所以12個(gè)月的PM/值不低于50%的頻率為6=

123

故A正確;

對(duì)B,由圖可以看出，PM/值的平均值低于50%,故5正確；

對(duì)C,12個(gè)月的PM/值的眾數(shù)為49.4%,故C正確，；

對(duì)O,12個(gè)月的PM/值的中位數(shù)為49.6%,故。錯(cuò)誤

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)計(jì)算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

由已知條件得出4了一41初?|B|-cos（萬(wàn),5>+戶(hù)=3,可得2|?|2-151-1=0,解之可得答案.

【詳解】

向量％B的夾角為且122-刈=6,|5|=1,可得:4萬(wàn)2-4|汁|6|<0$<萬(wàn),5>+廬=3,

可得21Ml2—⑷―1=0,解得|利=1,

故答案為:1.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求向量的模，關(guān)鍵在于將所求的向量的模平方，利用向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)求解即可，屬

于基礎(chǔ)題.

3

14.

2

【解析】

根據(jù)題意，利用扇形面積公式求出圓心角NAO8,再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出|=6,利用向量的數(shù)量積公式求

UUUUUU1

出。4A氏

【詳解】

設(shè)角NAQB=e,則工=，exF,

32

八2萬(wàn)

/.0=—,

3

所以在等腰三角形AQ鉆中，|A31=6，

貝（J函?通=1XGXCOS150'=—3.

2

3

故答案為：一7.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查扇形的面積公式和向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.(1,3)

【解析】

函數(shù)y=/(x)-。|乂恰有4個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)/(X)與函數(shù),y=4X的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖象，利用

數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.

【詳解】

函數(shù)y=/(x)-a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)八幻與函數(shù)y=a|x|的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖象如下圖

故答案為：(1,3)

【點(diǎn)睛】

本題考查了已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.

16.{0,2}

【解析】

根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.

【詳解】

解：???U={-2,T,0,l,2},A={-2,-l,l},

.??A={0,2}.

故答案為{0,2}.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

「v2r5'

17.(1)—+^-=1；(2)證明詳見(jiàn)解析，5(-1,0)；(3)-4,--.

43''L4」

【解析】

(1)根據(jù)題意列出關(guān)于6,c的等式求解即可.

(2)先根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，直線(xiàn)NE過(guò)的定點(diǎn)3一定在x軸上，再設(shè)直線(xiàn)的方程為y=-x+4),聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，進(jìn)

而求得NE的方程，并代入y}=k(X]+4),y2=k(x2+4)化簡(jiǎn)分析即可.

(3)先分析過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)ST斜率不存在時(shí)OS-Of的值，再分析存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)ST的方程為y=m(x+1)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢

圓的方程，得出韋達(dá)定理再代入歷?西=+%以求解出關(guān)于k的解析式，再求解范圍即可.

【詳解】

22

解：(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程\+為=l(a>0),焦距為2c,

由題意得,。=2,

a-c_c_1

由。2a2,可得。=1,

-a

c

則。-C2=3,

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+工=1；

43

(2)證明：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，直線(xiàn)NE過(guò)的定點(diǎn)8一定在x軸上，

由題意可知直線(xiàn)PM的斜率存在，

設(shè)直線(xiàn)PM的方程為y=k(x+4),

y=k（x+4）

聯(lián)立%2y2，消去）'得至ji（4左2+3）32左2%+64^2-12=0,

[43

設(shè)點(diǎn)M（Xi，X）,￡（乙,必）,

則N（玉,-y）.

32k264k2-\2

所以玉+x=

24/+3'**-4女2+3'

所以NE的方程為y-%=-Z）,

々一%

令y=0,得"=/二必仁一百）,

必+X

將＞|=%（玉+4）,%=無(wú)（Z+4）代入上式并整理,

2王馬+4（%+%）

玉+9+8

（128公一24）-128公

整理得x=--~3~2k7；2+i（24——+32k772V）=-1，

所以，直線(xiàn)NE與x軸相交于定點(diǎn)3（-1,0）.

⑶當(dāng)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)ST的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)ST的方程為x=-l

—?—■5

此時(shí)OS-OT=—2

4

當(dāng)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)ST斜率存在時(shí),

設(shè)直線(xiàn)ST的方程為＞=m（x+1）,且S（x3,y3）,T（x4，為）在橢圓。上,

y=m{x+V）

聯(lián)立方程組

143

消去y,整理得（4〃/+3）%2+8m2x+4m2-12=0,

則A=（8m2）2-4（4/n2+3）（W-12）=144（w2+1）＞0.

8m24m2-12

4m2+3?4/n2+3

所以％”=m2（七+1）（%+1）=加之（七/+￡+Z+1）=""7,<->

44-m+3

5/w+12533

所以O(shè)S.OT=wz+%%=~.,=

4m~2+344（4"+3）

由〃/NO,得OS-OTe-4,--|j,

綜上可得,0?.。7的取值范圍是-4,-《.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的基本量求解以及定值和范圍的問(wèn)題，需要分析直線(xiàn)的斜率是否存在的情況,再聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的

方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及所求的解析式，結(jié)合參數(shù)的范圍進(jìn)行求解.屬于難題.

21o

18.（1）5+>2=]；（2）（x+2）2+y2=￡；⑶|（?/?|-|O5|=4

【解析】

（1）依題意，得。=2,e=-=—,由此能求出橢圓C的方程.

a2

（2）點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)M（x，x）,N（x”-y）,設(shè)y>0,由于點(diǎn)M在橢圓C上，故短句一》,

由?。ㄒ?,0）,知麗?南=（玉+2,yJ-（X1+2,_yj=：（x]+1]_[,由此能求出圓7的方程.

⑶設(shè)。（如％），則直線(xiàn)MP的方程為：k為=止上（X一%）,令y=0,得XR=X°°—"°X,同理:

,由此能證明|0郎|。司=|與卜岡=|與多|=4為定值.

【詳解】

（1）依題意，得a=2,e=-=—,

a2

c=邪）,b=J4-3=1,

2

故橢圓C的方程為工+y2=i.

4-

（2）點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)N（玉，一%）,設(shè)*>0,

由于點(diǎn)M在橢圓C上，所以y：=i一?

由7(—2,0),則而=(%+2,yJ,m=(5+2,一乂)，

*'-TM?TN=(玉+2,x)?(%+2,-乂)

(玉+2)2-W

=1X]2+4%+3

由于一2＜玉＜2,

Q1383)

故當(dāng)王=一^時(shí)，麗.沃的最小值為-所以必二g，故例5?5?

,13

又點(diǎn)M在圓丁上，代入圓的方程得到產(chǎn)=石

故圓7的方程為：（x+2y+y213

25

（3）設(shè)F（土）,%），則直線(xiàn)M/,的方程為：y-y0=&5"（x-xo）

—一再

令y=0,得“任3,同理r

%+X

2222

故4,&22-

%-X

又點(diǎn)”與點(diǎn)P在橢圓上,

故k=4（1一%2）凸2=4（1-靖），代入上式得:

4(1靖)％24(1%2)城_4(為2f2)

XR'XS=2229=4,

%f為一斤

所以|OR|?|OS|=聞,ks|=M%I=4

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、圓的軌跡方程、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系中定值問(wèn)題，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔

題.

19.(1)。,=2"⑵Tney,l

【解析】

(1)由6=3￡+1,可求4,然后由〃..2時(shí)，勺=5.-5,1可得4=261，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)可求

1111

(2)由=log,q,=log,2"=",而。"=丁「='一-=------7,利用裂項(xiàng)相消法可求7；.

--她+in(n+l)nn+\

【詳解】

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，q=，S|+l,解得q=2,

當(dāng)〃..2時(shí)，。“_]=55“_1+1…①

an+1…②

②一①得a“_a“T=；4“，即an=2??_,,

,數(shù)列僅“｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

Cln=2"；

(2)bn=log2a?=log22"=n

._1_1_]__1

bb

?n+l〃(〃+D〃〃+l

T,11111]

..T=1--+----+-----+...+-

"22334i

?:nwN"，?'-——e(0,^]

n+12

F嗎1).

【點(diǎn)睛】

本題考查遞推公式%=5“-s“T(幾.2)在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法，考查函數(shù)

與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.

20.(1)證明見(jiàn)解析⑵％,“6=20(3)辭

【解析】

(1)因?yàn)榈酌鍭8C。為梯形，且BC=ED,所以四邊形5C0E為平行四邊形，則8E〃C。，

又BEU平面PCD,CDu平面PCD,所以平面PC。，

又因?yàn)椤盀榫€(xiàn)段8E上的動(dòng)點(diǎn)，APC。的面積是定值，從而三棱錐”一尸8的體積是定值.

(2)因?yàn)镻4_L平面PCD,所以B4_LCD,結(jié)合BE〃CD,所以APJ_BE,

又因?yàn)锳6_LBC,AB=BC^-AD,且E為A。的中點(diǎn)，所以四邊形A5CE為正方形，所以BE_LAC,結(jié)合

2

APr>AC=A,則BE1平面APC,連接戶(hù)0,則

因?yàn)?4,平面PCD,所以A4_LPC,

因?yàn)锳C=0A8=J^4P，所以APAC是等腰直角三角形，。為斜邊AC上的中點(diǎn)，

所以尸0J_AC,且ACIBE=O,所以P0_L平面ABC。，所以尸0是四棱錐產(chǎn)一A5CD的高，

又因?yàn)樘菪蜛8C。的面積為幾C+AD)XTW=!X(2+4)X2=6,

22

在RtAAPC中，尸。=血，所以/.AB8=gs梯礴BQ.PO=gx6x0=20.

(3)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,如圖所示，

貝!J8(血，0,0),C(0,血，0),D(-272?0，0),P(0,0,血),

則BC=(-72,5/2,0),PB=(72,0,-72),PD=(-272,也,-虛)，

n-PB=0

設(shè)平面PBD的法向量為n=(M,v,w),則_，即

n-PD=0

令卬=1,得到“=(1,3,1),

設(shè)5c與平面尸5。所成的角為a,則sina=|cos(阮,〃)|=|也片叵史|=冬,

\/2xvn11

所以cosa=5/l-sin2a=----,

11

所以直線(xiàn)BC與平面依。所成角的余弦值為主叵.

11

21.(1)—+^-=1;(2)當(dāng)玉々+%力=0時(shí)，點(diǎn)。到直線(xiàn)MN的距離為定值上叵.

437

【解析】

(1)耳鳥(niǎo)的面積最大時(shí)，P是短軸端點(diǎn)，由此可得bc=g,再由離心率及可得凡。，從而得橢圓

方程;

(2)在直線(xiàn)MN斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y="+，〃，現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立消元(丁)后應(yīng)用韋達(dá)定理得為+%2，%1%2,

注意4>0,一是計(jì)算玉々+y必，二是計(jì)算原點(diǎn)到直線(xiàn)MN的距離，兩者比較可得結(jié)論.

【詳解】

(1)因?yàn)镻在橢圓上，當(dāng)P是短軸端點(diǎn)時(shí)，P到x軸距離最大，此時(shí)APG與面積最大，所以;x2cx匕=歷=#,

be-6

a=2

C_1

解得"=G,

a2

C=1

a1=b2+c2

22

所以橢圓方程為土+匕=1.

43

\m\.m2

(2)在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN方程為y=&+〃?，原點(diǎn)到此直線(xiàn)的距離為內(nèi)=J?即/=

Jl+公T+F

y--kx+m

由“vy1得(3+4%2)X?+8kmx+4m2-12=0,

—F-=i

143

2222

A=-4(3+4*)(4w